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Marianne

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Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées

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Étude de la fonction exponentielle

Propriétés:

  • Pour tout nombre xx, ex>0e^x > 0
  • e0=1e^0=1 et e12,718e^1 ≈ 2,718
  • e=ee'= e
  • La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
  • Courbe représentative et tableau de variations :

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur R mathématiques terminale ES L

Limites importantes

Propriétés : limites à l’infini de la fonction exponentielle

limx+ex=+\lim\limits_{x \to +\infty} e^x= +\infty

limxex=0\lim\limits_{x \to -\infty} e^x= 0

Théorème :

limx0ex1x=1\lim\limits_{x \to 0} { \dfrac {e^x-1}{x}}= 1

limx0exx=+\lim\limits_{x \to 0} { \dfrac {e^x}{x}}= +\infty

limxxex=0\lim\limits_{x \to -\infty} { x{e^x}}= 0

bannière astuce

Astuce

Pour retenir aisément les résultats de ces limites, on peut simplifier en disant que « l’exponentielle l’emporte toujours ».

Fonction de la forme exp(u)exp(u)

Propriétés :

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II de R, la fonction eue^u est dérivable sur II et sa dérivée est u×euu'×e^u

La fonction eue^u a le même sens de variation que la fonction uu (car c’est la composée de cette fonction uu avec la fonction exponentielle qui est croissante).