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Calcul Intégral : intégration d'une fonction

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Introduction :

Dans ce cours, nous aborderons la notion de calcul d’intégrale. Ce type de calcul permet de mesurer des grandeurs (aires, volumes…) et également de déterminer des probabilités et des statistiques.

Intégrale d’une fonction continue positive

Définitions et vocabulaire

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Définition

Unité d'aire :

Dans un repère orthogonal $(O;\overrightarrow {OI};\overrightarrow {OJ})$, l’unité d’aire (notée u.a) est l’aire du rectangle $OIKJ$ où $K$ est le point de coordonées $(1;1)$.

Unité d’aire-maths-tle

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Exemple

À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques. Par exemple, l’aire du rectange est de 4 u.a (image ci-dessus).

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Définition

Intégrale d’une fonction positive :

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$, notée $∫_a^b f(x) dx$, est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine $D$ délimité par la courbe $C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$.

Intégrale d’une fonction positive-maths-tle

On parle aussi d’aire sous la courbe $C$ sur l’intervalle $[a;b]$.

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Astuce

On constate donc que pour toute fonction continue et positive sur $[a;b]$, $∫_a^b f(x) dx$ est un nombre réel positif non nul.

Si $f$ est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés :

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Propriété

  • On a : $∫_a^a f(x) dx=0 $ (intervalle de longueur nulle) ;
  • Relation de Chasles ou additivité des aires :

Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ tels que $a≤b≤c,$ on a : $∫_a^c f(x) dx=∫_a^b f(x) dx+∫_b^c f(x) dx$

Intégration-relation de Chasles-maths-tle

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Exemple

Soit $f$ une fonction continue sur $R$. On donne :
$∫_1^2 f(x) dx=3$ et $∫_{-4 }^1 f(x) dx=5$

Alors :
$\begin{aligned}∫_{-4}^2 f(x) dx&=∫_{-4}^1 f(x) dx+∫_1^2 f(x)\\&=5+3\\&=8\end{aligned}$

Calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive

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Propriété

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.

Si $f$ est une primitive de la fonction $f$, alors $∫_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)$

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Exemple

Calculons l’intégrale $∫_1^3(4x^2+3x)dx$.

La fonction $f:x→4x^2+3x$ est positive sur l’intervalle $[1 ;3]$ donc son intégrale sera positive également.

Soit $F$ une primitive de $f$, on a alors : $ F(x)={4\over 3} x^3+{3\over 2} x^2$

$\begin{aligned}∫_1^3(4x^2+3x)dx&=F(3)-F(1)\\&=({4\over 3}×3^3+{3\over 2}×3^2)-({4\over 3}×1^3+{3\over 2}×1^2) \\&=(36+{27\over 2})-({4\over 3}+{3\over 2}) \\&=36+{27\over 2}-{4\over 3}-{3\over 2} \\&={216\over 6}+{81\over 6}-{8\over 6}-{9\over 6} \\&={280\over 6} \\&={140\over 3}u.a\end{aligned}$

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition

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Définition

Intégrale de $f$ d’une fonction continue :

Si $f$ est une fonction continue sur intervalle $I$, si $F$ est une primitive de $f$ et si $a$ et $b$sont deux réels quelconques de $I$, alors on appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$.

On note toujours $∫_a^b f(x) dx $ cette intégrale.

Propriétés

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Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ des réels quelconques de $I$.

  • $∫_a^a f(x) dx=0$
  • $∫_b^a f(x) dx=-∫_a^b f(x) dx$
  • $∫_a^b k f(x) dx=k∫_a^b f(x) dx$
  • $∫_a^b[f(x)+g(x)] dx=∫_a^b f(x) dx+∫_a^b g(x) dx$
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Définition

Relation de Chasles :

$∫_a^c f(x) dx=∫_a^b f(x) dx+∫_b^c f(x) dx$

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Définition

Positivité de l’intégrale :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $.

Si $f(x)≥0$ pour tout $x$ de $[a;b]$, alors $∫_a^b f(x) dx≥0$

Si $f(x)≥g(x)$ pour tout $x$ de $[a;b]$, alors $∫_a^b f(x) dx≥∫_a^b g(x) dx$

Exemple d’utilisation des propriétés

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Exemple

Calculer les intégrales suivantes.

Soit $I=∫_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx $ et $J=∫_0^1 {2\over (e^x+2)}dx$

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Attention

On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer cette intégrale puisqu’il est impossible de calculer une primitive de $2\over (e^x+2)$ avec les formules classiques.

Nous allons donc calculer $I$ puis $I+J$ pour en déduire $J$.

Soit $f(x)={e^x\over (e^x+2)}$ ; $f$ est de la forme $u'\over u$ donc une intégration primitive $F$ de $f$ sera de la forme $ln( u)$.

Ainsi :

$I=∫_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx=F(1)-F(0)$ avec $F(x)=ln (e^x+2)$

$I=ln (e^1+2)-ln (e^0+2) =ln (e+2)-ln 3$ car $e^0=1$

Or, d’après la propriété de linéarité :

$\begin{aligned}I+J&=∫_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx+∫_0^1 {2\over (e^x+2)} dx\\&=∫_0^1 {(e^x+2)\over (e^x+2)} dx\\&=∫_0^1 1 dx=G(1)-G(0)\end{aligned}$

  • Avec $G(x)=x$

$I+J=1$

On en déduit :

$\begin{aligned}J&=(I+J)-I\\&=1-[ln (e+2) -ln 3]\\&=1-ln (e+2) +ln 3\end{aligned}$

Applications du calcul intégral

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale

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Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $.

Soit $E$ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentant $f$ et les droites d’équation $x=a $ et $x=b$.

  • Si $ f≥0$ sur $I$, alors $Aire(E)=∫_a^b f(x) dx$ u.a
  • Si $f≤0$, alors $Aire(E)=-∫_a^b f(x) dx$ u.a

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale-maths-tle

Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle $[a;c]$, la fonction $f$ est positive (sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses). L’aire $A_1$ sera donc égale à $∫_a^c f(x) dx$.

En revanche, sur l’intervalle $[a;b]$, la fonction $f$ est négative (sa courbe est en dessous de l’axe des abscisses).

L’aire $A_2$ sera donc égale à $-∫_c^b f(x) dx$

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Attention

On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative mais qu’une aire, elle, est toujours positive.

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Propriété

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x)≤g(x) $ sur $I$ et si $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a≤b$, alors l’aire de la surface comprise entre les courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à $∫_a^b(g(x)-f(x)) dx$

Valeur moyenne d'une fonction-maths-tle

Valeur moyenne d’une fonction

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Définition

Valeur moyenne d’une fonction :

Si $f$ est une fonction sur $[a;b]$ avec $a≠b$, on appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ le réel $ μ=1/(b-a) ∫_a^b f(x) dx$

On interprète la valeur moyenne de la manière suivante : l’aire « sous la courbe » de $f$ est égale à l’aire « sous la courbe » de la fonction constante égale à $μ$.

Sur notre schéma, l’aire rouge est égale à l’aire bleue.