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Calcul Intégral : intégration d'une fonction

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Introduction :

Dans ce cours, nous aborderons la notion de calcul d’intégrale. Ce type de calcul permet de mesurer des grandeurs (aires, volumes…) et également de déterminer des probabilités et des statistiques.

Intégrale d’une fonction continue positive

Définitions et vocabulaire

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Définition

Unité d'aire :

Dans un repère orthogonal (O;OI;OJ)(O;\overrightarrow {OI};\overrightarrow {OJ}), l’unité d’aire (notée u.a) est l’aire du rectangle OIKJOIKJKK est le point de coordonées (1;1)(1;1).

Unité d’aire-maths-tle

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Exemple

À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques. Par exemple, l’aire du rectange est de 4 u.a (image ci-dessus).

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Définition

Intégrale d’une fonction positive :

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b][a;b] et CC sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

L’intégrale de aa à bb de ff, notée abf(x)dx∫_a^b f(x) dx, est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine DD délimité par la courbe CC, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=ax=a et x=bx=b.

Intégrale d’une fonction positive-maths-tle

On parle aussi d’aire sous la courbe CC sur l’intervalle [a;b][a;b].

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Astuce

On constate donc que pour toute fonction continue et positive sur [a;b][a;b], abf(x)dx∫_a^b f(x) dx est un nombre réel positif non nul.

Si ff est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés :

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Propriété

  • On a : aaf(x)dx=0∫_a^a f(x) dx=0 (intervalle de longueur nulle) ;
  • Relation de Chasles ou additivité des aires :

Pour tous nombres réels aa, bb, cc tels que abc,a≤b≤c, on a : acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dxa^c f(x) dx=∫a^b f(x) dx+∫_b^c f(x) dx

Intégration-relation de Chasles-maths-tle

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Exemple

Soit ff une fonction continue sur RR. On donne :
12f(x)dx=31^2 f(x) dx=3 et 41f(x)dx=5{-4 }^1 f(x) dx=5

Alors :
42f(x)dx=41f(x)dx+12f(x)=5+3=8\begin{aligned}∫{-4}^2 f(x) dx&=∫{-4}^1 f(x) dx+∫_1^2 f(x)\&=5+3\&=8\end{aligned}

Calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive

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Propriété

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b][a;b].

Si ff est une primitive de la fonction ff, alors abf(x)dx=F(b)F(a)∫_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)

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Exemple

Calculons l’intégrale 13(4x2+3x)dx∫_1^3(4x^2+3x)dx.

La fonction f:x4x2+3xf:x→4x^2+3x est positive sur l’intervalle [1;3][1 ;3] donc son intégrale sera positive également.

Soit FF une primitive de ff, on a alors : F(x)=43x3+32x2 F(x)={4\over 3} x^3+{3\over 2} x^2

13(4x2+3x)dx=F(3)F(1)=(43×33+32×32)(43×13+32×12)=(36+272)(43+32)=36+2724332=2166+8168696=2806=1403u.a\begin{aligned}∫_1^3(4x^2+3x)dx&=F(3)-F(1)\&=({4\over 3}×3^3+{3\over 2}×3^2)-({4\over 3}×1^3+{3\over 2}×1^2) \&=(36+{27\over 2})-({4\over 3}+{3\over 2}) \&=36+{27\over 2}-{4\over 3}-{3\over 2} \&={216\over 6}+{81\over 6}-{8\over 6}-{9\over 6} \&={280\over 6} \&={140\over 3}u.a\end{aligned}

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition

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Définition

Intégrale de ff d’une fonction continue :

Si ff est une fonction continue sur intervalle II, si FF est une primitive de ff et si aa et bbsont deux réels quelconques de II, alors on appelle intégrale de ff entre aa et bb la différence F(b)F(a)F(b)-F(a).

On note toujours abf(x)dx∫_a^b f(x) dx cette intégrale.

Propriétés

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Propriété

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aa et bb des réels quelconques de II.

  • aaf(x)dx=0∫_a^a f(x) dx=0
  • baf(x)dx=abf(x)dxb^a f(x) dx=-∫a^b f(x) dx
  • abkf(x)dx=kabf(x)dxa^b k f(x) dx=k∫a^b f(x) dx
  • ab[f(x)+g(x)]dx=abf(x)dx+abg(x)dxa^b[f(x)+g(x)] dx=∫a^b f(x) dx+∫_a^b g(x) dx
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Définition

Relation de Chasles :

acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dxa^c f(x) dx=∫a^b f(x) dx+∫_b^c f(x) dx

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Définition

Positivité de l’intégrale :

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b .

Si f(x)0f(x)≥0 pour tout xx de [a;b][a;b], alors abf(x)dx0∫_a^b f(x) dx≥0

Si f(x)g(x)f(x)≥g(x) pour tout xx de [a;b][a;b], alors abf(x)dxabg(x)dxa^b f(x) dx≥∫a^b g(x) dx

Exemple d’utilisation des propriétés

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Exemple

Calculer les intégrales suivantes.

Soit I=01ex(ex+2)dxI=∫0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx et J=012(ex+2)dxJ=∫0^1 {2\over (e^x+2)}dx

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Attention

On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer cette intégrale puisqu’il est impossible de calculer une primitive de 2(ex+2)2\over (e^x+2) avec les formules classiques.

Nous allons donc calculer II puis I+JI+J pour en déduire JJ.

Soit f(x)=ex(ex+2)f(x)={e^x\over (e^x+2)} ; ff est de la forme uuu'\over u donc une intégration primitive FF de ff sera de la forme ln(u)ln( u).

Ainsi :

I=01ex(ex+2)dx=F(1)F(0)I=∫_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx=F(1)-F(0) avec F(x)=ln(ex+2)F(x)=ln (e^x+2)

I=ln(e1+2)ln(e0+2)=ln(e+2)ln3I=ln (e^1+2)-ln (e^0+2) =ln (e+2)-ln 3 car e0=1e^0=1

Or, d’après la propriété de linéarité :

I+J=01ex(ex+2)dx+012(ex+2)dx=01(ex+2)(ex+2)dx=011dx=G(1)G(0)\begin{aligned}I+J&=∫0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx+∫0^1 {2\over (e^x+2)} dx\&=∫0^1 {(e^x+2)\over (e^x+2)} dx\&=∫0^1 1 dx=G(1)-G(0)\end{aligned}

  • Avec G(x)=xG(x)=x

I+J=1I+J=1

On en déduit :

J=(I+J)I=1[ln(e+2)ln3]=1ln(e+2)+ln3\begin{aligned}J&=(I+J)-I\&=1-[ln (e+2) -ln 3]\&=1-ln (e+2) +ln 3\end{aligned}

Applications du calcul intégral

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale

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Propriété

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b .

Soit EE la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentant ff et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b.

  • Si f0 f≥0 sur II, alors Aire(E)=abf(x)dxAire(E)=∫_a^b f(x) dx u.a
  • Si f0f≤0, alors Aire(E)=abf(x)dxAire(E)=-∫_a^b f(x) dx u.a

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale-maths-tle

Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle [a;c][a;c], la fonction ff est positive (sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses). L’aire A1A1 sera donc égale à acf(x)dxa^c f(x) dx.

En revanche, sur l’intervalle [a;b][a;b], la fonction ff est négative (sa courbe est en dessous de l’axe des abscisses).

L’aire A2A2 sera donc égale à cbf(x)dx-∫c^b f(x) dx

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Attention

On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative mais qu’une aire, elle, est toujours positive.

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Propriété

Si ff et gg sont deux fonctions continues sur un intervalle II telles que f(x)g(x)f(x)≤g(x) sur II et si aa et bb sont deux réels de II tels que aba≤b, alors l’aire de la surface comprise entre les courbes CfCf et CgCg et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b est égale à ab(g(x)f(x))dx∫_a^b(g(x)-f(x)) dx

Valeur moyenne d'une fonction-maths-tle

Valeur moyenne d’une fonction

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Définition

Valeur moyenne d’une fonction :

Si ff est une fonction sur [a;b][a;b] avec aba≠b, on appelle valeur moyenne de ff sur [a;b][a;b] le réel μ=1/(ba)abf(x)dx μ=1/(b-a) ∫_a^b f(x) dx

On interprète la valeur moyenne de la manière suivante : l’aire « sous la courbe » de ff est égale à l’aire « sous la courbe » de la fonction constante égale à μμ.

Sur notre schéma, l’aire rouge est égale à l’aire bleue.