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La division euclidienne

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Introduction :

Lors de nombreuses situations, nous nous retrouvons à devoir séparer des objets en parts égales.
Au cours de cette leçon, nous allons voir ce qu’est une division pour ensuite apprendre la technique de la division euclidienne. Enfin, nous étudierons un exemple d’utilisation concret.

La division

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Définition

Diviser :

Diviser une quantité signifie la partager en un certain nombre de parts égales.

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Exemple

Ainsi diviser un gâteau en quatre, signifie le partager en quatre parts égales.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Si on est 55 et que l’on a un seul paquet de bonbons on va chercher à partager les bonbons en quantités égales. On va donc diviser le nombre de bonbons par 55.
S’il y a 1515 bonbons, on fait 15 ÷5=315 \div 5 = 3
On en distribue 11 à chacun successivement jusqu’à ce qu’il n’en reste plus. On compte ensuite le nombre de bonbons que l’on a chacun. On en aura 33 chacun.

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À retenir

La division euclidienne se distingue de la division par le fait qu’elle ne prend en compte que des nombres entiers.

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Exemple

  • Si on prend 66 crayons que l’on veut diviser en 33, on fait 6 ÷3=26 \div 3 = 2
  • Si on en prend 77 et qu’on veut les diviser en 22, on fait 7 ÷2=3,57 \div 2 = 3,5 or on ne peut pas séparer un crayon en deux, on dira donc 7 =2×3+17 = 2 \times 3 + 1
  • On aura 33 crayons chacun et il en restera 11.

Comme précédemment, on en distribue un chacun successivement jusqu’à ce qu’il n’y en ai plus. On se rend alors compte qu’on n’en a pas le même nombre : il y en a un qui en a 44 et l’autre 33. Pour en avoir le même nombre, comme on ne peut pas séparer le crayon en 22, on en donnera 33 à chacun et on dira qu’il en reste 11.

Lorsqu’on ne peut pas séparer les objets que l’on partage, on effectue une division dite euclidienne où l’on peut avoir un reste (une quantité d’objet qui ne sera pas distribué).

Cependant, on s’aperçoit vite qu’il est difficile de diviser des grandes quantités en utilisant cette méthode. Un outil mathématique a donc été créé pour effectuer les divisions.

La technique opératoire de la division euclidienne

La division euclidienne de deux nombres à un chiffre

Commençons par utiliser l’outil de la division à travers des exemples.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Combien de fois a-t-on 3\green{3} dans le nombre 6\blue{6} ?

  • On a 2\purple{2} fois le nombre 3\green{3} dans 6\blue{6} car 2×3=6\purple{2} \times \green{3} = 6

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

On place donc le 2\purple{2} sous le 3\green{3}.
On résout l’opération 2×3\purple{2} \times \green{3} et on note le résultat sous le 6 \blue{6}.
2×3=6\purple{2} \times \green{3} = 6, j’inscris donc un 66 sous le 6\blue{6}.
On effectue ensuite la soustraction 66=0\blue{6} - 6 = \orange{0} et on écrit le résultat dans la même colonne.
Ici le reste est de 0\orange{0}.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

On pourra ainsi écrire, si le reste est nul :
Dividende÷Diviseur=Quotient\blue{\text{Dividende}} \div \green{\text{Diviseur}} = \purple{\text{Quotient}}

Soit 6 ÷3=2\blue{6} \div \green{3} = \purple{2} et il reste 0\orange{0}.

Si le reste est différent de 00, on écrit comme ceci :

Dividende =Diviseur×Quotient+Reste\blue{\text{Dividende}} = \green{\text{Diviseur}} \times \purple{\text{Quotient}} + \orange{\text{Reste}}

Soit 6 =3×2+0\blue{6} = \green{3} \times \purple{2} + \orange{0}

On observe ici un lien très étroit entre la multiplication et la division.

Reprenons l’exemple précédent :

6×2=126 \times 2 = 12

et

12 ÷2=612 \div 2 = 6

On a donc  : 6×2 ÷2=66 \times 2 \div 2 = 6

  • On retrouve le même lien entre la multiplication et la division qu’entre l’addition et la soustraction : elles s’annulent l’une l’autre.

Il est ainsi possible d’écrire une division sous la forme d’une multiplication à trou.
Effectuer la division 20 ÷520 \div 5 revient à effectuer 5× ?=205 \times \text{?} = 20

  • La réponse est 44 dans les deux cas.

C’est ce principe que l’on applique lors d’une division euclidienne.

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Exemple

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Combien de fois a-t-on 2\green{2} dans le nombre 19\blue{19} ?

On a 9\purple{9} fois le nombre 2\green{2} dans 19\blue{19} car 9×2=18\purple{9} \times \green{2} = 18
Or 10×2=2010 \times \green{2} = 20 qui est plus grand que 19\blue{19}. Par conséquent, ce résultat ne permet pas de résoudre l’équation.

On place donc le 9\purple{9} sous le 2\green{2}.
On effectue ensuite l’opération 9×2\purple{9}\times \green{2} et on note le résultat sous le 19\blue{19}.
9×2=18\purple{9}\times \green{2}= 18, on inscrit donc un 1818 sous le 19\blue{19}.

On effectue ensuite la soustraction 1918=1\blue{19} - 18 = \orange{1} et on écrit le résultat dans la même colonne.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Ici, le reste est 1\orange{1}.

On ne peut pas continuer l’opération puisqu’il est impossible de vérifier combien de fois on peut mettre 2\green{2} dans 1\orange{1}.

On a donc 19 ÷2=9\blue{19} \div \green{2} = \purple{9} et il reste 1\orange{1}.
Soit 19 =2×9+1\blue{19} = \green{2} \times \purple{9} + \orange{1}

La division euclidienne à plusieurs chiffres

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Exemple

  • On commence par prendre uniquement le premier chiffre du dividende : 5\blue{5}.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Combien de fois peut-on avoir 3\green{3} dans le nombre 5\blue{5} ?
1\purple{1} fois seulement puisque 2×3=62 \times \green{3} = 6 ce qui est plus grand que 5\blue{5}.

On cherche ici les dizaines du quotient. En effet 3×1 dizaine\green{3} \times \purple{1}\text{ dizaine} correspond à 3 dizaines\green{3}\text{ dizaines} que l’on va soustraire à 5 dizaines\blue{5}\text{ dizaines}.

On place donc le 1\purple{1} sous le 3\green{3}.
On effectue ensuite l’opération 1×3\purple{1} \times \green{3} et on note le résultat sous le 5\blue{5}.
1×3=3\purple{1} \times \green{3} = 3, on inscrit le 33 sous le 5\blue{5}.

On effectue ensuite la soustraction 53=2\blue{5} - 3 = \red{2} et on écrit le résultat dans la même colonne.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

  • On abaisse ensuite le 8\blue{8}. On obtient ainsi le chiffre 28\red{28}.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

On cherche maintenant à savoir combien de fois on a 3\green{3} dans 28\red{28}.
On trouve 9\purple{9} puisque 9×3=27\purple{9} \times \green{3} = 27 et 10×3=3010 \times \green{3} = 30 ce qui est plus grand que 28\red{28}. Ce résultat ne permet donc pas de résoudre l’équation.

On place par conséquent le 9\purple{9} à côté du 1\purple{1} sous le 3\green{3}.
On effectue ensuite l’opération 9×3\purple{9} \times \green{3} et on note le résultat sous le 28\red{28}.
9×3=27\purple{9} \times \green{3}=27, on inscrit donc 2727 sous le 28\red{28}.
On effectue ensuite la soustraction 2827=1\red{28} - 27 = \orange{1} et on écrit le résultat dans la même colonne.

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Ici, nous avons cherché les unités du quotient.

On vérifie dans 1\orange{1} combien de fois on peut mettre 3\green{3} : on ne peut pas.

On a donc 58 ÷3=19\blue{58} \div \green{3} = \purple{19} et il reste 1\orange{1}.
Soit 58 =3×19+1\blue{58} = \green{3} \times \purple{19} + \orange{1}

Nous avons pu voir que ce type de division nous permet de partager une certaine quantité d’objets. Voyons maintenant dans quel cas précis utiliser cet outil.

Utilisation de la division euclidienne

Un fleuriste possède 3636 lilas et 2424 marguerites.
Il veut faire deux bouquets constitués de ces deux fleurs en quantités égales.

Combien y aura-t-il de lilas dans chaque bouquet ? Et combien de marguerites ?

  • Recherche du nombre de lilas dans le bouquet
  • On cherche combien de fois on peut mettre 2\green{2} dans 3\blue{3}. On ne peut mettre 2\green{2} que 1\purple{1} fois dans 3\blue{3} car 2×2=42\times \green{2}=4 et 4>34>\blue{3}
  • On note le 1\purple{1} au quotient, on effectue la soustraction 32=1\blue{3}-2=\red{1} et on écrit le résultat dans la même colonne.
  • On abaisse ensuite le 6\blue{6}. On obtient ainsi le chiffre 16\red{16}.
  • On cherche combien de fois on peut mettre 2\green{2} dans 16\red{16}. On trouve 8\purple{8} car 8×2=16\purple{8}\times \green{2}=16
  • On note le 8\purple{8} au quotient, on effectue la soustraction 1616=0\red{16}-16=\orange{0} et on écrit le résultat dans la même colonne.
  • On a donc 36÷2=18\blue{36}\div \green{2}=\purple{18} et il reste 0\orange{0}.
  • Soit 36=2×18\blue{36}=\green{2}\times \purple{18}

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Le fleuriste mettra donc 18\purple{18} lilas par bouquet.

  • Recherche du nombre de marguerites dans le bouquet

La divsion euclidienne mathématiques quatrième

Le fleuriste mettra donc 12\purple{12} marguerites par bouquet.

Conclusion :

Durant ce cours nous avons appris une nouvelle technique opératoire : la division euclidienne. Elle permet de diviser des nombres entiers.