Calcul Intégral : intégration d'une fonction

Intégrale d’une fonction continue positive

Définition : unité d’aire

Dans un repère orthogonal $(O;\overrightarrow {OI};\overrightarrow {OJ})$, l’unité d’aire (notée u.a) est l’aire du rectangle $OIKJ$ où $K$ est le point de coordonées $(1;1)$.

Définition : intégrale

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$, notée $∫_a^b f(x) dx$, est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine $D$ délimité par la courbe $C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$.

On parle aussi d’aire sous la courbe $C$ sur l’intervalle $[a;b]$.

Propriétés :

• Pour toute fonction continue et positive sur $[a;b]$, $∫_a^b f(x) dx$ est un nombre réel positif non nul.
• Pour un intervalle de longueur nulle $∫_a^a f(x) dx$=0
• Relation de Chasles ou additivité des aires : pour tous nombres réels a,b et c tels que a≤b≤c, on a : $∫_a^c f(x) dx= ∫_a^b f(x) dx+ ∫_b^c f(x) dx$

Propriété : calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. Si $f$ est une primitive de la fonction $f$, alors $∫_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)$.

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition : intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Si $f$ est une fonction continue sur intervalle $I$, si $F$ est une primitive de $f$ et si $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$, alors on appelle intégrale de $f$ entre $a $ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$.
On note toujours $∫_a^b f(x) dx$ cette intégrale.

Propriétés :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ des réels quelconques de $I$ :

• $∫_b^a f(x) dx=-∫_a^b f(x) dx$
• $∫_a^b k f(x) dx=k∫_a^b f(x) dx$
• $∫_a^b[f(x)+g(x)] dx=∫_a^b f(x) dx+∫_a^b g(x) dx$

Propriété : positivité de l’intégrale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $.

• Si $f(x)≥0$ pour tout $x$de $[a;b]$, alors $∫_a^b f(x) dx≥0$.
• Si $f(x)≥g(x)$ pour tout $x$de $[a;b]$, alors $∫_a^b f(x) dx≥∫_a^b g(x) dx$.

Applications du calcul intégral

• Calculer une aire à l’aide d’une intégrale.

Propriété :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$. Soit $E$ la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentant f et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ :

• Si $ f≥0$ sur $I$, alors $Aire(E)=∫_a^b f(x) dx$ u.a.
• Si $f≤0$, alors $Aire(E)=-∫_a^b f(x) dx$ u.a.

À retenir

Une intégrale peut être positive ou négative mais une aire, elle, est toujours positive.

Propriété :

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x) ≤ g(x)$ sur $I$ et si $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a ≤ b$, alors l’aire de la surface comprise entre les courbes $C _f$ et $C _g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à $∫_a^b(g(x)-f(x)) dx$.

Définition : valeur moyenne d’une fonction

Si $f$ est une fonction sur $[a;b]$ avec $a≠b$, on appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$, le réel $ μ=\dfrac{1}{(b-a)} ∫_a^b f(x) dx. $