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Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul

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Introduction :

La fonction exponentielle est essentielle dans le programme de terminale car elle est très souvent proposée au baccalauréat. Dans ce premier cours sur la fonction exponentielle, nous allons la définir, étudier ses propriétés et traiter quelques exemples.

Définition de la fonction exponentielle

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Définition

Fonction exponentielle :

La fonction exponentielle est la fonction, notée $exp$, dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $exp'=exp $ et $exp(0)=1$.

  • Deux conséquences :
  • la fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $exp(x)\neq0$
  • la fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout $x$ réel.

Propriétés de la fonction exponentielle

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Propriété

  • $\:exp (a+b)=exp(a)\times exp (b)$
  • $\:exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$
  • $\:exp(-x)=\dfrac{1}{exp(x)}$
  • $\:exp(nx)=[exp(x)]^n$

On utilise une notation moins lourde : $exp(x)=e^x$.

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Propriété

  • $e^0=1 $ et $e^1=e$
  • Pour tous nombres $a$ et $b$ :
  • $\:e^{a+b}=e^{a}\times e^b$
  • $\:e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^b}$
  • $\:e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
  • Pour tout nombre $x$ réel et pour tout entier relatif $n$, $e^{nx}=[e^{(x)}]^n$
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Propriété

  • $a < b$ équivaut à $e^{a} < e^b$
  • $a=b$ équivaut à $e^{a}=e^b$

Résolutions de calcul

Exemple 1

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Exemple

Simplifions les écritures suivantes :

  • $e^{2x}\times e^{-5x}$

On utilise la propriété $e^{a+b}=e^{a}\times e^b$ :

$$e^{2x}\times e^{-5x} = e^{2x-5x}=e^{-3x}$$

  • $\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}}$

On utilise la propriété $\dfrac{e^{a}}{e^b}=e^{a-b}$ :

$$\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}} = e^{4x-(2x+1)}=e^{2x-1}$$

  • $e^x\times e^{-x}$

On utilise la propriété $e^{a+b}=e^{a}\times e^b$ : $$e^x\times e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$$

Exemple 2

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Exemple

Résolvons les équations et inéquations suivantes :

  • $e^{-x+7}=e^{x+3}$
  • On utilise la propriété : $a < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b$

$\begin{aligned}e^{-x+7}&=e^{x+3} \\ -x+7&=x+3 \\ 2x&=7-3 \\ 2x&=4 \\ x&=2\end{aligned}$

  • $e^{3-x}=1$
  • On utilise la propriété : $a < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b$

$\begin{aligned}e^{3-x}&=1 \\ e^{3-x}&=e^0 \\ 3-x&=0 \\ x&=3\end{aligned}$

  • $e^{2x+1} < e^{-x^2+4}$
  • On utilise la propriété : $a=b \Leftrightarrow e^{a}=e^b$

$\begin{aligned}&e^{2x+1} < e^{-x^2+4} \\ &2x+1<-x^2+4 \\ &x^2+2x+1-4<0 \\ &x^2+2x-3<0\end{aligned}$

  • On reconnaît une inéquation de second degré de la forme $ax^2+bx+c<0$.

la fonction exponentielle mathématiques terminale ES L

Le discriminant est égal à : $\Delta=b^2-4ac=(2)^2-4(1)(-3)=16$ donc $\Delta>0$.

L’équation $x^2+2x-3=0$ admet donc deux solutions $x_1$ et $x_2$ :

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3$

$x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1$

On obtient le tableau de signe suivant :

la fonction exponentielle mathématiques terminale ES L

  • L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2+2x-3<0$ est donc $S=]-3;1[$.