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Introduction :

On rencontre souvent les pourcentages dans la vie courante et vous avez déjà effectué de nombreux calculs avec cette notion. Dans ce chapitre nous allons voir les relations mathématiques concernant les proportions et nous étudierons tout particulièrement les taux d’évolution, les pourcentages de pourcentages et les taux d’évolution réciproque.

Proportions

Proportions et pourcentage

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Définition

Proportion :

On considère un ensemble AA non vide contenant nAnA éléments.
Soit BB une partie de l’ensemble AA contenant nBn
B éléments.
La proportion pp de BB dans AA est le nombre réel défini par p=nBnAp=\dfrac{nB}{nA}.

Mathématiques seconde réforme information chiffrée proportion

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Propriété

pp est un nombre réel compris entre 00 et 11 ou plus simplement 0p10\leq p \leq 1.
pp peut s’exprimer sous forme de pourcentage en multipliant pp par 100100.

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Attention

Une proportion est un nombre réel compris entre 00 et 11 alors qu’un pourcentage est un nombre réel compris entre 00 et 100100.

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Exemple

Les pièces de 10 centimes10\text{ centimes}, de 20 centimes20\text{ centimes} et de 50 centimes50\text{ centimes} sont faites d’or nordique, un alliage d’aluminium, de zinc, d’étain et de cuivre.
La pièce de 50 centimes50\text{ centimes} a une masse égale à 7,8 g7,8\text{ g} et contient 6,9 g6,9\text{ g} de cuivre.
La proportion pp de cuivre dans l’or nordique est =6,97,80,88=\dfrac{6,9}{7,8}\approx 0,88, soit 88 %88\ \%.

  • L’or nordique contient donc environ 88 %88\ \% de cuivre.

Pourcentage de pourcentage

On considère maintenant l’inclusion de sous-ensembles dans un plus grand ensemble.

Si on considère un ensemble AA non vide avec BB une partie de AA et CC une partie de BB, alors on peut considérer la double inclusion suivante CBAC\subset B \subset A.

Mathématiques seconde réforme information chiffrée

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Définition

Proportion de proportion :

On considère un ensemble AA non vide.
Soit BB une partie de l’ensemble AA et CC une partie de l’ensemble BB.
Soit p1p1 la proportion de BB dans AA et p2p2 la proportion de CC dans BB, alors la proportion de CC dans AA est p=p1×p2p=p1 \times p2.

Dans le langage courant, on utilise plus souvent les termes « pourcentage de pourcentage » que les termes « proportion de proportion » qui sont plus axés sur les mathématiques, mais il est plus rigoureux d’employer des proportions pour effectuer des calculs que d’employer l’écriture en pourcentage.

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Exemple

Calculer mentalement 10 %10\ \% de 10 %10\ \% de 100 euros100\text{ euros} est aisé car cela revient à calculer 110\frac{1}{10} de 110\frac{1}{10} de 100100, ce qui donne 1 euro1\text{ euro}.
Mais si les données étaient différentes comme pour calculer 34 %34\ \% de 58 %58\ \% de 1 548 euros1\ 548\text{ euros}, le calcul mental deviendrait bien plus difficile. Il est donc impératif de traduire les pourcentages en termes de proportion.

  • Ainsi, 34 %34\ \% devient 0,340,34 et 58 %58\ \% devient 0,580,58, et le résultat se calcule de cette façon : 0,34×0,58×1 548305,27 euros0,34 \times 0,58 \times 1\ 548 \approx 305,27\text{ euros}.

Dans une classe de seconde, 70 %70\ \% des élèves sont des filles et, parmi elles, 40 %40\ \% pratiquent un sport. La proportion de filles dans la classe est p1=0,7p1=0,7 et la proportion de filles pratiquant un sport parmi les filles de cette classe est p2=0,4p2=0,4.

  • La proportion de filles sportives dans la classe est donc p=p1×p2=0,7×0,4=0,28p=p1\times p2 =0,7 \times 0,4 =0,28 soit 28 %28\ \%.

Mathématiques seconde réforme information chiffrée

Évolution

Considérons maintenant une quantité qui a une valeur initiale ViVi et une valeur finale VfVf.
Ces quantités sont des nombres réels que l’on suppose positifs afin de faciliter l’ensemble des calculs.

Variation absolue et taux d’évolution

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Définition

Variation absolue :

La variation absolue ΔV\Delta V entre les valeurs ViVi et VfVf est ΔV=VfVi\Delta V=Vf - Vi.

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Propriété

  • Une variation absolue positive correspond à une hausse.
  • Une variation absolue négative correspond à une baisse.
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Exemple

Le prix d’un smartphone est passé de 125 euros125\text{ euros} à 90 euros90\text{ euros}.

  • La variation absolue du prix du smartphone est : ΔV=90125=35 euros\Delta V=90-125=-35\text{ euros}.
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Définition

Taux d’évolution :

On appelle taux d’évolution tt entre les valeurs ViVi et VfVf le nombre t=VfViVit=\dfrac{Vf-Vi}{V_i}.

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Propriété

  • Un taux d’évolution positif correspond à une hausse.
  • Un taux d’évolution négatif correspond à une baisse.
  • Un taux d’évolution multiplié par 100100 correspond à un pourcentage d’évolution.
  • Un pourcentage d’évolution peut dépasser 100 %100\ \% et peut être négatif.
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Exemple

  • Le prix d’un smartphone est passé de 125 euros125\text{ euros} à 90 euros90\text{ euros}.
  • Le taux d’évolution du prix du smartphone est t=\frac{90-125}{125}=\frac{-35}{125} = -0,28, ce qui correspond à une baisse de 28 %28\ \%.
  • L’effectif d’un lycée est passé de 800800 à 950 eˊleˋves950\text{ élèves}.
  • Le taux d’évolution de l’effectif de ce lycée est t=950800800=0,1875t=\frac{950-800}{800}=0,1875, ce qui correspond à une hausse de 18,75 %18,75\ \%.
  • Le prix d’un article de sport subit une augmentation de 25 %25\ \%.
  • Le taux d’évolution est alors t=0,25t=0,25.
  • Le prix d’un article de sport subit une baisse de 33 %33\ \%.
  • Le taux d’évolution est alors t=0,33t=-0,33.

Coefficient multiplicateur

Soit tt le taux d’évolution entre les valeurs ViVi et VfVf. On a donc t=VfViVit=\dfrac{Vf-Vi}{Vi}.
Cette dernière expression peut s’écrire tVi=VfVitV
i=Vf-Vi, d’où (1+t)Vi=Vf(1+t)Vi=Vf.
On en déduit qu’il existe un coefficient pour passer de la valeur ViVi à la valeur VfVf.

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Définition

Coefficient multiplicateur :

Soit tt le taux d’évolution entre les valeurs ViVi et VfVf, alors 1+t1+t est appelé « coefficient multiplicateur ». Il permet de passer de ViVi à VfVf et on a la relation suivante :

Vf=KViVf=KViK=1+tK=1+t

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Exemple

  • Un article coûtant 80 euros80\text{ euros} est soldé à  20 %-\ 20\ \%. Le taux d’évolution est donc t=0,20t=-0,20 et K=0,80K=0,80.
  • Le prix soldé de l’article est égal à 80×0,80=64 euros80\times 0,80=64\text{ euros}.
  • Un article coûtant 125 euros125\text{ euros} subit une augmentation de 15 %15\ \%. Le taux d’évolution est donc t=0,15t=0,15 et K=1,15K=1,15.
  • Le nouveau prix de l’article est égal à 125×1,15=143,75 euros125 \times 1,15 = 143,75\text{ euros}.
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Astuce

  • Augmenter une valeur de p %p\ \% revient à la multiplier par 1+p1001+\frac{p}{100}.
  • Diminuer une valeur de p %p\ \% revient à la multiplier par 1p1001-\frac{p}{100}.

Évolution successives et réciproques

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Définition

Évolutions successives :

Si une quantité subit plusieurs variations, on dit qu’elle subit des évolutions successives.

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Propriété

Si une quantité subit des évolutions successives, alors le coefficient multiplicateur global est égal aux produits des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

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Exemple

Le tarif d’un forfait téléphonique a augmenté de 15 %15\ \% puis à nouveau de 25 %25\ \%.
On peut schématiser la double évolution du tarif comme sur le schéma ci-dessous.

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  • Ainsi une augmentation de 15 %15\ \% suivie d’une augmentation de 25 %25\ \% revient à une augmentation de 43,75 %43,75\ \%.

La valeur d’une voiture se déprécie de 20 %20\ \% par an, d’où un coefficient multiplicateur de K=120100=0,80K=1-\frac{20}{100}=0,80.

  • Au bout de trois ans, la valeur de la voiture a été multipliée par K×K×K=K3=0,803=0,512=148,8100K\times K\times K= K^3=0,80^3=0,512=1-\frac{48,8}{100}, donc sa valeur a été dépréciée de 48,8 %48,8\ \%.
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Attention

Une augmentation de 20 %20\ \% suivi d’une baisse de 20 %20\ \% ne se compensent pas !
En effet, si l’on considère un article à 40 euros40\text{ euros} qui subit une augmentation de 20 %20\ \% puis une baisse de 20 %20\ \%, alors le prix final est de : 40×1,20×0,80=38,40 euros40 \times 1,20 \times 0,80=38,40 \text{ euros}

  • Le prix de l’article a globalement baissé.
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Définition

Évolution réciproque :

Soit tt le taux d’évolution entre les valeurs ViVi et VfVf, alors il existe un réel tt', taux d’évolution réciproque de tt, tel que tt' permet de passer de VfVf à ViVi.

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Propriété

Le coefficient multiplicateur KK' associé au taux réciproque tt' est égal à l’inverse du coefficient multiplicateur KK associé au taux tt. On a donc : K=1KK'=\frac{1}{K}

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Exemple

Le prix d’un smartphone passe de 100 euros100\text{ euros} à 125 euros125\text{ euros}, soit une augmentation de 25 %25\ \% qui correspond à un taux d’évolution t=0,25t=0,25 et un coefficient multiplicateur K=1,25K=1,25.

K=11,25=0,8=10,2=120100K'=\frac{1}{1,25}=0,8=1-0,2=1-\frac{20}{100}

  • Le taux d’évolution réciproque est t=0,20t'=-0,20, ce qui correspond à une baisse de 20 %20\ \%. Le prix du smartphone doit donc subir une baisse de 20 %20\ \% pour passer de 125 euros125\text{ euros} à 100 euros100\text{ euros}.

On considère une augmentation de 70 %70\ \%. Le coefficient multiplicateur de cette augmentation est K=1,7K=1,7 et le coefficient multiplicateur associé au taux d’évolution réciproque est K=11,7K'=\frac{1}{1,7}.

On peut schématiser les passages entre la valeur initiale et la valeur finale comme sur le schéma ci-dessous.

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Conclusion :

L’information chiffrée comporte deux parties : les proportions et les taux d’évolution.
Dans la partie proportions nous avons vu comment calculer sous forme de pourcentage ce que représente un ensemble inclus dans un autre. Puis, dans la partie concernant les taux d’évolution, nous avons étudié comment évolue un ensemble en un autre sous forme de pourcentage et réciproquement.