Accueil
Programme Lycée TleCours MathématiquesCours : Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composéesCours Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées
Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2026. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2026 ou des coefficients des matières … 💪
Introduction :
Dans ce cours, nous ferons l’étude de la fonction exponentielle à travers ses variations, ses limites et sa courbe représentative. Ensuite, nous traiterons les fonctions composées de la forme $exp(u)$ mettant en jeu la fonction exponentielle.
Étude de la fonction exponentielle
Théorème
- Pour tout nombre $x$, $e^x >0$
- La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- En particulier, $e^0=1$ et $e^1=e\cong2,718$
- La dérivée de $e^x$ est $e^x$
Limites à l’infini
Théorème
$\lim\limits_ {x \to +\infty}e^x=+\infty$ et $\lim\limits_ {x \to -\infty}e^x=0$
Courbe représentative de la fonction exponentielle
Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ :
Remarques :
- L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.
Rappel
Si $\lim\limits_{x \to +\infty \atop {ou \atop x \to -\infty}}f(x)=a$ , alors on dit que la droite d’équation $y=a$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ ou $-\infty$.
- La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = x + 1$. Elle est représentée en noir ici.
Limites importantes
Théorème
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$
- $\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
- $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0.$
Astuce
Pour retenir les résultats de ces limites, gardons en tête que la fonction exponentielle « l’emporte toujours », c’est-à-dire qu’elle domine par rapport aux autres fonctions.
Attention, cela est juste un moyen pour retenir ces résultats. On ne doit pas dire sur une copie « l’exponentielle l’emporte donc… »
Étude d’une fonction de la forme $exp(u)$
Propriété
- Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , la fonction $e^{u}$ est derivable sur $I$ et sa dérivée est $u' \times e^{u}$.
- La fonction $e^{u}$ a le même sens de variation que la fonction $u$ (car c’est la composée de cette fonction $u$ avec la fonction exponentielle qui est croissante).
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =e^{ x^{2} +x}$. Étudions ses variations.
- Calcul de la dérivée
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x)= (2x+1) \times e^{(x^2+x)}$
- Étude du signe de la dérivée
- Sur $]-\infty ; -\dfrac {1}{2}],:: 2x+1 \leq 0$ donc $f'(x) \leq 0$ donc $f$ est décroissante.
- Sur $[-\dfrac {1}{2},+\infty [, ::2x+1 \geq 0$ donc $f'(x) \geq 0$ donc $f$ est croissante.
- Tableau de variations
- Calcul des limites :
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$
