Courbe représentative de la fonction racine carrée

Définition

Fonction racine carrée :

La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif $x$ associe le nombre réel positif noté $\sqrt x$ dont le carré est $x$. On peut noter cette fonction $f(x)=\sqrt x$ avec $x>0$.

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée sur un intervalle, il faut établir un tableau de valeur. C’est à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique que nous allons établir ce tableau de valeur entre $0$ et $16$ et tracer la fonction racine carrée. Ci-dessous la courbe représentative de la fonction racine carrée :

IMG01

Propriétés de la fonction racine carrée

• On a $\sqrt 0=0$ et pour tout $x>0$ on a $\sqrt x>0$ ;
• La racine carrée d’un nombre positif $x$ est le nombre positif, noté $\sqrt x$, tel que $\sqrt x^2=x$ ;
• La fonction racine carrée est strictement croissante. On peut ainsi établir le tableau de variation de $f(x)=\sqrt x$ sur $[0\,;\,+\infty[$:$

IMG02

• Pour tous a$et$b$réels positifs tels que$0\le a\le b$, alors$f(a)<f(b)<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 92: …cette propriété&̲nbsp;:

IMG03

…" style="color:#cc0000">. La réciproque est aussi vraie. Ci-dessous une représentation graphique de cette propriété :

IMG03

Rappel :

• Le tableau de valeurs d'une fonction f$regroupe les images d'un certain nombre d’abscisses.$
• Dans le tableau de variation d’une fonction regroupelesimagesd′uncertainnombred’abscisses.∗Dansle∗∗tableaudevariation∗∗d’unefonctionf, on indique, par des flèches « vers le haut » ou « vers le bas » si la fonction est croissante ou décroissante. On y indique aussi les limites aux bornes de l'ensemble de définition et les valeurs où la fonction change de sens.

Exemple

• Sachant que 2<6$, alors$f(2)$donc$\sqrt 2<\sqrt 6$;$
• Sachant que f(a)$, alors$a<6<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 21: …X]

Attention&̲nbsp;: la rac…" style="color:#cc0000">.

Attention : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas !

Équation du type \sqrt x=k$où$k$est un réel$

• Résolution graphique

La résolution graphique de l’équation \sqrt x=k$revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de la fonction cube avec la droite horizontale d’équation$y=k$.$

Pour résoudre graphiquement \sqrt x=2$et$\sqrt x=-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 31: …tapes suivantes&̲nbsp;:

• on tra…" style="color:#cc0000">, on suit les étapes suivantes :
• on trace la courbe représentative de la fonction carrée ;
• on trace les droites d’équation y=2$et$y=-1$;$
• on note les abscisses des points d’intersection.

IMG04

L’unique point d’intersection de la droite d’équation y=2$et la courbe est le point$A$d’abscisse$4$. Ainsi, l’équation$\sqrt x=2$admet une unique solution égale à$4$. La droite d’équation$y=-1$n’a pas de point d’intersection avec la courbe de la fonction, l’équation$\sqrt x=-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 159: … cas différents&̲nbsp;:

• Cas o…" style="color:#cc0000"> n’admet donc pas de solution.

• Résolution algébrique ((bulle,2))

Afin de résoudre algébriquement l’équation √x=k , il faut distinguer trois cas différents :

• Cas où k<0$: L’équation$\sqrt x=k$où$k<0$n’admet pas de solution car$\sqrt x\ge 0$.$

• Cas où k=0$: L’équation$\sqrt x=0$admet une solution qui est égale à$0$car$\sqrt 0=0$.$

• Cas où k>0$: L’équation$\sqrt x=k$admet une solution unique$x=k^2$.$

Exemple

• L’équation \sqrt x=7$admet comme unique solution$x=7^2=49$;$
• L’équation \sqrt x=\dfrac{2}{3}$admet comme unique solution$x=\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^2=\dfrac{4}{9}$;$
• L’équation \sqrt x=-3$n’admet pas de solution car$-3<0<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 10: .

̲##Inéquation du…" style="color:#cc0000">.

[/EX]

Inéquation du type \sqrt x$où$k$est un réel$

• Résolution graphique

La résolution graphique de l’équation estunreˊel/b.∗Reˊsolutiongraphique((bulle,1))Lareˊsolutiongraphiquedel’eˊquation\sqrt x<k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 11: revient à&̲nbsp;:

• trouve…" style="color:#cc0000"> revient à :
• trouver le point d’intersection de la courbe représentative de la fonction racine carrée avec la droite horizontale d’équation y=k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 51: … d’intersection&̲nbsp;;
• donner…" style="color:#cc0000"> ;
• trouver l’abscisse de ce point d’intersection ;
• donner l’intervalle comprenant tous les réels inférieurs à l’abscisse du point d’intersection et supérieurs à 0$.$

On admettra que cet intervalle est unique.

On cherche à résoudre graphiquement \sqrt x<3$et$\sqrt x<-1<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 68: …n racine carrée&̲nbsp;;

• on tra…" style="color:#cc0000"> :
• on trace la courbe représentative de la fonction racine carrée ;
• on trace les droites d’équation y=3$et$y= -1$;$
• on note les abscisses des points d’intersection de chaque droite avec la fonction racine carrée.

IMG05

L’unique point d’intersection de la droite d’équation y=3$avec la courbe est$A$d’abscisse$9$. Ainsi, l’inéquation$\sqrt x<3$admet comme ensemble de solution l'intervalle$intervalle[0\,;\,9[$.$9$est exclu de l’ensemble des solutions car l’inégalité est stricte. La droite d’équation$y=-1$n’admet aucun point d’intersection avec la courbe, l’inéquation$\sqrt x<-1$n’admet donc pas de solution.$

• Résolution algébrique

Afin de résoudre algébriquement l’inéquation n’admetdoncpasdesolution.∗Reˊsolutionalgeˊbrique((bulle,2))Afindereˊsoudrealgeˊbriquementl’ineˊquation\sqrt x<k<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 37: …différentes cas&̲nbsp;:

• Cas …" style="color:#cc0000">, il faut distinguer différentes cas :

• Cas où k<0$: L’équation$\sqrt x=k$où$k<0$n’admet pas d’intervalle de solution car$\sqrt x\ge 0$.$

• Cas où k=0$: L’équation$\sqrt x=0$admet une solution qui est égale à$0$car$\sqrt 0=0$.$

• Cas où k>0$: L’équation$\sqrt x$admet comme unique intervalle solution$[0\,;\,k^2[$.$

Exemple

L’inéquation \sqrt x<1,5$admet comme ensemble de solutions l’intervalle$[0\,;\,2,25[$.