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Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul

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Introduction :

La fonction exponentielle est essentielle dans le programme de terminale car elle est très souvent proposée au baccalauréat. Dans ce premier cours sur la fonction exponentielle, nous allons la définir, étudier ses propriétés et traiter quelques exemples.

Définition de la fonction exponentielle

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Définition

Fonction exponentielle :

La fonction exponentielle est la fonction, notée expexp, dérivable sur R\mathbb{R} telle que : exp=expexp'=exp et exp(0)=1exp(0)=1.

  • Deux conséquences :
  • la fonction exponentielle ne s’annule pas sur R\mathbb{R} : pour tout xRx\in\mathbb{R}, exp(x)0exp(x)\neq0
  • la fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout xx réel.

Propriétés de la fonction exponentielle

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Propriété

  • exp(a+b)=exp(a)×exp(b)\:exp (a+b)=exp(a)\times exp (b)
  • exp(ab)=exp(a)exp(b)\:exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}
  • exp(x)=1exp(x)\:exp(-x)=\dfrac{1}{exp(x)}
  • exp(nx)=[exp(x)]n\:exp(nx)=[exp(x)]^n

On utilise une notation moins lourde : exp(x)=exexp(x)=e^x.

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Propriété

  • e0=1e^0=1 et e1=ee^1=e
  • Pour tous nombres aa et bb :
  • ea+b=ea×eb\:e^{a+b}=e^{a}\times e^b
  • eab=eaeb\:e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^b}
  • ex=1ex\:e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}
  • Pour tout nombre xx réel et pour tout entier relatif nn, enx=[e(x)]ne^{nx}=[e^{(x)}]^n
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Propriété

  • a<ba < b équivaut à ea<ebe^{a} < e^b
  • a=ba=b équivaut à ea=ebe^{a}=e^b

Résolutions de calcul

Exemple 1

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Exemple

Simplifions les écritures suivantes :

  • e2x×e5xe^{2x}\times e^{-5x}

On utilise la propriété ea+b=ea×ebe^{a+b}=e^{a}\times e^b :

e2x×e5x=e2x5x=e3xe^{2x}\times e^{-5x} = e^{2x-5x}=e^{-3x}

  • e4xe2x+1\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}}

On utilise la propriété eaeb=eab\dfrac{e^{a}}{e^b}=e^{a-b} :

e4xe2x+1=e4x(2x+1)=e2x1\dfrac{e^{4x}}{e^{2x+1}} = e^{4x-(2x+1)}=e^{2x-1}

  • ex×exe^x\times e^{-x}

On utilise la propriété ea+b=ea×ebe^{a+b}=e^{a}\times e^b : ex×ex=exx=e0=1e^x\times e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1

Exemple 2

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Exemple

Résolvons les équations et inéquations suivantes :

  • ex+7=ex+3e^{-x+7}=e^{x+3}
  • On utilise la propriété : a<bea<eba < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b

ex+7=ex+3x+7=x+32x=732x=4x=2\begin{aligned}e^{-x+7}&=e^{x+3} \ -x+7&=x+3 \ 2x&=7-3 \ 2x&=4 \ x&=2\end{aligned}

  • e3x=1e^{3-x}=1
  • On utilise la propriété : a<bea<eba < b \Leftrightarrow e^{a} < e^b

e3x=1e3x=e03x=0x=3\begin{aligned}e^{3-x}&=1 \ e^{3-x}&=e^0 \ 3-x&=0 \ x&=3\end{aligned}

  • e2x+1<ex2+4e^{2x+1} < e^{-x^2+4}
  • On utilise la propriété : a=bea=eba=b \Leftrightarrow e^{a}=e^b

e2x+1<ex2+42x+1<x2+4x2+2x+14<0x2+2x3<0\begin{aligned}&e^{2x+1} < e^{-x^2+4} \ &2x+1<-x^2+4 \ &x^2+2x+1-4<0 \\ &x^2+2x-3<0\end{aligned}

  • On reconnaît une inéquation de second degré de la forme ax2+bx+c<0ax^2+bx+c<0.

la fonction exponentielle mathématiques terminale ES L

Le discriminant est égal à : Δ=b24ac=(2)24(1)(3)=16\Delta=b^2-4ac=(2)^2-4(1)(-3)=16 donc Δ>0\Delta>0.

L’équation x2+2x3=0x^2+2x-3=0 admet donc deux solutions x1x1 et x2x2 :

x1=bΔ2a=2162=3x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3

x2=b+Δ2a=2+162=1x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1

On obtient le tableau de signe suivant :

la fonction exponentielle mathématiques terminale ES L

  • L’ensemble des solutions de l’inéquation x2+2x3<0x^2+2x-3<0 est donc S=]3;1[S=]-3;1[.