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La fonction racine carrée

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Introduction :

La fonction racine carrée fait partie des fonctions de références dont l’étude est au programme de seconde. Nous allons débuter ce cours en présentant la fonction racine carrée avec sa représentation graphique et ses propriétés. Puis, nous étudierons graphiquement ou algébriquement la position relative de la fonction racine carrée par rapport aux fonctions constantes y=ky=kkk est un réel.

Courbe représentative de la fonction racine carrée

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Définition

Fonction racine carrée :

La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif xx associe le nombre réel positif noté x\sqrt x dont le carré est xx. On peut noter cette fonction f(x)=xf(x)=\sqrt x avec x0x\geq0.

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeur. C’est à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique que nous allons établir ce tableau de valeur entre 00 et 1616 et tracer la fonction racine carrée.

  • Ci-dessous la courbe représentative de la fonction racine carrée :

Mathématiques seconde réforme fonction racine carrée

Propriétés de la fonction racine carrée

  • On a 0=0\sqrt 0=0 et pour tout x>0x>0 on a x>0\sqrt x>0 ;

  • La racine carrée d’un nombre positif xx est le nombre positif, noté x\sqrt x, tel que x2=x\sqrt x^2=x ;

  • La fonction racine carrée est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de f(x)=xf(x)=\sqrt x sur $[0\,;\,+\infty[<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 135: …c15-img02.png) #̲ [/IMG]

  • Pour…" style="color:#cc0000"> :

Mathématiques seconde réforme fonction racine carrée

  • Pour tous aet et breˊelspositifstelsque réels positifs tels que a < b,alors, alors f(a) < f(b). La réciproque est aussi vraie.
  • Ci-dessous une représentation graphique de cette propriété :

Mathématiques seconde réforme fonction racine carrée

Rappel :

  • Le tableau de valeurs d'une fonction fregroupelesimagesduncertainnombredabscisses.Dansletableaudevariationdunefonction regroupe les images d'un certain nombre d’abscisses.
  • Dans le tableau de variation d’une fonction f, on indique, par des flèches « vers le haut » ou « vers le bas » si la fonction est croissante ou décroissante. On y indique aussi les limites aux bornes de l'ensemble de définition et les valeurs où la fonction change de sens.
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Exemple

  • Sachant que 2<6,alors, alors f(2)donc donc \sqrt 2<\sqrt 6;Sachantque ;
  • Sachant que f(a),alors, alors a<6<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 21: …X]

Attention&̲nbsp;: la rac…" style="color:#cc0000">.

Attention : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas !

Équation du type \sqrt x=kouˋkestunreˊel/a.Reˊsolutiongraphique((bulle,1))Lareˊsolutiongraphiquedeleˊquation est un réel

  • Résolution graphique

La résolution graphique de l’équation \sqrt x=krevientaˋtrouverlesabscissesdespointsdintersectiondelacourberepreˊsentativedelafonctioncubeavecladroitehorizontaledeˊquation revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de la fonction cube avec la droite horizontale d’équation y=k.Pourreˊsoudregraphiquementleseˊquations.

Pour résoudre graphiquement les équations \sqrt x=2et et \sqrt x=-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 31: …tapes suivantes&̲nbsp;:

  • on tra…" style="color:#cc0000">, on suit les étapes suivantes :
  • on trace la courbe représentative de la fonction carrée ;
  • on trace les droites d’équation y=2et et y=-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 186: …c15-img04.png) #̲ [/IMG]

L’uniq…" style="color:#cc0000"> ;

  • on note les abscisses des points d’intersection.

Mathématiques seconde réforme fonction racine carrée

L’unique point d’intersection de la droite d’équation y=2etlacourbeestlepoint et la courbe est le point Adabscisse d’abscisse 4.Ainsi,leˊquation. Ainsi, l’équation \sqrt x=2admetuneuniquesolutioneˊgaleaˋ admet une unique solution égale à 4.Ladroitedeˊquation. La droite d’équation y=-1napasdepointdintersectionaveclacourbedelafonction,leˊquation n’a pas de point d’intersection avec la courbe de la fonction, l’équation \sqrt x=-1nadmetdoncpasdesolution.Reˊsolutionalgeˊbrique((bulle,2))Afindereˊsoudrealgeˊbriquementleˊquation n’admet donc pas de solution.

  • Résolution algébrique

Afin de résoudre algébriquement l’équation \sqrt x=k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 43: … cas différents&̲nbsp;:

  • Cas o…" style="color:#cc0000"> , il faut distinguer trois cas différents :

  • Cas où k<0:Leˊquation : L’équation \sqrt x=kouˋk<0nadmetpasdesolutioncar n’admet pas de solution car \sqrt x\ge 0.Casouˋ.

  • Cas où k=0:Leˊquation : L’équation \sqrt x=0admetunesolutionquiesteˊgaleaˋ admet une solution qui est égale à 0car car \sqrt 0=0.Casouˋ.

  • Cas où k>0:Leˊquation : L’équation \sqrt x=kadmetunesolutionunique admet une solution unique x=k^2.[EX]Leˊquation.

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Exemple

  • L’équation \sqrt x=7admetcommeuniquesolution admet comme unique solution x=7^2=49;Leˊquation ;
  • L’équation \sqrt x=\dfrac{2}{3}admetcommeuniquesolution admet comme unique solution x=\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^2=\dfrac{4}{9};Leˊquation ;
  • L’équation \sqrt x=-3nadmetpasdesolutioncar n’admet pas de solution car -3<0<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 10: .

̲##Inéquation du…" style="color:#cc0000">.

[/EX]

Inéquation du type \sqrt xouˋkestunreˊel/b.Reˊsolutiongraphique((bulle,1))Lareˊsolutiongraphiquedeleˊquation est un réel

  • Résolution graphique

La résolution graphique de l’équation \sqrt x<k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 11: revient à&̲nbsp;:

  • trouve…" style="color:#cc0000"> revient à :
  • trouver le point d’intersection de la courbe représentative de la fonction racine carrée avec la droite horizontale d’équation y=k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 51: … d’intersection&̲nbsp;;
  • donner…" style="color:#cc0000"> ;
  • trouver l’abscisse de ce point d’intersection ;
  • donner l’intervalle comprenant tous les réels inférieurs à l’abscisse du point d’intersection et supérieurs à 0.Onadmettraquecetintervalleestunique.Onchercheaˋreˊsoudregraphiquementlesineˊquations.

On admettra que cet intervalle est unique.

On cherche à résoudre graphiquement les inéquations \sqrt x<3et et \sqrt x<-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 68: …n racine carrée&̲nbsp;;

  • on tra…" style="color:#cc0000"> :
  • on trace la courbe représentative de la fonction racine carrée ;
  • on trace les droites d’équation y=3et et y= -1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 234: …c15-img05.png) #̲ [/IMG]

L’uniq…" style="color:#cc0000"> ;

  • on note les abscisses des points d’intersection de chaque droite avec la fonction racine carrée.

Mathématiques seconde réforme fonction racine carrée

L’unique point d’intersection de la droite d’équation y=3aveclacourbeest avec la courbe est Adabscisse d’abscisse 9.Ainsi,lineˊquation. Ainsi, l’inéquation \sqrt x<3admetcommeensembledesolutionlintervalle admet comme ensemble de solution l'intervalle intervalle[0\,;\,9[.. 9estexcludelensembledessolutionscarlineˊgaliteˊeststricte.Ladroitedeˊquation est exclu de l’ensemble des solutions car l’inégalité est stricte. La droite d’équation y=-1nadmetaucunpointdintersectionaveclacourbe,lineˊquation n’admet aucun point d’intersection avec la courbe, l’inéquation \sqrt x<-1nadmetdoncpasdesolution.Reˊsolutionalgeˊbrique((bulle,2))Afindereˊsoudrealgeˊbriquementlineˊquation n’admet donc pas de solution.

  • Résolution algébrique

Afin de résoudre algébriquement l’inéquation \sqrt x<k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 37: …différentes cas&̲nbsp;:

  • Cas …" style="color:#cc0000">, il faut distinguer différentes cas :

  • Cas où k<0:Leˊquation : L’équation \sqrt x=kouˋk<0nadmetpasdintervalledesolutioncar n’admet pas d’intervalle de solution car \sqrt x\ge 0.Casouˋ.

  • Cas où k=0:Leˊquation : L’équation \sqrt x=0admetunesolutionquiesteˊgaleaˋ admet une solution qui est égale à 0car car \sqrt 0=0.Casouˋ.

  • Cas où k>0:Leˊquation : L’équation \sqrt xadmetcommeuniqueintervallesolution admet comme unique intervalle solution [0\,;\,k^2[.[EX]Lineˊquation.

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Exemple

L’inéquation \sqrt x<1,5admetcommeensembledesolutionslintervalle admet comme ensemble de solutions l’intervalle [0\,;\,2,25[$.

Conclusion :

Jusqu’à présent, seule la notion de racine carrée d’un nombre réel a été vue en cours. Ce nouveau cours nous a permis de comprendre comment se comporte la fonction racine carrée, nouvelle fonction de référence, avec ses différentes propriétés, son ensemble de définition et son tableau de variation.