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Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées

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Introduction :

Dans ce cours, nous ferons l’étude de la fonction exponentielle à travers ses variations, ses limites et sa courbe représentative. Ensuite, nous traiterons les fonctions composées de la forme $exp(u)$ mettant en jeu la fonction exponentielle.

Étude de la fonction exponentielle

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Théorème

  • En particulier, $e^0=1$ et $e^1=e\cong2,718$
  • La dérivée de $e^x$ est $e^x$

Limites à l’infini

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Théorème

$\lim\limits_ {x \to +\infty}e^x=+\infty$ et $\lim\limits_ {x \to -\infty}e^x=0$

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ :

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur R mathématiques terminale ES L

Remarques :

  • L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.
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Rappel

Si $\lim\limits_{x \to +\infty \atop {ou \atop x \to -\infty}}f(x)=a$ , alors on dit que la droite d’équation $y=a$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ ou $-\infty$.

  • La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = x + 1$. Elle est représentée en noir ici.

Limites importantes

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Théorème

  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0.$
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Astuce

Pour retenir les résultats de ces limites, gardons en tête que la fonction exponentielle « l’emporte toujours », c’est-à-dire qu’elle domine par rapport aux autres fonctions.

Attention, cela est juste un moyen pour retenir ces résultats. On ne doit pas dire sur une copie « l’exponentielle l’emporte donc… »

Étude d’une fonction de la forme $exp(u)$

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Propriété

  • Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , la fonction $e^{u}$ est derivable sur $I$ et sa dérivée est $u' \times e^{u}$.
  • La fonction $e^{u}$ a le même sens de variation que la fonction $u$ (car c’est la composée de cette fonction $u$ avec la fonction exponentielle qui est croissante).
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Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =e^{ x^{2} +x}$. Étudions ses variations.

  • Calcul de la dérivée

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x)= (2x+1) \times e^{(x^2+x)}$

  • Étude du signe de la dérivée
  • Sur $]-\infty ; -\dfrac {1}{2}],\:\: 2x+1 \leq 0$ donc $f'(x) \leq 0$ donc $f$ est décroissante.
  • Sur $[-\dfrac {1}{2},+\infty [, \:\:2x+1 \geq 0$ donc $f'(x) \geq 0$ donc $f$ est croissante.
  • Tableau de variations

tableau de variations mathématiques terminale ES L

  • Calcul des limites :

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$