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Calcul Intégral : intégration d'une fonction

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Intégrale d’une fonction continue positive

Définition : unité d’aire

Dans un repère orthogonal (O;OI;OJ)(O;\overrightarrow {OI};\overrightarrow {OJ}), l’unité d’aire (notée u.a) est l’aire du rectangle OIKJOIKJKK est le point de coordonées (1;1)(1;1).

Unité d’aire-maths-tle

Définition : intégrale

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b][a;b] et CC sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

L’intégrale de aa à bb de ff, notée abf(x)dx∫_a^b f(x) dx, est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine DD délimité par la courbe CC, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=ax=a et x=bx=b.

On parle aussi d’aire sous la courbe CC sur l’intervalle [a;b][a;b].

Intégrale-maths-tle

Propriétés :

  • Pour toute fonction continue et positive sur [a;b][a;b], abf(x)dx∫_a^b f(x) dx est un nombre réel positif non nul.
  • Pour un intervalle de longueur nulle aaf(x)dx∫_a^a f(x) dx=0
  • Relation de Chasles ou additivité des aires : pour tous nombres réels a,b et c tels que a≤b≤c, on a : acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dxa^c f(x) dx= ∫a^b f(x) dx+ ∫_b^c f(x) dx

Propriété : calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b][a;b]. Si ff est une primitive de la fonction ff, alors abf(x)dx=F(b)F(a)∫_a^b f(x) dx=F(b)-F(a).

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition : intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Si ff est une fonction continue sur intervalle II, si FF est une primitive de ff et si aa et bb sont deux réels quelconques de II, alors on appelle intégrale de ff entre aa et bb la différence F(b)F(a)F(b)-F(a).
On note toujours abf(x)dx∫_a^b f(x) dx cette intégrale.

Propriétés :

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aa et bb des réels quelconques de II :

  • baf(x)dx=abf(x)dxb^a f(x) dx=-∫a^b f(x) dx
  • abkf(x)dx=kabf(x)dxa^b k f(x) dx=k∫a^b f(x) dx
  • ab[f(x)+g(x)]dx=abf(x)dx+abg(x)dxa^b[f(x)+g(x)] dx=∫a^b f(x) dx+∫_a^b g(x) dx

Propriété : positivité de l’intégrale

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b .

  • Si f(x)0f(x)≥0 pour tout xxde [a;b][a;b], alors abf(x)dx0∫_a^b f(x) dx≥0.
  • Si f(x)g(x)f(x)≥g(x) pour tout xxde [a;b][a;b], alors abf(x)dxabg(x)dxa^b f(x) dx≥∫a^b g(x) dx.

Applications du calcul intégral

  • Calculer une aire à l’aide d’une intégrale.

Propriété :

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b. Soit EE la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentant f et les droites d'équation x=ax=a et x=bx=b :

  • Si f0 f≥0 sur II, alors Aire(E)=abf(x)dxAire(E)=∫_a^b f(x) dx u.a.
  • Si f0f≤0, alors Aire(E)=abf(x)dxAire(E)=-∫_a^b f(x) dx u.a.
bannière à retenir

À retenir

Une intégrale peut être positive ou négative mais une aire, elle, est toujours positive.

Propriété :

Si ff et gg sont deux fonctions continues sur un intervalle II telles que f(x)g(x)f(x) ≤ g(x) sur II et si aa et bb sont deux réels de II tels que aba ≤ b, alors l’aire de la surface comprise entre les courbes CfC _f et CgC _g et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b est égale à ab(g(x)f(x))dx∫_a^b(g(x)-f(x)) dx.

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale-maths-tle

Définition : valeur moyenne d’une fonction

Si ff est une fonction sur [a;b][a;b] avec aba≠b, on appelle valeur moyenne de ff sur [a;b][a;b], le réel μ=1(ba)abf(x)dx. μ=\dfrac{1}{(b-a)} ∫_a^b f(x) dx.