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La fonction affine

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Notion de fonction affine

Définition et vocabulaire

Définition : une fonction affine

$a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb R$ par la relation $f(x)=ax+b$.

Remarque : Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines et toutes les fonctions constantes sont également des fonctions affines.

Images et antécédents

Propriété :

  • On dit que le nombre $f(x)$ est l’image du nombre $x$ par la fonction $f$. On dit que le nombre $x$ est l’antécédent du nombre $f(x)$ par la fonction $f$.
  • Si une fonction $f$ est affine et n’est pas constante, alors tout nombre admet un antécédent et un seul par la fonction $f$.

Représentation graphique d’une fonction affine

Propriété et vocabulaire

Propriété :

La représentation graphique de la fonction affine $f : x\rightarrow ax+b$ est une droite $(d)$. La droite $(d)$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ;b)$.

On dit que cette droite a pour équation $y=ax+b$, et que :

  • $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ;
  • $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$.

Proportionnalité des accroissements

Propriété :

On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x)=ax+b$ et $D$ la droite qui la représente dans un repère.

Soit $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points quelconques de $D$.

$a=\dfrac{f(x_B )-f(x_A)}{x_B-x_A }=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Les accroissements des images $f(x)$ sont proportionnels aux accroissements des nombres $x$.

Le coefficient de proportionnalité de ces accroissements est le nombre $a$.

Variation et signe d’une fonction affine

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur $a$. Ce coefficient représente la « pente » de la droite représentative de $f$.

  • Si $a > 0$, la fonction est croissante, la droite « monte ».

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  • Si $a=0$, la fonction est constante, la droite est horizontale.

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  • Si $a < 0$, la fonction est décroissante, la droite « descend ».

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  • Lorsque $a > 0$, la fonction est croissante sur $\mathbb R$ ; cela signifie qu’elle est d’abord négative (en dessous de l’axe des abscisses) puis positive (au-dessus de l’axe des abscisses).

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  • Lorsque $a < 0$, la fonction est décroissante sur $\mathbb R$ ; cela signifie qu’elle est d’abord positive (au-dessus de l’axe des abscisses) puis négative (en dessous de l’axe des abscisses).

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