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La fonction affine

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Notion de fonction affine

  • Fonction affine :
  • aa et bb désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine ff est une fonction définie sur R\mathbb R par la relation f(x)=ax+bf(x)=ax+b.
  • Remarque : toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines et toutes les fonctions constantes sont également des fonctions affines.
  • Image et antécédent :
  • On dit que le nombre f(x)f(x) est l’image du nombre xx par la fonction ff définie sur R\mathbb R.
  • On dit que le nombre xx est l’antécédent du nombre f(x)f(x) par la fonction ff définie sur R\mathbb R.
  • Si une fonction ff, définie sur R\mathbb R, est affine et n’est pas constante, alors tout nombre admet un antécédent et un seul par la fonction ff.

Représentation graphique d’une fonction affine

  • Propriété :
  • La représentation graphique de la fonction affine f:xax+bf : x\rightarrow ax+b définie sur R\mathbb R, est une droite (d)(d). La droite (d)(d) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b)(0\ ;\ b).
  • On dit que cette droite a pour équation y=ax+by=ax+b, et que :
  • aa est le coefficient directeur de la droite (d)(d) ;
  • bb est l’ordonnée à l’origine de la droite (d)(d).
  • Deux méthodes pour représenter une fonction affine :
  • La première méthode est d’utiliser les coordonnées de deux points appartenant à cette droite, puis de tracer cette dernière en passant par ces deux points.
  • La deuxième méthode consiste à utiliser l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur.
  • Proportionnalité des accroissements :
  • On considère la fonction affine ff définie sur R\mathbb R par f(x)=ax+bf(x)=ax+b et (d)(d) la droite qui la représente dans un repère.
  • Soit A(xA ; yA)A(xA\ ;\ yA) et B(xB ; yB)B(xB\ ;\ yB) deux points quelconques de (d)(d). a=f(xB)f(xA)xBxA=yByAxBxAa=\dfrac{f(xB )-f(xA)}{xB-xA }=\dfrac{yB-yA}{xB-xA}
  • Les accroissements des images f(x)f(x) sont proportionnels aux accroissements des nombres xx. Le coefficient de proportionnalité de ces accroissements est le nombre aa.

Variation et signe d’une fonction affine

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur aa. Ce coefficient représente la « pente » de la droite représentative de ff.

  • Si a>0a > 0, la fonction est croissante, la droite « monte ».

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  • Lorsque a>0a > 0, la fonction est croissante sur R\mathbb R ; cela signifie qu’elle est d’abord négative (en dessous de l’axe des abscisses) puis positive (au-dessus de l’axe des abscisses).

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  • Si a=0a=0, la fonction est constante, la droite est horizontale.

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  • Si a<0a < 0, la fonction est décroissante, la droite « descend ».

Alt texte

  • Lorsque a<0a < 0, la fonction est décroissante sur R\mathbb R ; cela signifie qu’elle est d’abord positive (au-dessus de l’axe des abscisses) puis négative (en dessous de l’axe des abscisses).

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