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La fonction racine carrée
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Introduction :
La fonction racine carrée fait partie des fonctions de références dont l’étude est au programme de seconde. Nous allons débuter ce cours en présentant la fonction racine carrée avec sa représentation graphique et ses propriétés. Puis, nous étudierons graphiquement ou algébriquement la position relative de la fonction racine carrée par rapport aux fonctions constantes où est un réel.
Courbe représentative de la fonction racine carrée
Fonction racine carrée :
La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif associe le nombre réel positif noté dont le carré est . On peut noter cette fonction avec .
Afin de tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeur. C’est à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique que nous allons établir ce tableau de valeur entre et et tracer la fonction racine carrée.
Propriétés de la fonction racine carrée
On a et pour tout on a ;
La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif, noté , tel que ;
La fonction racine carrée est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de sur $[0\,;\,+\infty[<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 135: …c15-img02.png) #̲ [/IMG]
Pour…" style="color:#cc0000"> :
Rappel :
Attention&̲nbsp;: la rac…" style="color:#cc0000">.
Attention : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas !
Équation du type \sqrt x=kk
La résolution graphique de l’équation y=k
\sqrt x=kPour résoudre graphiquement les équations \sqrt x=-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 31: …tapes suivantes&̲nbsp;:
\sqrt x=2L’uniq…" style="color:#cc0000"> ;
L’unique point d’intersection de la droite d’équation y=2A4\sqrt x=24y=-1\sqrt x=-1
Afin de résoudre algébriquement l’équation
\sqrt x=k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 43: … cas différents&̲nbsp;:Cas o…" style="color:#cc0000"> , il faut distinguer trois cas différents :
Cas où k<0\sqrt x=kk<0\sqrt x\ge 0
Cas où \sqrt x=00\sqrt 0=0
k=0Cas où \sqrt x=kx=k^2
k>0[/EX]
Inéquation du type \sqrt x
La résolution graphique de l’équation
\sqrt x<k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 11: revient à&̲nbsp;:On admettra que cet intervalle est unique.
On cherche à résoudre graphiquement les inéquations \sqrt x<-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 68: …n racine carrée&̲nbsp;;
\sqrt x<3L’uniq…" style="color:#cc0000"> ;
L’unique point d’intersection de la droite d’équation y=3A9\sqrt x<3intervalle[0\,;\,9[9y=-1\sqrt x<-1
Afin de résoudre algébriquement l’inéquation
\sqrt x<k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 37: …différentes cas&̲nbsp;:Cas …" style="color:#cc0000">, il faut distinguer différentes cas :
Cas où k<0\sqrt x=kk<0\sqrt x\ge 0
Cas où \sqrt x=00\sqrt 0=0
k=0Cas où \sqrt x
L’inéquation [0\,;\,2,25[$.
\sqrt x<1,5Conclusion :
Jusqu’à présent, seule la notion de racine carrée d’un nombre réel a été vue en cours. Ce nouveau cours nous a permis de comprendre comment se comporte la fonction racine carrée, nouvelle fonction de référence, avec ses différentes propriétés, son ensemble de définition et son tableau de variation.