Information chiffrée
Introduction :
On rencontre souvent les pourcentages dans la vie courante et vous avez déjà effectué de nombreux calculs avec cette notion. Dans ce chapitre nous allons voir les relations mathématiques concernant les proportions et nous étudierons tout particulièrement les taux d’évolution, les pourcentages de pourcentages et les taux d’évolution réciproque.
Proportions
Proportions
Proportions et pourcentage
Proportions et pourcentage
Définition
Proportion :
On considère un ensemble $A$ non vide contenant $n_A$ éléments.
Soit $B$ une partie de l’ensemble $A$ contenant $n_B$ éléments.
La proportion $p$ de $B$ dans $A$ est le nombre réel défini par $p=\dfrac{n_B}{n_A}$.
Propriété
$p$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$ ou plus simplement $0\leq p \leq 1$.
$p$ peut s’exprimer sous forme de pourcentage en multipliant $p$ par $100$.
Attention
Une proportion est un nombre réel compris entre $0$ et $1$ alors qu’un pourcentage est un nombre réel compris entre $0$ et $100$.
Exemple
Les pièces de $10\text{ centimes}$, de $20\text{ centimes}$ et de $50\text{ centimes}$ sont faites d’or nordique, un alliage d’aluminium, de zinc, d’étain et de cuivre.
La pièce de $50\text{ centimes}$ a une masse égale à $7,8\text{ g}$ et contient $6,9\text{ g}$ de cuivre.
La proportion $p$ de cuivre dans l’or nordique est $=\dfrac{6,9}{7,8}\approx 0,88$, soit $88\ \%$.
- L’or nordique contient donc environ $88\ \%$ de cuivre.
Pourcentage de pourcentage
Pourcentage de pourcentage
On considère maintenant l’inclusion de sous-ensembles dans un plus grand ensemble.
Si on considère un ensemble $A$ non vide avec $B$ une partie de $A$ et $C$ une partie de $B$, alors on peut considérer la double inclusion suivante $C\subset B \subset A$.
Définition
Proportion de proportion :
On considère un ensemble $A$ non vide.
Soit $B$ une partie de l’ensemble $A$ et $C$ une partie de l’ensemble $B$.
Soit $p_1$ la proportion de $B$ dans $A$ et $p_2$ la proportion de $C$ dans $B$, alors la proportion de $C$ dans $A$ est $p=p_1 \times p_2$.
Dans le langage courant, on utilise plus souvent les termes « pourcentage de pourcentage » que les termes « proportion de proportion » qui sont plus axés sur les mathématiques, mais il est plus rigoureux d’employer des proportions pour effectuer des calculs que d’employer l’écriture en pourcentage.
Exemple
- Calculer mentalement $10\ \%$ de $10\ \%$ de $100\text{ euros}$ est aisé car cela revient à calculer $\dfrac{1}{10}$ de $\dfrac{1}{10}$ de $100$, ce qui donne $1\text{ euro}$.
Mais si les données étaient différentes comme pour calculer $34\ \%$ de $58\ \%$ de $1\ 548\text{ euros}$, le calcul mental deviendrait bien plus difficile. Il est donc impératif de traduire les pourcentages en termes de proportion. - Ainsi, $34\ \%$ devient $0,34$ et $58\ \%$ devient $0,58$, et le résultat se calcule de cette façon : $0,34 \times 0,58 \times 1\ 548 \approx 305,27\text{ euros}$.
- Dans une classe de seconde, $70\ \%$ des élèves sont des filles et, parmi elles, $40\ \%$ pratiquent un sport. La proportion de filles dans la classe est $p_1=0,7$ et la proportion de filles pratiquant un sport parmi les filles de cette classe est $p_2=0,4$.
- La proportion de filles sportives dans la classe est donc $p=p_1\times p_2 =0,7 \times 0,4 =0,28$ soit $28\ \%$.
Évolution
Évolution
Considérons maintenant une quantité qui a une valeur initiale $V_i$ et une valeur finale $V_f$.
Ces quantités sont des nombres réels que l’on suppose positifs afin de faciliter l’ensemble des calculs.
Variation absolue et taux d’évolution
Variation absolue et taux d’évolution
Définition
Variation absolue :
La variation absolue $\Delta V$ entre les valeurs $V_i$ et $V_f$ est $\Delta V=V_f - V_i$.
Propriété
- Une variation absolue positive correspond à une hausse.
- Une variation absolue négative correspond à une baisse.
Exemple
Le prix d’un smartphone est passé de $125\text{ euros}$ à $90\text{ euros}$.
- La variation absolue du prix du smartphone est : $\Delta V=90-125=-35\text{ euros}$.
Définition
Taux d’évolution :
On appelle taux d’évolution $t$ entre les valeurs $V_i$ et $V_f$ le nombre $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$.
Propriété
- Un taux d’évolution positif correspond à une hausse.
- Un taux d’évolution négatif correspond à une baisse.
- Un taux d’évolution multiplié par $100$ correspond à un pourcentage d’évolution.
- Un pourcentage d’évolution peut dépasser $100\ \%$ et peut être négatif.
Exemple
- Le prix d’un smartphone est passé de $125\text{ euros}$ à $90\text{ euros}$.
- Le taux d’évolution du prix du smartphone est $t=\dfrac{90-125}{125}=\dfrac{-35}{125} = -0,28$, ce qui correspond à une baisse de $28\ \%$.
- L’effectif d’un lycée est passé de $800$ à $950\text{ élèves}$.
- Le taux d’évolution de l’effectif de ce lycée est $t=\dfrac{950-800}{800}=0,1875$, ce qui correspond à une hausse de $18,75\ \%$.
- Le prix d’un article de sport subit une augmentation de $25\ \%$.
- Le taux d’évolution est alors $t=0,25$.
- Le prix d’un article de sport subit une baisse de $33\ \%$.
- Le taux d’évolution est alors $t=-0,33$.
Coefficient multiplicateur
Coefficient multiplicateur
Soit $t$ le taux d’évolution entre les valeurs $V_i$ et $V_f$. On a donc $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$.
Cette dernière expression peut s’écrire $tV_i=V_f-V_i$, d’où $(1+t)V_i=V_f$.
On en déduit qu’il existe un coefficient pour passer de la valeur $V_i$ à la valeur $V_f$.
Définition
Coefficient multiplicateur :
Soit $t$ le taux d’évolution entre les valeurs $V_i$ et $V_f$, alors $1+t$ est appelé « coefficient multiplicateur ». Il permet de passer de $V_i$ à $V_f$ et on a la relation suivante :
$V_f=KV_i$ où $K=1+t$
Exemple
- Un article coûtant $80\text{ euros}$ est soldé à $-\ 20\ \%$. Le taux d’évolution est donc $t=-0,20$ et $K=0,80$.
- Le prix soldé de l’article est égal à $80\times 0,80=64\text{ euros}$.
- Un article coûtant $125\text{ euros}$ subit une augmentation de $15\ \%$. Le taux d’évolution est donc $t=0,15$ et $K=1,15$.
- Le nouveau prix de l’article est égal à $125 \times 1,15 = 143,75\text{ euros}$.
Astuce
- Augmenter une valeur de $p\ \%$ revient à la multiplier par $1+\dfrac{p}{100}$.
- Diminuer une valeur de $p\ \%$ revient à la multiplier par $1-\dfrac{p}{100}$.
Évolution successives et réciproques
Évolution successives et réciproques
Définition
Évolutions successives :
Si une quantité subit plusieurs variations, on dit qu’elle subit des évolutions successives.
Propriété
Si une quantité subit des évolutions successives, alors le coefficient multiplicateur global est égal aux produits des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Exemple
Le tarif d’un forfait téléphonique a augmenté de $15\ \%$ puis à nouveau de $25\ \%$.
On peut schématiser la double évolution du tarif comme sur le schéma ci-dessous.
- Ainsi une augmentation de $15\ \%$ suivie d’une augmentation de $25\ \%$ revient à une augmentation de $43,75\ \%$.
La valeur d’une voiture se déprécie de $20\ \%$ par an, d’où un coefficient multiplicateur de $K=1-\dfrac{20}{100}=0,80$.
- Au bout de trois ans, la valeur de la voiture a été multipliée par $K\times K\times K= K^3=0,80^3=0,512=1-\dfrac{48,8}{100}$, donc sa valeur a été dépréciée de $48,8\ \%$.
Attention
Une augmentation de $20\ \%$ suivi d’une baisse de $20\ \%$ ne se compensent pas !
En effet, si l’on considère un article à $40\text{ euros}$ qui subit une augmentation de $20\ \%$ puis une baisse de $20\ \%$, alors le prix final est de :
$$40 \times 1,20 \times 0,80=38,40 \text{ euros}$$
- Le prix de l’article a globalement baissé.
Définition
Évolution réciproque :
Soit $t$ le taux d’évolution entre les valeurs $V_i$ et $V_f$, alors il existe un réel $t'$, taux d’évolution réciproque de $t$, tel que $t'$ permet de passer de $V_f$ à $V_i$.
Propriété
Le coefficient multiplicateur $K'$ associé au taux réciproque $t'$ est égal à l’inverse du coefficient multiplicateur $K$ associé au taux $t$. On a donc : $$K'=\dfrac{1}{K}$$
Exemple
Le prix d’un smartphone passe de $100\text{ euros}$ à $125\text{ euros}$, soit une augmentation de $25\ \%$ qui correspond à un taux d’évolution $t=0,25$ et un coefficient multiplicateur $K=1,25$.
$$K'=\frac{1}{1,25}=0,8=1-0,2=1-\dfrac{20}{100}$$
- Le taux d’évolution réciproque est $t'=-0,20$, ce qui correspond à une baisse de $20\ \%$. Le prix du smartphone doit donc subir une baisse de $20\ \%$ pour passer de $125\text{ euros}$ à $100\text{ euros}$.
On considère une augmentation de $70\ \%$. Le coefficient multiplicateur de cette augmentation est $K=1,7$ et le coefficient multiplicateur associé au taux d’évolution réciproque est $K'=\dfrac{1}{1,7}$.
On peut schématiser les passages entre la valeur initiale et la valeur finale comme sur le schéma ci-dessous.
Conclusion :
L’information chiffrée comporte deux parties : les proportions et les taux d’évolution.
Dans la partie proportions nous avons vu comment calculer sous forme de pourcentage ce que représente un ensemble inclus dans un autre. Puis, dans la partie concernant les taux d’évolution, nous avons étudié comment évolue un ensemble en un autre sous forme de pourcentage et réciproquement.