Fiche de révision : La fonction cube

La fonction cube

• La fonction cube est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$.
• Pour tout $x<0$, $f(x)=x^3<0$.
• Pour tout $x>0$, $f(x)=x^3>0$.
• La fonction cube n’admet pas d’extremum sur $\mathbb{R}$ ;
• La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout $x$ réel on a : $f(-x)=-f(x)$ ;
• La fonction cube est strictement croissante.
• Pour tous $a$ et $b$ réels tels que $a<b$, alors $f(a)<f(b)$.
• La réciproque est aussi vraie, c’est-à-dire : si $f(a)<f(b)$ alors $a<b$.
• Équations de type $x^3=k$
• Pour tout nombre réel $k$, l’équation $x^3=k$ admet une unique solution que l’on appelle racine cubique de $k$ et que l’on note $\sqrt[3] {k}$.
• Inéquations de type $x^3< k$
• Pour tout nombre réel $k$, l’inéquation $x^3<k$ admet comme ensemble de solutions l’unique intervalle $]-\infty\,;\,\sqrt[3] {k}[$.

Position relative des fonctions de référence

Soient $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ les courbes représentatives des trois fonctions $f\,: \,x\,\rightarrow x^3$, $g\,: \,x\,\rightarrow x^2$ et $h\,: \,x\,\rightarrow x$ sur l’intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

• Pour $x\ge 0$, étudions la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$ :
• Si $x=0$ alors $x=x^2=x^3$
• Si $0< x<1$ alors $x>x^2>x^3$
• Si $x=1$ alors $x=x^2=x^3$
• Si $1<x$ alors $x<x^2<x^3$