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La fonction affine

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Introduction :

Une fonction est un procédé de calcul qui, à un nombre, fait correspondre un seul autre nombre.

La fonction ff associe au nombre xx un nombre unique noté f(x)f(x). Il existe plusieurs types de fonctions, comme par exemple les fonctions affines.

Nous allons donc débuter cette leçon par les définitions et le vocabulaire sur la notion de fonction affine et sur les images et antécédents, puis nous étudierons la représentation graphique d’une fonction affine et la proportionnalité des accroissements. Enfin, nous terminerons par la résolution d’inéquations du 1er degré et l’étude des variations et du signe d’une fonction affine.

Notion de fonction affine

Définition et vocabulaire

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Définition

Fonction affine :

aa et bb désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine ff est une fonction définie sur R\mathbb{R} par la relation f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

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Exemple

Prenons un exemple avec a=2a=-2 et b=5b=5.

La fonction ff qui à un nombre xx associe le nombre 2x+5-2x+5 est une fonction affine.

  • On note f:x2x+5f:x→-2x+5 ou f(x)=2x+5f(x)=-2x+5

Observons deux cas particuliers pour lesquels on considère la fonction affine f:xax+bf:x→ax+b.

  • Si a=0a=0, l’écriture devient f(x)=bf(x)=b. On dit que ff est une fonction constante.
  • Par exemple, f(x)=3f(x)=3 est une fonction constante.
  • Si b=0b=0, l’écriture devient f(x)=axf(x)=ax. On dit que ff est une fonction linéaire de coefficient aa
  • Par exemple, f(x)=4xf(x)=4x est une fonction linéaire de coefficient 44.
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À retenir

  • Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines.
  • Toutes les fonctions constantes sont également des fonctions affines.

Images et antécédents

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À retenir

On dit que le nombre f(x)f(x) est l’image du nombre xx par la fonction ff.

Si une fonction ff est affine et n’est pas constante, alors tout nombre admet un antécédent et un seul par la fonction ff.

On dit que le nombre xx est l’antécédent du nombre f(x)f(x) par la fonction ff.

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Exemple

On considère la fonction ff telle que f(x)=3x+1f(x)=-3x+1

  • L’image de 22 est f(2)=3×2+1=6+1=5f(2)= -3\times2+1= -6+1=-5
  • Pour calculer un antécédent, il faut résoudre une équation : pour l’antécédent de 10 :3x+1=1010\ : -3x+1=10 alors 3x=9-3x=9 et x=3x=-3.
  • On dit que l’antécédent de 1010 est 3-3.

Représentation graphique d’une fonction affine

Propriété et vocabulaire

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Propriété

  • Propriété admise :

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f:xax+bf:x→ax+b est une droite (d)(d). La droite (d)(d) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b)(0\ ;\ b).

On dit que cette droite a pour équation y=ax+by=ax+b et que :

  • aa est le coefficient directeur de la droite (d)(d) ;
  • bb est l’ordonnée à l’origine de la droite (d)(d).

Deux méthodes pour représenter une fonction affine

Première méthode pour représenter une fonction affine

La première méthode est d’utiliser les coordonnées de deux points appartenant à cette droite.

Prenons l’exemple de la fonction affine gg définie par g(x)=4x+3g(x)=-4x+3 et construisons sa représentation graphique.

  • Tout d’abord, il faut trouver deux points dont les coordonnées vérifient l’égalité y=4x+3y=-4x+3:
  • Prenons x=1x=1 : y=4×1+3=4+3=1y=-4\times1+3=-4+3=-1
  • Le point A(1;1)A(1 ; -1) appartient à la représentation graphique de la fonction gg.
  • Prenons x=0x=0 : y=4×0+3=0+3=3y=-4×0+3=0+3=3
  • Le point B(0 ; 3)B(0\ ;\ 3) appartient à la représentation graphique de la fonction gg.
  • On place les deux points obtenus dans un repère et on trace la droite (AB)(AB) qui est la représentation graphique de la fonction.

Seconde méthode pour représenter une fonction affine

La deuxième méthode consiste à utiliser l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur.

Prenons l’exemple de la fonction affine hh définie par h(x)=34x2h(x)=\dfrac{3}{4}x-2 et construisons sa représentation graphique.

  • Le coefficient directeur est a=34a=\dfrac{3}{4} et l’ordonnée à l’origine est b=2b=-2.
  • La droite représentative passera nécessairement par le point de coordonnées (0 ; 2)(0\ ;\ -2).
  • Ensuite, pour passer de ce point à un autre point de la droite, on se sert du coefficient directeur : l’ordonnée augmente de 34\dfrac{3}{4} quand l’abscisse augmente de 1 ou encore, par proportionnalité, l’ordonnée augmente de 3 quand l’abscisse augmente de 4.
  • Il ne reste plus qu’à relier ces deux points pour former la représentation graphique de la fonction hh.

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Astuce

Inversement, si on connait la représentation graphique d’une droite, on peut retrouver l’expression de la fonction affine correspondante en lisant sur le graphique le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.

Proportionnalité des accroissements

La propriété suivante concernant la proportionnalité des accroissements permet de déterminer l’expression d’une fonction affine quand on connaît deux points de sa représentation.

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Propriété

On considère la fonction affine ff définie par f(x)=ax+bf(x)=ax+b et DD la droite qui la représente dans un repère.

Soit A(xA ;yA)A(xA\ ; yA) et B(xB ;yB)B(xB\ ; yB) deux points quelconques de DD.

a=f(xB)f(xA)xBxA=yByAxBxAa=\dfrac{f(xB)-f(xA)}{xB-xA}=\dfrac{yB-yA}{xB-xA}

Les accroissements des images f(x)f(x) sont proportionnels aux accroissements des nombres xx.

Le coefficient de proportionnalité de ces accroissements est le nombre aa.

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Exemple

Si on demande de donner l’expression de f(x)f(x) sachant que sa représentation graphique passe par les points A(2 ; 3)A(2\ ;\ 3) et B(4 ;6)B(-4\ ;6) :

  • On commence par calculer le coefficient aa avec la formule précédente :

a=f(xB)f(xA)xBxA=6342=36=12a=\dfrac{f(xB)-f(xA)}{xB-xA}=\dfrac{6-3}{-4-2}=\dfrac{3}{-6}=-\dfrac{1}{2}

  • Alors f(x)=12x+bf(x)=-\dfrac{1}{2}x+b.
  • Or on sait que f(2)=3f(2)=3 d’après les coordonnées du point AA donc 3=12×2+b3=-\dfrac{1}{2}×2+b.

En résolvant cette équation, on a 3=1+b3=-1+b donc b=4b=4.

  • Ainsi, f(x)=12x+4f(x)=-\dfrac{1}{2}x+4.

Variation et signe d’une fonction affine

Faire le lien entre variation et signe

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Propriété

Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe du cœfficient directeur aa. Ce cœfficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de ff.

Si a>0a > 0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a=0a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale. Si a<0a < 0 la fonction est décroissante, la droite « descend ».

  • Dans le premier cas (lorsque a>0a>0) on voit que que la fonction est croissante sur R\mathbb{R} ; cela signifie qu’elle est d’abord négative (en dessous de l’axe des abscisses) puis positive (au-dessus de l’axe des abscisses).

Le changement de signe se produit pour x=bax=-\dfrac{b}{a} lorsque la droite représentative de ff coupe l’axe des abscisses.

  • De même, on peut voir dans le troisième cas (lorsque a<0a<0) que la fonction est décroissante sur R\mathbb{R} ; cela signifie qu’elle est d’abord positive (au-dessus de l’axe des abscisses) puis négative (en -dessous de l’axe des abscisses).

Le changement de signe se produit pour x=bax=-\dfrac{b}{a} lorsque la droite représentative de ff coupe l’axe des abscisses.

Résolution d’inéquations du 1er degré

Les variations et le signe d’une fonction affine permettent de résoudre de nombreuses inéquations du premier degré.

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Exemple

Soit ff la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x+1f(x)=-2x+1. Donner le tableau de signes de f(x)f(x) et en déduire la résolution de l’inéquation 2x+10-2x+1\geq0

Pour cette fonction affine, a=2<0a=-2 < 0 donc ff est décroissante sur R\mathbb{R}. Elle sera donc d’abord positive jusqu’à x=bax=-\dfrac{b}{a} puis négative. Ici ba=12=12-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}.

  • On a alors le tableau de signes suivant :

On lit sur le tableau que 2x+10-2x+1\geq0 équivaut à x12x\leq\dfrac{1}{2}

  • On repère le signe + sur la deuxième ligne du tableau et on lit les valeurs correspondantes de xx sur la première ligne.

L’ensemble des solutions de l’inéquation 2x+10-2x+1\geq0 est donc l’intervalle ]  ;12]]-\infty\;;\dfrac{1}{2}].

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Exemple

Soit gg la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par g(x)=3,5x7g(x)=3,5x-7. Donner le tableau de signes de g(x)g(x) et en déduire la résolution de l’inéquation 3,5x7<03,5x-7 < 0 :

Pour cette fonction affine, a=3,5>0a=3,5 > 0 donc gg est croissante sur R\mathbb{R}. Elle sera donc d’abord négative jusqu’à x=bax=-\dfrac{b}{a} puis positive.

Ici ba=73,5=73,5=2-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-7}{3,5}=\dfrac{7}{3,5}=2

  • On a alors le tableau de signes suivant :

On lit sur le tableau que 3,5x7<03,5x-7<0 équivaut à x<2x<2 (on repère le signe ─ sur la deuxième ligne du tableau et on lit les valeurs correspondantes de xx sur la première ligne).

L’ensemble des solutions de l’inéquation 3,5x7<03,5x-7<0 est donc l’intervalle ]  ;2[]-\infty\;;2[

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À retenir

Lorsqu’il s’agit d’une inégalité large (\leq ou \geq) le crochet est tourné vers l’intérieur de l’ensemble solution et lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (<< ou >>) le crochet est tourné vers l’extérieur.

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Astuce

Si tu n’es pas à l’aise avec la notion d’intervalle, n’hésite pas à regarder le cours concernant les généralités sur les fonctions dans lequel la première partie est consacrée aux intervalles.

Conclusion :

  • Une fonction affine ff est une fonction définie sur R\mathbb{R} par la relation f(x)=ax+bf(x)=ax+b.
  • La représentation graphique de la fonction affine f:xax+bf:x→ax+b est une droite (d)(d). Cette droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ;b)(0\ ;b).
  • On peut calculer son cœfficient directeur en utilisant la formule a=f(xB)f(xA)xBxA=yByAxBxAa=\dfrac{f(xB)-f(xA)}{xB-xA}=\dfrac{yB-yA}{xB-xA}
  • Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur aa. Ce coefficient représente la « pente » de la droite représentative de ff.
  • On représente le sens de variation dans un tableau de variation et la variation du signe dans un tableau de signes.