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Introduction :
Nous allons débuter ce cours en présentant la fonction cube avec sa représentation graphique et ses propriétés. Puis nous établirons une comparaison entre la fonction cube et les fonctions de référence que sont la fonction carrée et la fonction affine . Cette comparaison consistera en l’étude de leurs positions relatives.
La fonction cube : définition et courbe représentative
Fonction cube :
La fonction cube est la fonction définie sur ou encore $]-\infty\,;\,+\infty<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$ par $f(x)=x^3$.
Représentation graphique
Afin de tracer la courbe représentative de la fonction cube sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeurs. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, nous allons établir un tableau de valeurs entre $-2$ et $2$ et tracer la fonction cube.
La fonction cube est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :
Équation du type $x^3=k$ où $k$ est un réel
Pour résoudre graphiquement l’équation $x^3=k$, on suit les étapes suivantes :
On admet qu’il existe une solution unique à l’équation $x^3=k$.
Pour résoudre l’équation $x^3=-1$, on suit les étapes suivantes :
L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $-1$. Ainsi l’équation $x^3=-1$ admet une unique solution égale à $-1$.
Racine cubique :
La racine cubique d’un nombre réel $y$ est l’unique nombre $x$ qui, élevé à la puissance $3$, c’est-à-dire multiplié trois fois par lui-même, vaut $y$. Ainsi, $y = x^3$. La racine cubique de $y$ est notée $\sqrt[3] {y}$.
Pour tout nombre réel $k$, l’équation $x^3=k$ admet une unique solution que l’on appelle racine cubique de $k$.
Inéquation du type $x^3<k$ où $k$ est un réel
Pour résoudre graphiquement l’inéquation $x^3<k$, on suit les étapes suivantes :
La solution est l’intervalle trouvé. On admettra que l’intervalle solution est unique.
On cherche à résoudre graphiquement $x^3<8$. On suit la démarche ci-dessus :
Représentation graphique
Afin de tracer la courbe représentative de la fonction cube sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeurs. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, nous allons établir un tableau de valeurs entre $-2$ et $2$ et tracer la fonction cube.
La fonction cube est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :
[EX]
Équation du type $x^3=k$ où $k$ est un réel
Pour résoudre graphiquement l’équation $x^3=k$, on suit les étapes suivantes :
On admet qu’il existe une solution unique à l’équation $x^3=k$.
Pour résoudre l’équation $x^3=-1$, on suit les étapes suivantes :
L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $-1$. Ainsi l’équation $x^3=-1$ admet une unique solution égale à $-1$.
Racine cubique :
La racine cubique d’un nombre réel $y$ est l’unique nombre $x$ qui, élevé à la puissance $3$, c’est-à-dire multiplié trois fois par lui-même, vaut $y$. Ainsi, $y = x^3$. La racine cubique de $y$ est notée $\sqrt[3] {y}$.
Pour tout nombre réel $k$, l’équation $x^3=k$ admet une unique solution que l’on appelle racine cubique de $k$.
Inéquation du type $x^3<k$ où $k$ est un réel
Pour résoudre graphiquement l’inéquation $x^3<k$, on suit les étapes suivantes :
La solution est l’intervalle trouvé. On admettra que l’intervalle solution est unique.
On cherche à résoudre graphiquement $x^3<8$. On suit la démarche ci-dessus :
L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $2$. Ainsi, l’équation $x^3 <8$ admet comme ensemble de solutions l’unique intervalle $]#x27; in math mode at position 1: $̲.
…" style="color: cc0000">$.
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L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $2$. Ainsi, l’équation $x^3 <8$ admet comme ensemble de solutions l’unique intervalle $-\infty\,;\,2<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$. L’intervalle est ouvert du côté de $2$ car il s’agit d’une inégalité stricte.
Pour tout nombre réel $k$, l’inéquation $x^3
Pour tout nombre réel $k$, l’inéquation $x^3
L’inéquation $x^3<3,375$ admet comme ensemble de solutions l’intervalle $]#x27; in math mode at position 1: $̲.
[EX] L’inéqu…" style="color:#cc0000">$.
[EX] L’inéquation $x^3<3,375$ admet comme ensemble de solutions l’intervalle $-\infty\,;\,\sqrt[3] {3,375}-\infty\,;\,1,5<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$.
Position relative des fonctions de référence
Étudier la position relative de plusieurs fonctions sur un intervalle consiste à préciser laquelle est au-dessus ou au-dessous de l’autre et en quels points elles se croisent.
Soient $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ les courbes représentatives des trois fonctions $f\,: \,x\,\rightarrow x^3$, $g\,: \,x\,\rightarrow x^2$ et $h\,: \,x\,\rightarrow x$ sur l’intervalle $[0\,;\,+\infty[$.
Dans cette partie, nous allons étudier la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$, pour $x\ge 0$.
Pour $x\ge0$ :
Voici une représentation graphique illustrant la position relative des courbes en fonction de $x$ :
[DEMO]
[/EX]
Position relative des fonctions de référence
Étudier la position relative de plusieurs fonctions sur un intervalle consiste à préciser laquelle est au-dessus ou au-dessous de l’autre et en quels points elles se croisent.
Soient $\mathscr Cf$, $\mathscr Cg$ et $\mathscr C_h$ les courbes représentatives des trois fonctions $f\,: \,x\,\rightarrow x^3$, $g\,: \,x\,\rightarrow x^2$ et $h\,: \,x\,\rightarrow x$ sur l’intervalle $[0\,;\,+\infty[$.
Dans cette partie, nous allons étudier la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$, pour $x\ge 0$.
Pour $x\ge0$ :
Voici une représentation graphique illustrant la position relative des courbes en fonction de $x$ :
[DEMO]