Tle S (et Tle ES, Tle L) MathématiquesCours : Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées
Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées
Introduction :
Dans ce cours, nous ferons l’étude de la fonction exponentielle à travers ses variations, ses limites et sa courbe représentative. Ensuite, nous traiterons les fonctions composées de la forme $exp(u)$ mettant en jeu la fonction exponentielle.
Étude de la fonction exponentielle
Étude de la fonction exponentielle
Théorème
- Pour tout nombre $x$, $e^x >0$
- La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- En particulier, $e^0=1$ et $e^1=e\cong2,718$
- La dérivée de $e^x$ est $e^x$
Limites à l’infini
Limites à l’infini
Théorème
$\lim\limits_ {x \to +\infty}e^x=+\infty$ et $\lim\limits_ {x \to -\infty}e^x=0$
Courbe représentative de la fonction exponentielle
Courbe représentative de la fonction exponentielle
Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ :
Remarques :
- L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.
Rappel
Si $\lim\limits_{x \to +\infty \atop {ou \atop x \to -\infty}}f(x)=a$ , alors on dit que la droite d’équation $y=a$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ ou $-\infty$.
- La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = x + 1$. Elle est représentée en noir ici.
Limites importantes
Limites importantes
Théorème
- $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$
- $\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
- $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0.$
Astuce
Pour retenir les résultats de ces limites, gardons en tête que la fonction exponentielle « l’emporte toujours », c’est-à-dire qu’elle domine par rapport aux autres fonctions.
Attention, cela est juste un moyen pour retenir ces résultats. On ne doit pas dire sur une copie « l’exponentielle l’emporte donc… »
Étude d’une fonction de la forme $exp(u)$
Étude d’une fonction de la forme $exp(u)$
Propriété
- Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , la fonction $e^{u}$ est derivable sur $I$ et sa dérivée est $u' \times e^{u}$.
- La fonction $e^{u}$ a le même sens de variation que la fonction $u$ (car c’est la composée de cette fonction $u$ avec la fonction exponentielle qui est croissante).
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =e^{ x^{2} +x}$. Étudions ses variations.
- Calcul de la dérivée
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x)= (2x+1) \times e^{(x^2+x)}$
- Étude du signe de la dérivée
- Sur $]-\infty ; -\dfrac {1}{2}],:: 2x+1 \leq 0$ donc $f'(x) \leq 0$ donc $f$ est décroissante.
- Sur $[-\dfrac {1}{2},+\infty [, ::2x+1 \geq 0$ donc $f'(x) \geq 0$ donc $f$ est croissante.
- Tableau de variations
- Calcul des limites :
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$