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Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul

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Définition de la fonction exponentielle

Définition : fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction, notée expexp, dérivable sur R\mathbb{R} telle que : exp=expexp' = exp et exp(0)=1exp(0) = 1.

On utilisera par la suite une notation moins lourde : exp(x)=exexp(x)=e^x

Conséquences à cette définition :

  • La fonction exponentielle ne s’annule pas sur R\mathbb{R}, autrement dit, pour tout xRx ∈ \mathbb{R}, ex0e^x \neq 0.
  • La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante pour tout xx réel.
  • Pour tout xRx ∈ \mathbb{R}, ex=1exp(x)e^{-x}=\dfrac{1}{exp(x)}

Propriétés de la fonction exponentielle

Propriétés :

  • exp(a+b)=exp(a)×exp(b)\:exp (a+b)=exp(a)\times exp (b)
  • exp(ab)=exp(a)exp(b)\:exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}
  • exp(x)=1exp(x)\:exp(-x)=\dfrac{1}{exp(x)}
  • exp(nx)=[exp(x)]n\:exp(nx)=[exp(x)]^n

Propriétés :

  • e0=1e^{0} =1 et e1=ee^{1} =e
  • Pour tous nombres aa et bb :
  • ea+b=ea×ebe^{a+b}=e^{a}×e^{b}
  • eab=eaebe^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}
  • ex=1exe^{-x}=\dfrac{1}{e^x}
  • Pour tout nombre xx réel et pour tout entier relatif n, enx=e(x)ne^{nx}= e\big({x}\big)^{n}

Propriétés :

  • a<ba < b équivaut à ea<ebe^{a} < e^{b}
  • a=ba=b équivaut à ea=ebe^{a}=e^{b}