La fonction cube : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Nous allons débuter ce cours en présentant la fonction cube avec sa représentation graphique et ses propriétés. Puis nous établirons une comparaison entre la fonction cube et les fonctions de référence que sont la fonction carrée et la fonction affine $y=x$ . Cette comparaison consistera en l’étude de leurs positions relatives.

La fonction cube : définition et courbe représentative

Définition

Fonction cube :

La fonction cube est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ ou encore $]-\infty\,;\,+\infty<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$ par $f(x)=x^3$.

Représentation graphique

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction cube sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeurs. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, nous allons établir un tableau de valeurs entre $-2$ et $2$ et tracer la fonction cube.

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction cube :

$Mathématiques seconde fonction cube courbe représentative$

Propriété

Pour tout $x<0$, $f(x)=x^3<0$ ;
Pout tout $x>0$, $f(x)=x^3>0$ ;

La fonction cube est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

$Mathématiques seconde fonction cube tableau variation$

Propriété

La fonction cube n’admet pas d’extremum sur $\mathbb{R}$, c’est-à-dire qu’elle n’admet pas de valeur maximale ou minimale.
La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout $x$ réel on a : $f(-x)=-f(x)$.
Pour tous $a$ et $b$ réels tels que $a<b$, alors $f(a)<f(b)$.
La réciproque est aussi vraie, c’est-à-dire : si $f(a) $alors$
Ci-dessous une représentation graphique de cette propriété :

$Mathématiques seconde fonction cube$

Exemple

Sachant que $2<6 $alors$ f(2)<f(6)$ donc $2^3<6^3$.
Sachant que $-3<2 $alors$ f(-3)<f(2)$ donc $(-3)^3<2^3$.
Sachant que $-2,5<-1 $alors$ f(-2,5)<f(-1)$ donc $(-2,5)^3<(-1)^3$.
Sachant que $f(2,5)<f(4,2)$ alors $2,5^3<4,2^3$ donc $2,5<4,2$.

Équation du type $x^3=k$ où $k$ est un réel

Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l’équation $x^3=k$, on suit les étapes suivantes :

on trace la courbe de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y=k$ ;
on repère les points d’intersection de cette droite avec la courbe de la fonction cube ;
on note les coordonnées des points d’intersections entre les deux courbes, c’est-à-dire le couple $(\text{abscisse}\,;\,\text{ordonnée})$ pour chaque point d’intersection ;
l’abscisse du point d’intersection correspond à la solution que l’on recherche.

On admet qu’il existe une solution unique à l’équation $x^3=k$.

Exemple

Pour résoudre l’équation $x^3=-1$, on suit les étapes suivantes :

on trace la courbe représentative de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y = -1$ ;
on note les coordonnées du point d’intersection $A(-1\,;\,-1)$.

$Mathématiques seconde fonction cube$

L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $-1$. Ainsi l’équation $x^3=-1$ admet une unique solution égale à $-1$.

Résolution algébrique

Définition

Racine cubique :

La racine cubique d’un nombre réel $y$ est l’unique nombre $x$ qui, élevé à la puissance $3$, c’est-à-dire multiplié trois fois par lui-même, vaut $y$. Ainsi, $y = x^3$. La racine cubique de $y$ est notée $\sqrt[3] {y}$.

Exemple

La racine cubique de $8$ est $2$, car $2\times2\times2=8$. On écrit $\sqrt[3] {8}=2$.
La racine cubique de $-27$ est $-3$, car $(-3)\times(-3)\times(-3)=-27$. On écrit $\sqrt[3] {-27}=-3$.

Pour tout nombre réel $k$, l’équation $x^3=k$ admet une unique solution que l’on appelle racine cubique de $k$.

Exemple

L’équation $x^3=125$ admet une unique solution $\sqrt[3] {125}=5$ ;
L’équation $x^3=-8$ admet une unique solution $\sqrt[3] {-8}=-2$.

Inéquation du type $x^3<k$ où $k$ est un réel

Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l’inéquation $x^3<k$, on suit les étapes suivantes :

on trace la courbe de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y=k$ ;
on note l’abscisse du point d’intersection ;
on note l’intervalle de tous les réels inférieurs à cette abscisse.

La solution est l’intervalle trouvé. On admettra que l’intervalle solution est unique.

Exemple

On cherche à résoudre graphiquement $x^3<8$. On suit la démarche ci-dessus :

on trace la courbe de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y=8$ ;
on note le point d’intersection $A(2\,;\,8)$ : son abscisse est $2$ ;
l’intervalle solution est $]#x27; in math mode at position 1: $̲ par $f(x)=x^3$…" style="color:#cc0000">$ par $f(x)=x^3$. [/DEF]

Représentation graphique

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction cube :

$Mathématiques seconde fonction cube courbe représentative$

Propriété

Pour tout $x<0$, $f(x)=x^3<0$ ;
Pout tout $x>0$, $f(x)=x^3>0$ ;

La fonction cube est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

$Mathématiques seconde fonction cube tableau variation$

Propriété

La fonction cube n’admet pas d’extremum sur $\mathbb{R}$, c’est-à-dire qu’elle n’admet pas de valeur maximale ou minimale.
La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout $x$ réel on a : $f(-x)=-f(x)$.
Pour tous $a$ et $b$ réels tels que $a<b$, alors $f(a)<f(b)$.
La réciproque est aussi vraie, c’est-à-dire : si $f(a)<f(b)$ alors $a<b$. Cette réciprocité n’est vraie que dans le cas d’une fonction croissante.
Ci-dessous une représentation graphique de cette propriété :

$Mathématiques seconde fonction cube$

[EX]

Sachant que $2<6$ alors $f(2)<f(6)$ donc $2^3<6^3$.
Sachant que $-3<2$ alors $f(-3)<f(2)$ donc $(-3)^3<2^3$.
Sachant que $-2,5<-1$ alors $f(-2,5)<f(-1)$ donc $(-2,5)^3<(-1)^3$.
Sachant que $f(2,5)<f(4,2)$ alors $2,5^3<4,2^3$ donc $2,5<4,2$.

Équation du type $x^3=k$ où $k$ est un réel

Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l’équation $x^3=k$, on suit les étapes suivantes :

on trace la courbe de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y=k$ ;
on repère les points d’intersection de cette droite avec la courbe de la fonction cube ;
on note les coordonnées des points d’intersections entre les deux courbes, c’est-à-dire le couple $(\text{abscisse}\,;\,\text{ordonnée})$ pour chaque point d’intersection ;
l’abscisse du point d’intersection correspond à la solution que l’on recherche.

On admet qu’il existe une solution unique à l’équation $x^3=k$.

Exemple

Pour résoudre l’équation $x^3=-1$, on suit les étapes suivantes :

on trace la courbe représentative de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y = -1$ ;
on note les coordonnées du point d’intersection $A(-1\,;\,-1)$.

$Mathématiques seconde fonction cube$

L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $-1$. Ainsi l’équation $x^3=-1$ admet une unique solution égale à $-1$.

Résolution algébrique

Définition

Racine cubique :

Exemple

La racine cubique de $8$ est $2$, car $2\times2\times2=8$. On écrit $\sqrt[3] {8}=2$.
La racine cubique de $-27$ est $-3$, car $(-3)\times(-3)\times(-3)=-27$. On écrit $\sqrt[3] {-27}=-3$.

Pour tout nombre réel $k$, l’équation $x^3=k$ admet une unique solution que l’on appelle racine cubique de $k$.

Exemple

L’équation $x^3=125$ admet une unique solution $\sqrt[3] {125}=5$ ;
L’équation $x^3=-8$ admet une unique solution $\sqrt[3] {-8}=-2$.

Inéquation du type $x^3<k$ où $k$ est un réel

Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l’inéquation $x^3<k$, on suit les étapes suivantes :

on trace la courbe de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y=k$ ;
on note l’abscisse du point d’intersection ;
on note l’intervalle de tous les réels inférieurs à cette abscisse.

La solution est l’intervalle trouvé. On admettra que l’intervalle solution est unique.

Exemple

On cherche à résoudre graphiquement $x^3<8$. On suit la démarche ci-dessus :

on trace la courbe de la fonction cube ;
on trace la droite horizontale d’équation $y=8$ ;
on note le point d’intersection $A(2\,;\,8)$ : son abscisse est $2$ ;
l’intervalle solution est $-\infty\,;\,2<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$.

$Mathématiques seconde fonction cube$

L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $2$. Ainsi, l’équation $x^3 <8$ admet comme ensemble de solutions l’unique intervalle $]#x27; in math mode at position 1: $̲.

…" style="color: cc0000">$.

IMG) $Mathématiques seconde fonction cube$

L’unique point d’intersection est le point $A$ d’abscisse $2$. Ainsi, l’équation $x^3 <8$ admet comme ensemble de solutions l’unique intervalle $-\infty\,;\,2<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$. L’intervalle est ouvert du côté de $2$ car il s’agit d’une inégalité stricte.

Résolution algébrique

Pour tout nombre réel $k$, l’inéquation $x^3$. L’intervalle est ouvert du côté de $2$ car il s’agit d’une inégalité stricte. [/EX]

Résolution algébrique

Pour tout nombre réel $k$, l’inéquation $x^3-\infty\,;\,\sqrt[3] {k}<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$.

Exemple

L’inéquation $x^3<3,375$ admet comme ensemble de solutions l’intervalle $]#x27; in math mode at position 1: $̲.

[EX] L’inéqu…" style="color:#cc0000">$.

[EX] L’inéquation $x^3<3,375$ admet comme ensemble de solutions l’intervalle $-\infty\,;\,\sqrt[3] {3,375} $\ =\$ -\infty\,;\,1,5<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '[$.

Position relative des fonctions de référence

Étudier la position relative de plusieurs fonctions sur un intervalle consiste à préciser laquelle est au-dessus ou au-dessous de l’autre et en quels points elles se croisent.
Soient $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ les courbes représentatives des trois fonctions $f\,: \,x\,\rightarrow x^3$, $g\,: \,x\,\rightarrow x^2$ et $h\,: \,x\,\rightarrow x$ sur l’intervalle $[0\,;\,+\infty[$.
Dans cette partie, nous allons étudier la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$, pour $x\ge 0$.

À retenir

Pour $x\ge0$ :

si $x=0$ alors $x=x^2=x^3$ ;
si $0< x<1$ alors $x>x^2>x^3$ ;
si $x=1$ alors $x=x^2=x^3$ ;
si $1<x$ alors $x<x^2<x^3$.

Voici une représentation graphique illustrant la position relative des courbes en fonction de $x$ :

$Mathématiques seconde fonction cube$

[DEMO]

Pour $x=0 $:$
$: *$ 0=0^2=0^3$
Pour $x\in]#x27; in math mode at position 1: $̲. [/EX]

Posi…" style="color:#cc0000">$.

[/EX]

Position relative des fonctions de référence

Étudier la position relative de plusieurs fonctions sur un intervalle consiste à préciser laquelle est au-dessus ou au-dessous de l’autre et en quels points elles se croisent.
Soient $\mathscr Cf$, $\mathscr Cg$ et $\mathscr C_h$ les courbes représentatives des trois fonctions $f\,: \,x\,\rightarrow x^3$, $g\,: \,x\,\rightarrow x^2$ et $h\,: \,x\,\rightarrow x$ sur l’intervalle $[0\,;\,+\infty[$.
Dans cette partie, nous allons étudier la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$, pour $x\ge 0$.

À retenir

Pour $x\ge0$ :

si $x=0$ alors $x=x^2=x^3$ ;
si $0< x<1$ alors $x>x^2>x^3$ ;
si $x=1$ alors $x=x^2=x^3$ ;
si $1<x$ alors $x<x^2<x^3$.

Voici une représentation graphique illustrant la position relative des courbes en fonction de $x$ :

$Mathématiques seconde fonction cube$

[DEMO]

Pour $x=0 $:$
$: *$ 0=0^2=0^3$
Pour $x\in0\,;\,1[ $:$
$: *$ x^3-x^2=x^2(x-1) $, or$ x^2>0 $et comme$ x<1$ alors $x-1<0 $, d’où par multiplication de termes de signes contraires,$ x^3-x^2<0 $et ainsi$ x^3 $.$
$. ((l i s t e 2)) *$ x^2-x=x(x-1) $, or$ x>0 $et comme$ x<1$ alors $x-1<0 $, d’où par multiplication de termes de signes contraires,$ x^2-x<0 $et ainsi$ x^2 $.$
Pour $. ((l i s t e 2)) * P o u r$ x=1$ :
$1=1^2=1^3 $((l i s t e 2)) * P o u r$
Pour $((l i s t e 2)) * P o u r$ x>1$ :
$x^3-x^2=x^2(x-1) $, or$ x^2>0 $et comme$ x>1$ alors $x-1>0 $d’où par multiplication de termes de même signes,$ x^3-x^2>0 $et ainsi$ x^3>x^2 $.$
$. ((l i s t e 2)) *$ x^2-x=x(x-1) $, or$ x>0 $et comme$ x>1$ alors $x-1>0 $d’où par multiplication de termes de même signes,$ x^2-x>0 $et ainsi$ x^2>x $undefined$ x$ positives aidera à la résolution d’équations et inéquations. [/C]