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Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées

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Étude de la fonction exponentielle

Propriétés:

  • Pour tout nombre $x$, $e^x > 0$
  • $e^0=1$ et $e^1 ≈ 2,718$
  • $e'= e$
  • La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  • Courbe représentative et tableau de variations :

Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle sur R mathématiques terminale ES L

Limites importantes

Propriétés : limites à l’infini de la fonction exponentielle

$\lim\limits_{x \to +\infty} e^x= +\infty$

$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x= 0$

Théorème :

$\lim\limits_{x \to 0} { \dfrac {e^x-1}{x}}= 1$

$\lim\limits_{x \to 0} { \dfrac {e^x}{x}}= +\infty$

$\lim\limits_{x \to -\infty} { x{e^x}}= 0$

bannière astuce

Astuce

Pour retenir aisément les résultats de ces limites, on peut simplifier en disant que « l’exponentielle l’emporte toujours ».

Fonction de la forme $exp(u)$

Propriétés :

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $ℝ$, la fonction $e^u$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $u'×e^u$

La fonction $e^u$ a le même sens de variation que la fonction $u$ (car c’est la composée de cette fonction $u$ avec la fonction exponentielle qui est croissante).