Fonction exponentielle : limites, fonctions composées... Tle S

Introduction :

Dans ce cours, nous ferons l’étude de la fonction exponentielle à travers ses variations, ses limites et sa courbe représentative. Ensuite, nous traiterons les fonctions composées de la forme $exp(u)$ mettant en jeu la fonction exponentielle.

Étude de la fonction exponentielle

Théorème

Pour tout nombre $x$ , $e^x >0$
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

En particulier, $e^0=1$ et $e^1=e\cong2,718$
La dérivée de $e^x$ est $e^x$

Limites à l’infini

Théorème

$\lim\limits_ {x \to +\infty}e^x=+\infty$ et $\lim\limits_ {x \to -\infty}e^x=0$

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ :

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur R mathématiques terminale ES L

Remarques :

L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$ .

Rappel

Si $\lim\limits_{x \to +\infty \atop {ou \atop x \to -\infty}}f(x)=a$ , alors on dit que la droite d’équation $y=a$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ ou $-\infty$ .

La tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = x + 1$ . Elle est représentée en noir ici.

Limites importantes

Théorème

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$
$\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0.$

Astuce

Pour retenir les résultats de ces limites, gardons en tête que la fonction exponentielle « l’emporte toujours », c’est-à-dire qu’elle domine par rapport aux autres fonctions.

Attention, cela est juste un moyen pour retenir ces résultats. On ne doit pas dire sur une copie « l’exponentielle l’emporte donc… »

Étude d’une fonction de la forme $exp(u)$

Propriété

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ , la fonction $e^{u}$ est derivable sur $I$ et sa dérivée est $u' \times e^{u}$ .
La fonction $e^{u}$ a le même sens de variation que la fonction $u$ (car c’est la composée de cette fonction $u$ avec la fonction exponentielle qui est croissante).

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =e^{ x^{2} +x}$ . Étudions ses variations.

Calcul de la dérivée

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f'(x)= (2x+1) \times e^{(x^2+x)}$

Étude du signe de la dérivée
Sur $]-\infty ; -\dfrac {1}{2}],\:\: 2x+1 \leq 0$ donc $f'(x) \leq 0$ donc $f$ est décroissante.
Sur $[-\dfrac {1}{2},+\infty [, \:\:2x+1 \geq 0$ donc $f'(x) \geq 0$ donc $f$ est croissante.
Tableau de variations

tableau de variations mathématiques terminale ES L

Calcul des limites :

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

Cours : Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées

Étude de la fonction exponentielle

Limites à l’infini

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Limites importantes

Étude d’une fonction de la forme exp(u)exp(u)exp(u)

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