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Intégrale d’une fonction continue positive
Définition : unité d’aire
Dans un repère orthogonal , l’unité d’aire (notée u.a) est l’aire du rectangle où est le point de coordonées .
Définition : intégrale
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L’intégrale de à de , notée , est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation et .
On parle aussi d’aire sous la courbe sur l’intervalle .
Propriétés :
Propriété : calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle . Si est une primitive de la fonction , alors .
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
Définition : intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
Si est une fonction continue sur intervalle , si est une primitive de et si et sont deux réels quelconques de , alors on appelle intégrale de entre et la différence .
On note toujours cette intégrale.
Propriétés :
Soit une fonction continue sur un intervalle et et des réels quelconques de :
Propriété : positivité de l’intégrale
Soit une fonction continue sur un intervalle et et deux réels de tels que .
Applications du calcul intégral
Propriété :
Soit une fonction continue sur un intervalle et et deux réels de tels que . Soit la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentant f et les droites d'équation et :
Une intégrale peut être positive ou négative mais une aire, elle, est toujours positive.
Propriété :
Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle telles que sur et si et sont deux réels de tels que , alors l’aire de la surface comprise entre les courbes et et les droites d’équation et est égale à .
Définition : valeur moyenne d’une fonction
Si est une fonction sur avec , on appelle valeur moyenne de sur , le réel