Fiche de révision La fonction affine

Notion de fonction affine

• Fonction affine :
• $a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb R$ par la relation $f(x)=ax+b$.
• Remarque : toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines et toutes les fonctions constantes sont également des fonctions affines.
• Image et antécédent :
• On dit que le nombre $f(x)$ est l’image du nombre $x$ par la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$.
• On dit que le nombre $x$ est l’antécédent du nombre $f(x)$ par la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$.
• Si une fonction $f$, définie sur $\mathbb R$, est affine et n’est pas constante, alors tout nombre admet un antécédent et un seul par la fonction $f$.

Représentation graphique d’une fonction affine

• Propriété :
• La représentation graphique de la fonction affine $f : x\rightarrow ax+b$ définie sur $\mathbb R$, est une droite $(d)$. La droite $(d)$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\ ;\ b)$.
• On dit que cette droite a pour équation $y=ax+b$, et que :
• $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ;
• $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$.
• Deux méthodes pour représenter une fonction affine :
• La première méthode est d’utiliser les coordonnées de deux points appartenant à cette droite, puis de tracer cette dernière en passant par ces deux points.
• La deuxième méthode consiste à utiliser l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur.
• Proportionnalité des accroissements :
• On considère la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax+b$ et $(d)$ la droite qui la représente dans un repère.
• Soit $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ deux points quelconques de $(d)$. $$a=\dfrac{f(x_B )-f(x_A)}{x_B-x_A }=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
• Les accroissements des images $f(x)$ sont proportionnels aux accroissements des nombres $x$. Le coefficient de proportionnalité de ces accroissements est le nombre $a$.

Variation et signe d’une fonction affine

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur $a$. Ce coefficient représente la « pente » de la droite représentative de $f$.

• Si $a > 0$, la fonction est croissante, la droite « monte ».

• Lorsque $a > 0$, la fonction est croissante sur $\mathbb R$ ; cela signifie qu’elle est d’abord négative (en dessous de l’axe des abscisses) puis positive (au-dessus de l’axe des abscisses).

• Si $a=0$, la fonction est constante, la droite est horizontale.

• Si $a < 0$, la fonction est décroissante, la droite « descend ».

• Lorsque $a < 0$, la fonction est décroissante sur $\mathbb R$ ; cela signifie qu’elle est d’abord positive (au-dessus de l’axe des abscisses) puis négative (en dessous de l’axe des abscisses).

La fonction valeur absolue

• Définition :
• La fonction valeur absolue est la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=|x|$.
• Pour tout réel $x$ : $$|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\geq0\-x&\text{si }x\leq0\end{cases}$$
• Propriétés : $|x|\geq0$, $|x|=|-x|$, et $|x|=|y|\iff x=y$ ou $x=-y$.
• Exemples : $f(-2)=f(2)=2$ ; les antécédents de $3,2$ sont $3,2$ et $-3,2$.
• Représentation graphique et variations :
• Sur $[0\,;+\infty[$, $|x|$ se confond avec la fonction affine $x\mapsto x$ ; sur $]-\infty\,;0]$, avec $x\mapsto -x$.
• La représentation graphique est la réunion de deux demi-droites ($y=x$ pour $x\geq0$ et $y=-x$ pour $x\leq0$) : on dit que $f$ est affine par morceaux.
• La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
• Elle admet un minimum égal à $0$, atteint pour $x=0$.
• Équations et inéquations :
• Équation $|x|=k$ :
• si $k<0$, aucune solution ;
• si $k=0$, une seule solution : $x=0$ ;
• si $k>0$, deux solutions : $x=k$ ou $x=-k$.
• Inéquation $|x|<k$ :
• si $k\leq0$, aucune solution ;
• si $k>0$, $x\in]-k\,;k[$ (exemple : $|x|<2\iff x\in]-2\,;2[$).
• Pour les autres inégalités ($\leq$, $>$, $\geq$), on s’appuie sur la courbe :
• pour $|x|<k$ ou $|x|\leq k$, on prend les points de la courbe sous la droite $y=k$ ;
• pour $|x|>k$ ou $|x|\geq k$, on prend les points au-dessus de la droite $y=k$ ;
• l’inégalité stricte exclut les abscisses des points d’intersection, l’inégalité large les inclut.