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La fonction inverse

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Introduction :

Tout comme la fonction carré qui fait l’objet d’un autre cours, la fonction inverse est une fonction de référence. Comme leur nom l’indique, ces fonctions servent de référence pour étudier les variations, les extrema et les représentations graphiques d’autres fonctions plus complexes.

Nous allons donc débuter cette leçon par la définition et les propriétés de la fonction inverse puis nous verrons comment résoudre des équations et inéquations grâce à cette fonction. Nous étudierons ensuite les fonctions homographiques, leur ensemble de définition et leur courbe représentative.

Fonction inverse

Définition et propriétés

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Définition

Fonction inverse :

La fonction qui à tout nombre réel $x$ non nul associe son inverse $\dfrac{1}{x}$ est appelée fonction inverse.

Elle est définie sur $]-\infty ;0\ [\ \cup\ ]\ 0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Cet ensemble de définition se note aussi $\mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace$ ou $\mathbb{R}^*$ (ce qui se lit $\mathbb{R}$ privé de zéro)

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Exemple

$f(2)=\dfrac{1}{2}=0,5$

$f(-3)=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}$

$f\left(\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{1}{\frac{1}{5}}=5$

  • Représentation graphique :

Pour tracer la courbe représentative de la fonction inverse, on établit son tableau de valeurs :

$x$ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $-0,5$ $0$ $0,5$ $1$ $2$ $3$ $4$
$\dfrac1x$ $-0,25$ $-\dfrac13$ $-0,5$ $-1$ $-2$ $2$ $1$ $0,5$ $\dfrac13$ $-0,25$
  • On voit par exemple dans ce tableau que l’image de $-4$ est $-0,25$ et que l’image de $1$ est $1$.
  • On voit aussi que $0$ n’a pas d’image par la fonction inverse.

Courbe représentative d’une fonction inverse

  • La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
  • La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe pas l’axe des abscisses.
  • Il n’y a aucun point d’abscisse $0$ sur la courbe de la fonction inverse puisque cette fonction n’est pas définie en $0$.
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Propriété

La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine $0$ du repère.

Pour tout réel $a$ on a :

$f(-a)=\dfrac{1}{-a}=-\dfrac{1}{a}=-f(a)$

  • Les deux points de coordonnées $\left(-a\ ;-\dfrac{1}{a}\right)$ et $\left(a\ ;\dfrac{1}{a}\right)$ sont donc symétriques par rapport à l’origine du repère.

Courbe représentative d’une fonction inverse

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Propriété

La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle $]-\infty ;0[$ et décroissante sur $]0 ;+\infty[$.

Son tableau de variation est le suivant :

Dans le tableau de variation, la double barre sous le « zéro » permet de montrer que la fonction inverse n’est pas définie en $0$. On dit que $0$ est une valeur interdite.

La propriété que nous venons de voir permet de comparer deux inverses :

  • $2<5$ donc $\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{5}$ car la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\ ;+\infty[$ et donc en particulier sur $[2\ ;5]$ ;
  • $-6<-3$ donc $-\dfrac{1}{6}>-\dfrac{1}{3}$ car la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;0[$ et donc en particulier sur $[-6\ ;-3]$ ;
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À retenir

La fonction inverse inverse l’ordre sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0 ;+\infty[$ :

  • si $0 < a < b$ alors $\dfrac1a>\dfrac1b$ car la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\ ; +\infty[$ ;
  • si $a < b < 0$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$ car la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;0[$.

Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction inverse

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Exemple

  • Résolvons l’équation $\dfrac{1}{x}=2$
  • On trace la représentation de la fonction inverse et la droite d’équation $y=2$.
  • On repère ensuite le point d’intersection entre les deux représentations.
  • On lit enfin l’abscisse de ce point d’intersection.

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{x}&=2 \\ S&={0,5} \end{aligned}$$

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Exemple

  • Résolvons l’inéquation $\dfrac{1}{x}<2$
  • On trace la représentation de la fonction inverse et la droite d’équation $y=2$.
  • On repère ensuite le point d’intersection entre les deux représentations.
  • On s’intéresse enfin aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée strictement inférieure à $2$.

$$\dfrac{1}{x}<2$$

$$S=]-\infty\ ;0\ [\ \cup\ ]\ 0,5\ ;+\infty[$$

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Exemple

  • Résolvons l’inéquation $\dfrac{1}{x}\geq2$
  • On trace la représentation de la fonction inverse et la droite d’équation $y=2$.
  • On repère ensuite le point d’intersection entre les deux représentations.
  • On s’intéresse enfin aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure ou égale à 2.

$$\dfrac{1}{x}\geq2$$

$$S=]\ 0\ ;\ 0,5]$$

Fonctions homographiques

Expression et ensemble de définition

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Définition

Fonction homographique :

Une fonction homographique est une fonction de la forme :

$$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$$

où $a, b, c$ et $d$ sont des réels donnés avec $cx+d\neq0$ c’est-à-dire lorsque $x\neq-\dfrac{d}{c}$

L’ensemble de définition s’écrit : $]\ -\infty\ ;-\dfrac{d}{c}[\ \cup\ ]-\dfrac{d}{c}\ ;+\infty\ [$ ou $\mathbb{R}\setminus\lbrace-\dfrac{d}{c}\rbrace$

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Exemple

  • La fonction $f(x)=\dfrac{-x+3}{2x+7}$ est une fonction homographique. On a $a=-1; b=3 ;c=2 ;d=7$
  • De même, la fonction $g(x)=\dfrac{4}{x-1}$ est une fonction homographique. On a $a=0 ;b=4 ;c=1; d=-1$
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À retenir

L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des nombres réels qui ont une image par $f$.

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À retenir

Fonction inverse ou fonction homographiques, le dénominateur ne doit jamais être égal à zéro.

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Exemple

Soit $f(x)=\dfrac{-3x+1}{2x-8}$

Cette fonction n’est définie que lorsque $2x-8\neq0$ c’est-à-dire lorsque $2x\neq8$ et donc lorsque $x\neq4$.

L’ensemble de définition se note : $D=]\ -\infty ;4\ [\ \cup\ ]\ 4 ;+\infty\ [$ ou $\mathbb{R}\setminus \lbrace4\rbrace$.

Ici, $4$ est une valeur interdite, elle n’est pas comprise dans l’ensemble de définition (les crochets sont tournés vers l’extérieur).

Courbe représentative

La courbe représentative d’une fonction homographique a la même allure que celle de la fonction inverse.

  • Il s’agit d’une hyperbole.

Les représentations graphiques des fonctions homographiques sont constituées de deux parties distinctes.

Prenons l’exemple de la fonction définie par $f(x)=\dfrac{4x-1}{3x-6}$

Elle n’est définie que si $3x-6\neq0$ c’est-à-dire si $3x\neq6$ et donc si $x\neq2$.

Son ensemble de définition est $D=]\ -\infty\ ;2\ [\ \cup\ ]\ 2\ ;+\infty\ [$. Sa représentation graphique est la suivante :

On voit bien qu’il n’y a aucun point d’abscisse $2$ sur la courbe représentative de $f$.

Transformer une expression avec $x$ au dénominateur

Pour terminer, nous allons voir comment transformer une expression avec $x$ au dénominateur pour la mettre sous forme homographique.

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Exemple

  • Soit la fonction définie par $f(x)=3+\dfrac{4}{x-1}$, montrer qu’il s’agit bien d’une fonction homographique.

Ensemble de définition de $f$ :

$x-1\neq0\Leftrightarrow x\neq1$ donc $D=]\ -\infty\ ;1\ [\ \cup\ ]\ 1\ ;+\infty\ [$.

Nous partons ensuite de l’expression donnée $f(x)=3+\dfrac{4}{x-1}$.

$\begin{aligned} 3+\dfrac{4}{x-1}&=\frac{3(x-1)}{(x-1)}+\frac{4}{x-1}\\ &=\frac{3x-3}{x-1}+\frac{4}{x-1}\\ &=\frac{3x-3+4}{x-1}\\ &=\frac{3x+1}{x-1} \end{aligned}$

On arrive donc à $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}$.

  • Il s’agit bien d’une fonction homographique avec $a=3\ ;b=1\ ;c=1\ ;d=-1$.