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Le problème du triangle et du cercle circonscrit

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

En seconde la géométrie plane s’agrémente de quelques nouvelles propriétés géométriques et théorème. Nous verrons en premier lieu le théorème d’Al-Kashi en lien avec la trigonométrie puis le cercle circonscrit d’un triangle et le projeté orthogonal d’un point sur une droite. C’est grâce à ses nouveaux outils que pourront être résolus un panel étendu de problèmes de géométrie.

Nous verrons dans un premier temps les propriétés du triangle et du cercle circonscrit, puis l’utilisation du projeté orthogonal pour déterminer les caractéristiques d’un triangle.

Le triangle et le cercle circonscrit

Quelques propriétés du triangle

Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle :

On considère un triangle rectangle ABCABC rectangle en BB.

Triangle rectangle Triangle rectangle

On a :

  • cosBAC^=ABAC\cos{\widehat{BAC}}=\dfrac{AB}{AC}
  • sinBAC^=BCAC\sin{\widehat{BAC}}=\dfrac{BC}{AC}
  • tanBAC^=BCAB\tan{\widehat{BAC}}=\dfrac{BC}{AB}

On peut se rappeler de cette règle avec le moyen mnémotechnique « CAHSOHTOA » (qui ressemble à l’expression « casse-toi » !) :

  • CAH : Cosinus=AdjacentHypoteˊnuseCosinus=\dfrac{Adjacent}{Hypoténuse}
  • SOH : Sinus=OpposeˊHypoteˊnuseSinus=\dfrac{Opposé}{Hypoténuse}
  • TOA : Tangente=OpposeˊAdjacentTangente=\dfrac{Opposé}{Adjacent}
bannière propriete

Propriété

Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure d’un angle aigu BAC^\widehat{BAC}, il existe :

  • une relation entre le sinus, la tangente et le cosinus d’un angle aigu :

tanBAC^=sinBAC^cosBAC^\tan{\widehat{BAC}}=\dfrac{\sin{\widehat{BAC}}}{\cos{\widehat{BAC}}}

  • une relation entre le sinus et le cosinus d’un angle aigu :

cos2(BAC^)+sin2(BAC^)=1\cos^2{(\widehat{BAC})}+\sin^2{(\widehat{BAC})}=1

bannière demonstration

Démonstration

Dans le triangle ABCABC rectangle en BB on a :

cos2(BAC^)+sin2(BAC^)=(ABAC)2+(BCAC)2\cos^2{(\widehat{BAC})}+\sin^2{(\widehat{BAC})}=\begin{pmatrix}\dfrac{AB}{AC}\end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix}\dfrac{BC}{AC}\end{pmatrix}^2 D’où :

cos2(BAC^)+sin2(BAC^)=AB2+BC2AC2\cos^2{(\widehat{BAC})}+\sin^2{(\widehat{BAC})}=\dfrac{AB^2+BC^2}{AC^2}

Comme le triangle ABCABC est rectangle en BB, le théorème de Pythagore annonce :

AB2+BC2=AC2AB^2+BC^2=AC^2

Donc :

cos2(BAC^)+sin2(BAC^)=AC2AC2=1\cos^2{(\widehat{BAC})}+\sin^2{(\widehat{BAC})}=\dfrac{AC^2}{AC^2}=1

Ces propriétés ne sont valables qu’avec des triangles rectangles.
Il existe des relations entre les côtés d’un triangle quelconque et la trigonométrie. Voici une relation entre les angles d’un triangle quelconque et la valeur de ses côtés.

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Théorème

Loi des cosinus ou théorème d’Al-Kashi :

Soit un triangle ABCABC quelconque où l’on note a=BCa=BC, b=CAb=CA, c=ABc=AB et les angles α\alpha en AA, β\beta en BB, γ\gamma en CC.

Loi des cosinus ou théorème d’Al-Kashi Loi des cosinus ou théorème d’Al-Kashi

On a alors les 3 égalités suivantes :

a2=b2+c22bc×cosαa^2=b^2+c^2-2bc\times\cos{\alpha}

b2=a2+c22ac×cosβb^2=a^2+c^2-2ac\times\cos{\beta}

c2=a2+b22ab×cosγc^2=a^2+b^2-2ab\times\cos{\gamma}

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Exemple

Si on connaît la valeur des trois côtés d’un triangle, il est possible de déterminer exactement la valeur des cosinus des trois angles.

Alt texte

Selon le théorème d’Al-Kashi, on a :

52=82+1022×8×10×cosα5^2=8^2+10^2-2\times 8\times 10\times\cos{\alpha}

25=64+100160×cosα25=64+100-160\times\cos{\alpha}

160×cosα=64+10025=139160\times\cos{\alpha}=64+100-25=139

Donc 160cosα=139160\cos{\alpha}=139.
D’où cosα=139160\cos{\alpha}=\dfrac{139}{160} et α60,3°\alpha\approx 60,3\degree.

Aire d’un triangle quelconque :

L’aire d’un triangle a pour valeur le demi-produit d’un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Aire d’un triangle quelconque Aire d’un triangle quelconque

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Astuce

Selon la façon dont on « pose » le triangle, n’importe lequel de ses côtés peut-être une base : on va choisir d’appeler ainsi le côté perpendiculaire à la hauteur étudiée.

On a donc Aire(ABC)=(base×hauteur)2=BC×AH2Aire\,(ABC)=\dfrac{(base \times hauteur)}{2}=\dfrac{BC\times AH}{2}

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Théorème

Loi des sinus :

On peut connaître l’aire du triangle ABCABC en connaissant un côté et un angle. Si on pose AB=aAB=a, BC=bBC=b et ABC^=α\widehat{ABC}=\alpha on a Aire(ABC)=a×b×sinα2Aire\,(ABC)=\dfrac{a\times b\times\sin{\alpha}}{2}.

Cercle circonscrit à un triangle quelconque

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Rappel

La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

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Définition

Cercle circonscrit :

Le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle passant par ses trois sommets. Son centre est situé à l’intersection des médiatrices des trois côtés du triangle.

Cercle circonscrit Cercle circonscrit

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Démonstration

Soit OO le point d’intersection des médiatrices (m)(m) de [AC][AC] et (p)(p) de [AB][AB].
Comme O(m)O\in (m), on a OA=OCOA=OC, car tout point de la médiatrice (m)(m) est équidistant de AA et de CC. De même, comme O(p)O\in (p), on a OA=OBOA=OB.
Comme OA=OCOA=OC et OA=OBOA=OB, on a aussi OB=OCOB=OC, c’est-à-dire que OO est équidistant de BB et de CC.
Donc OO appartient aussi à la médiatrice de [BC][BC], la troisième du triangle ABCABC, c’est à dire la médiatrice (f)(f).
Ainsi les trois médiatrices du triangle ABCABC sont concourantes en OO et OO est équidistant des trois sommets du triangle. Il existe donc un cercle de centre OO passant par les points AA, BB et CC du triangle. Ce cercle est le cercle circonscrit du triangle ABCABC.

Le cas particulier du triangle rectangle induit plusieurs propriétés concernant son cercle circonscrit :

  • Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
  • Son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.
  • Son hypoténuse a pour longueur le double de celle de la médiane issue du sommet de l’angle droit.

Alt texte

Projection orthogonale d’un point sur une droite

AA, BB, CC, DD et EE sont cinq points distincts alignés dans cet ordre sur une droite (d)(d). MM est un point qui n’est pas sur la droite (d)(d), tel que (MC)(MC) est perpendiculaire à (d)(d).

Alt texte

Si on mesure avec une règle, on constate que parmi les distances AMAM, BMBM, CMCM, DMDM et EMEM, c’est la distance CMCM qui est la plus petite. Dans la suite nous allons prouver que cette propriété est valable en général et préciser que le point CC est le projeté orthogonal de MM sur la droite (d)(d).

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Définition

Projeté orthogonal d’un point :

Soit MM un point extérieur à la droite (d)(d). On dit que le point MM^\prime de la droite (d)(d) est le projeté orthogonal du point MM sur la droite (d)(d) lorsque les droites (MM)(MM^\prime) et (d)(d) sont perpendiculaires.

Projeté orthogonal d’un point Projeté orthogonal d’un point

Un point PP de la droite (d)(d) est considéré comme son propre projeté orthogonal sur la droite (d)(d).

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Propriété

Le projeté orthogonal du point MM sur une droite (d)(d) est le point de la droite (d)(d) le plus proche du point MM.

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Démonstration

On considère une droite (d)(d) et un point AA extérieur à la droite (d)(d). On note HH le point d’intersection de (d)(d) avec sa perpendiculaire passant par AA et on considère un point MM sur la droite (d)(d) différent du point HH.
Le triangle AHMAHM est un triangle rectangle en HH. On y applique le théorème de Pythagore et on a la relation :

AM2=AH2+HM2AM^2=AH^2+HM^2

Comme HM2HM^2 est une longueur, alors HM2>0HM^2>0, on en déduit que AM2>AH2AM^2>AH^2.
AMAM et AHAH sont des longueurs, donc des valeurs positives, on en déduit que AM>AHAM>AH.
Ceci est valable pour tous les points MM de la droite (d)(d) donc AHAH est la plus courte distance séparant le point AA de n’importe quel point de la droite (d)(d).

Alt texte

Conclusion :

Les calculs de longueurs, d’angles n’étaient possibles que dans un triangle rectangle, mais grâce au théorème d’Al-Kashi, ces calculs se sont étendus à tous les triangles. La projection orthogonale est un outil très utilisé en dessin technique.
C’est donc avec ces nouveaux outils de résolution géométrique que vous pourrez résoudre des problèmes d’optimisation, comme déterminer l’aire maximale d’un triangle contenu dans un carré ou la distance minimale d’un point à des droites.