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La fonction inverse

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Fonction inverse

  • Fonction inverse :

La fonction qui à tout nombre réel xx non nul associe son inverse 1x\dfrac{1}{x} est appelée fonction inverse. Elle est définie sur R\mathbb R^* par f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}.

  • Représentation graphique :

Courbe représentative d’une fonction inverse

  • La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
  • La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe pas l’axe des abscisses.
  • Il n’y a aucun point d’abscisse 00 sur la courbe de la fonction inverse puisque cette fonction n’est pas définie en 00.
  • Propriétés :
  • La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine 00 du repère. Pour tout réel aa on a : f(a)=1a=1a=f(a)f(-a)=\dfrac{1}{-a}=-\dfrac{1}{a}=-f(a)
  • Variation de la fonction inverse : la fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ] ; 0[]-\infty\ ;\ 0[ et décroissante sur ]0 ;+[]0\ ;+\infty[.
  • On dit que la fonction inverse inverse l’ordre sur ]; 0[]-\infty ;\ 0[ et sur ]0 ;+[]0\ ;+\infty[.
  • La fonction inverse n’est pas définie en 00. On dit que 00 est une valeur interdite.

Résolution d’équations et d'inéquations

Résolution d’équations du type 1x=k\dfrac{1}{x}=k, avec kRk \in \mathbb R^*, et d’inéquations du type 1x<k\dfrac{1}{x}< k ; 1xk\dfrac{1}{x} \leq k ; 1xk\dfrac{1}{x} > k ou 1xk\dfrac{1}{x} \geq k, avec kRk \in \mathbb R.

  • Tracer la représentation graphique de la fonction inverse et la droite d’équation y=ky=k parallèle à l’axe des abscisses.
  • Repérer le point d’intersection entre les deux représentations.
  • On s’intéresse ensuite :
  • pour les équations, à l’abscisse de ce point qui sera solution ;
  • pour les inéquations, aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée (strictement) inférieure ou supérieure, en fonction de l’inéquation, à kk et cet intervalle formera l’ensemble des solutions.