Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul

Définition de la fonction exponentielle

Définition : fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction, notée $exp$, dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $exp' = exp$ et $exp(0) = 1$.

On utilisera par la suite une notation moins lourde : $exp(x)=e^x$

Conséquences à cette définition :

• La fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$, autrement dit, pour tout $x ∈ \mathbb{R}$, $e^x \neq 0$.
• La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout $x$ réel.
• Pour tout $x ∈ \mathbb{R}$, $e^{-x}=\dfrac{1}{exp(x)}$

Propriétés de la fonction exponentielle

Propriétés :

• $:exp (a+b)=exp(a)\times exp (b)$
• $:exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$
• $:exp(-x)=\dfrac{1}{exp(x)}$
• $:exp(nx)=[exp(x)]^n$

Propriétés :

• $e^{0} =1$ et $e^{1} =e$
• Pour tous nombres $a$ et $b$ :
• $e^{a+b}=e^{a}×e^{b}$
• $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$
• $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
• Pour tout nombre $x$ réel et pour tout entier relatif n, $e^{nx}= e\big({x}\big)^{n}$

Propriétés :

• $a < b$ équivaut à $e^{a} < e^{b}$
• $a=b$ équivaut à $e^{a}=e^{b}$