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Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées

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Introduction :

Dans ce cours, nous ferons l’étude de la fonction exponentielle à travers ses variations, ses limites et sa courbe représentative. Ensuite, nous traiterons les fonctions composées de la forme exp(u)exp(u) mettant en jeu la fonction exponentielle.

Étude de la fonction exponentielle

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Théorème

  • En particulier, e0=1e^0=1 et e1=e2,718e^1=e\cong2,718
  • La dérivée de exe^x est exe^x

Limites à l’infini

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Théorème

limx+ex=+\lim\limits_ {x \to +\infty}e^x=+\infty et limxex=0\lim\limits_ {x \to -\infty}e^x=0

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur R\mathbb{R} :

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur R mathématiques terminale ES L

Remarques :

  • L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en -\infty.
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Rappel

Si limx+ouxf(x)=a\lim\limits_{x \to +\infty \atop {ou \atop x \to -\infty}}f(x)=a , alors on dit que la droite d’équation y=ay=a est asymptote horizontale à la courbe en ++\infty ou -\infty.

  • La tangente à la courbe au point d’abscisse 00 a pour équation y=x+1y = x + 1. Elle est représentée en noir ici.

Limites importantes

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Théorème

  • limx0ex1x=1\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1
  • limx+exx=+\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{e^x}{x}=+\infty
  • \lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0.
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Astuce

Pour retenir les résultats de ces limites, gardons en tête que la fonction exponentielle « l’emporte toujours », c’est-à-dire qu’elle domine par rapport aux autres fonctions.

Attention, cela est juste un moyen pour retenir ces résultats. On ne doit pas dire sur une copie « l’exponentielle l’emporte donc… »

Étude d’une fonction de la forme exp(u)exp(u)

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Propriété

  • Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II de R\mathbb{R} , la fonction eue^{u} est derivable sur II et sa dérivée est u×euu' \times e^{u}.
  • La fonction eue^{u} a le même sens de variation que la fonction uu (car c’est la composée de cette fonction uu avec la fonction exponentielle qui est croissante).
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Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex2+xf(x) =e^{ x^{2} +x}. Étudions ses variations.

  • Calcul de la dérivée

Pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=(2x+1)×e(x2+x)f'(x)= (2x+1) \times e^{(x^2+x)}

  • Étude du signe de la dérivée
  • Sur ];12],2x+10]-\infty ; -\dfrac {1}{2}],\:\: 2x+1 \leq 0 donc f(x)0f'(x) \leq 0 donc ff est décroissante.
  • Sur [12,+[,2x+10[-\dfrac {1}{2},+\infty [, \:\:2x+1 \geq 0 donc f(x)0f'(x) \geq 0 donc ff est croissante.
  • Tableau de variations

tableau de variations mathématiques terminale ES L

  • Calcul des limites :

limxf(x)=+\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty

limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty