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Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul
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Introduction :
La fonction exponentielle est essentielle dans le programme de terminale car elle est très souvent proposée au baccalauréat. Dans ce premier cours sur la fonction exponentielle, nous allons la définir, étudier ses propriétés et traiter quelques exemples.
Définition de la fonction exponentielle
Définition de la fonction exponentielle
Définition
Fonction exponentielle :
La fonction exponentielle est la fonction, notée $exp$, dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $exp'=exp $ et $exp(0)=1$.
- Deux conséquences :
- la fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $exp(x)\neq0$
- la fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout $x$ réel.
Propriétés de la fonction exponentielle
Propriétés de la fonction exponentielle
Propriété
- $\:exp (a+b)=exp(a)\times exp (b)$
- $\:exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$
- $\:exp(-x)=\dfrac{1}{exp(x)}$
- $\:exp(nx)=[exp(x)]^n$
On utilise une notation moins lourde : $exp(x)=e^x$.
Propriété
- $e^0=1 $ et $e^1=e$
- Pour tous nombres $a$ et $b$ :
- $\:e^{a+b}=e^{a}\times e^b$
- $\:e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^b}$
- $\:e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
- Pour tout nombre $x$ réel et pour tout entier relatif $n$, $e^{nx}=[e^{(x)}]^n$
Propriété
- $a < b$ équivaut à $e^{a} < e^b$
- $a=b$ équivaut à $e^{a}=e^b$
Résolutions de calcul
Résolutions de calcul
Exemple 1
Exemple 1
Exemple
Simplifions les écritures suivantes :
- $e^{2x}\times e^{-5x}$
On utilise la propriété $e^{a+b}=e^{a}\times e^b$ :
$$e^{2x}\times e^{-5x} = e^{2x-5x}=e^{-3x}$$
- $\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}}$
On utilise la propriété $\dfrac{e^{a}}{e^b}=e^{a-b}$ :
$$\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}} = e^{4x-(2x+1)}=e^{2x-1}$$
- $e^x\times e^{-x}$
On utilise la propriété $e^{a+b}=e^{a}\times e^b$ : $$e^x\times e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$$
Exemple 2
Exemple 2
Exemple
Résolvons les équations et inéquations suivantes :
- $e^{-x+7}=e^{x+3}$
- On utilise la propriété : $a < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b$
$\begin{aligned}e^{-x+7}&=e^{x+3} \\ -x+7&=x+3 \\ 2x&=7-3 \\ 2x&=4 \\ x&=2\end{aligned}$
- $e^{3-x}=1$
- On utilise la propriété : $a < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b$
$\begin{aligned}e^{3-x}&=1 \\ e^{3-x}&=e^0 \\ 3-x&=0 \\ x&=3\end{aligned}$
- $e^{2x+1} < e^{-x^2+4}$
- On utilise la propriété : $a=b \Leftrightarrow e^{a}=e^b$
$\begin{aligned}&e^{2x+1} < e^{-x^2+4} \\ &2x+1<-x^2+4 \\ &x^2+2x+1-4<0 \\ &x^2+2x-3<0\end{aligned}$
- On reconnaît une inéquation de second degré de la forme $ax^2+bx+c<0$.
Le discriminant est égal à : $\Delta=b^2-4ac=(2)^2-4(1)(-3)=16$ donc $\Delta>0$.
L’équation $x^2+2x-3=0$ admet donc deux solutions $x_1$ et $x_2$ :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3$
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1$
On obtient le tableau de signe suivant :
- L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2+2x-3<0$ est donc $S=]-3;1[$.