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Géométrie plane : triangles et projeté orthogonal d'un point sur une droite

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Introduction :

Nous allons ici commencer le chapitre sur la géométrie. Nous nous intéresserons tout particulièrement au triangle, dont nous définirons, ou redéfinirons, certaines droites particulières.
Puis nous aborderons la trigonométrie dans le triangle rectangle, après avoir rappelé le théorème important de Pythagore, appris en quatrième.
Nous découvrirons ensuite une notion que nous connaissons déjà, même si nous ne l’avons jamais explicitée : le projeté orthogonal d’un point sur une droite.
Enfin, nous approfondirons le cours en découvrant, grâce aux propriétés vues au fil, un nouveau théorème : celui d’Al-Kashi, autrement appelé théorème de Pythagore généralisé – rien que ça !

Les triangles

Droites particulières du triangle

Nous connaissons bien les hauteurs et les médiatrices d’un triangle. Rappelons leurs définitions.

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Définition

Hauteur d’un triangle :

Dans un triangle, une hauteur est la droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé.

  • Un triangle a trois hauteurs.
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Propriété

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point, que nous notons HH, appelé orthocentre du triangle.

Mathématiques seconde géométrie plane triangle hauteur orthocentre

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Définition

Médiatrice d’un segment :

La médiatrice d’un segment est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu.

  • Un triangle a trois médiatrices, celles de ses trois côtés.
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Propriété

Dans un triangle, les médiatrices de chaque côté sont concourantes en un point, que nous notons OO.

  • C’est le centre d’un cercle appelé cercle circonscrit au triangle, c’est-à-dire le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Mathématiques seconde géométrie plane triangle médiatrice cercle circonscrit

Le triangle rectangle

Pour commencer, comme nous venons de définir le cercle circonscrit à un triangle, nous pouvons remarquer le cas particulier du triangle rectangle.

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Propriété

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.

Mathématiques seconde géométrie plane triangle rectangle cercle circonscrit

Nous pouvons aussi donner la réciproque de cette dernière propriété, qui peut servir pour montrer qu’un triangle est rectangle.

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Propriété

Si les trois sommets d’un triangle sont situés sur un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle, et son hypoténuse est ce diamètre.

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Exemple

Soit AA et BB deux points distincts du plan. Soit le cercle de diamètre [AB][AB] et un point quelconque MM du cercle, distinct de AA et BB.
Le triangle ABMABM est rectangle, son hypoténuse est [AB][AB], il est donc rectangle en MM.

Rappelons maintenant le théorème de Pythagore, auquel on fait appel souvent.

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Théorème

Théorème de Pythagore et réciproque :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Réciproquement, si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.

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Exemple

Soit un triangle ABCABC rectangle en BB, avec AB=8 cmAB=8\ \text{cm} et BC=15 cmBC=15\ \text{cm}.

Quel est le rayon rr du cercle circonscrit au triangle ABCABC ?

  • Utilisons tout d’abord la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle que nous avons vue.
  • ABCABC est rectangle en BB. Donc [AC][AC] est le diamètre de son cercle circonscrit.
  • Calculons donc la longueur ACAC.

ABCABC est rectangle en BB. Donc, d’après le théorème de Pythagore, nous avons :

AC2=AB2+BC2=82+152=64+225=289\begin{aligned} AC^2&=AB^2+BC^2 \ &=8^2+15^2 \ &=64+225 \ &=289 \end{aligned}

Comme ACAC est une longueur, elle est positive, donc :

AC=289=17 cmAC=\sqrt{289}=17\ \text{cm}

  • Le rayon rr du cercle circonscrit à ABCABC vaut donc :

r=AC2=172=8,5 cmr=\dfrac {AC}2=\dfrac {17}2=\boxed{8,5\ \text{cm}}

Nous allons maintenant redonner les relations trigonométriques qui lient la longueur des côtés d’un triangle rectangle et la mesure de ses angles.

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Propriété

Soit ABCABC un triangle rectangle en BB, avec α=BAC^\alpha=\widehat {BAC}.

Mathématiques seconde géométrie plane triangle rectangle trigonométrie

  • Cosinus de l’angle α\alpha :

cos(α)=longueur du coˆteˊ adjacentlongueur de l’hypoteˊnuse=ABAC\cos{(\alpha)}=\dfrac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}

  • Sinus de l’angle α\alpha :

sin(α)=longueur du coˆteˊ opposeˊlongueur de l’hypoteˊnuse=BCAC\sin{(\alpha)} =\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{BC}{AC}

  • Tangente de l’angle α\alpha :

tan(α)=longueur du coˆteˊ opposeˊlongueur du coˆteˊ adjacent=BCAB\tan{(\alpha)} =\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur du côté adjacent}}=\dfrac{BC}{AB}

Nous pouvons remarquer que :

tan(α)=BCAB=BCACABAC=sin(α)cos(α)\begin{aligned} \tan{(\alpha)}&=\dfrac{BC}{AB} \ &=\dfrac{\frac{BC}{AC}}{\frac{AB}{AC}} \ &=\dfrac {\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}} \end{aligned}

Nous avons une autre propriété importante qui lie le cosinus et le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.

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Propriété

Pour tout angle aigu α\alpha d’un triangle rectangle, nous avons :

cos2(α)+sin2(α)=1\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1

Démontrons cette propriété avec les définitions des cosinus et sinus que nous venons de rappeler.

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Démonstration

Dans un triangle ABCABC rectangle en BB, avec α=BAC^\alpha=\widehat{BAC} :

cos(α)=ABACsin(α)=BCAC\begin{aligned} \cos{(\alpha)}&=\dfrac {AB}{AC} \ \sin{(\alpha)}&=\dfrac {BC}{AC} \end{aligned}

Nous avons donc :

cos2(α)+sin2α=(ABAC)2+(BCAC)2=AB2AC2+BC2AC2=AB2+BC2AC2\begin{aligned} \cos^2(\alpha)+\sin^2{\alpha}&=\left(\dfrac {AB}{AC}\right)^2+\left(\dfrac {BC}{AC}\right)^2 \ &= \dfrac{AB^2}{AC^2}+\dfrac{BC^2}{AC^2} \ &=\dfrac{AB^2+BC^2}{AC^2} \end{aligned}

Or, comme ABCABC est rectangle en BB, nous avons, d’après le théorème de Pythagore :

AB2+BC2=AC2AB^2+BC^2=AC^2

Finalement, nous obtenons :

cos2(α)+sin2α=AC2AC2=1\begin{aligned} \cos^2(\alpha)+\sin^2{\alpha}&=\dfrac{AC^2}{AC^2} \ &=1 \end{aligned}

Avec le même raisonnement, nous montrons que c’est aussi vrai pour l’angle ACB^\widehat{ACB}.

Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition et propriété

bannière definition

Définition

Projeté orthogonal d’un point sur une droite :

Soit MM un point du plan et (d)(d) une droite.
On appelle projeté orthogonal de MM sur (d)(d) le point d’intersection HH de (d)(d) et de la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point MM.

  • Si MM appartient à (d)(d), alors MM et HH sont confondus.

Mathématiques seconde géométrie plane projeté orthogonal

bannière propriete

Propriété

Soit MM un point du plan, (d)(d) une droite et HH le projeté orthogonal de MM sur (d)(d).
Le point HH est alors le point de (d)(d) le plus proche de MM.

  • MHMH est appelé distance du point MM à la droite (d)(d).

Cette propriété est assez intuitive, nous pourrions aussi la vérifier graphiquement, avec une règle graduée. Mais nous allons la démontrer mathématiquement.

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Démonstration

Soit MM un point du plan, (d)(d) une droite, HH le projeté orthogonal de MM sur (d)(d) et NN un point de (d)(d) distinct de HH.

  • Cas où MM appartient à (d)(d)

C’est assez évident, car, dans ce cas, MM et HH sont confondus, donc MH=0MH=0.
Or, comme NN est distinct de HH, HN>0HN > 0, donc la distance HNHN est supérieure à la distance MHMH.

  • Cas où MM n’appartient pas à (d)(d)

Mathématiques seconde géométrie plane projeté orthogonal

Le triangle MHNMHN est rectangle en HH. Donc, d’après le théorème de Pythagore :

MN2=HM2+HN2MN^2 = HM^2+HN^2

Or, comme NN est distinct de HH, HN>0HN > 0 et HN2>0HN^2 > 0.
Nous en déduisons que : MN2>HM2MN^2 > HM^2, soit, puisque ce sont des longueurs, donc positives : MN>HMMN > HM. HH est donc plus proche que NN de MM.

  • Comme c’est valable pour tout point NN de (d)(d) distinct de HH, le point de (d)(d) le plus proche de MM est HH, son projeté orthogonal sur la droite.

Exemple d’application

Soit le parallélogramme ABCDABCD tel que :

AB=5 cmAD=3 cmBAD^=55°\begin{aligned} AB&=5\ \text{cm} \ AD&=3\ \text{cm} \ \widehat{BAD}&=55\degree \end{aligned}

Mathématiques seconde géométrie plane projeté orthogonal aire parallélogramme

Voici notre petit exercice :

  • Calculer la distance du point DD à la droite (AB)(AB) en centimètre ; en donner une valeur exacte et une valeur approchée à 10210^{-2} près.
  • En déduire l’aire A\mathcal A du parallélogramme ABCDABCD en centimètre carré ; là aussi en donner une valeur exacte et une valeur approchée à 10210^{-2} près.

Pour cela, nous allons utiliser la définition et la propriété du projeté orthogonal d’un point sur une droite, ainsi que les relations trigonométriques dans un triangle rectangle.

  • Distance de DD à (AB)(AB)

Nous l’avons vu, cette distance est égale à la longueur du segment [DH][DH], où HH est le projeté orthogonal de DD sur (AB)(AB) :

Mathématiques seconde géométrie plane projeté orthogonal aire parallélogramme

Par définition du projeté orthogonal, les droites (AB)(AB) et (DH)(DH) se coupent en HH et sont perpendiculaires. Le triangle ADHADH est donc rectangle en HH et nous avons :

sin(HAD^)=DHADSoit : DH=AD×sin(HAD^)\begin{aligned} \sin{(\widehat{HAD})}&=\dfrac {DH}{AD} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} DH&=AD\times \sin{(\widehat{HAD})} \end{aligned}

  • Nous avons choisi le sinus car nous nous intéressons à la longueur du côté opposé à l’angle dont nous connaissons la mesure, et que nous connaissons aussi la longueur de l’hypoténuse de ADHADH.

Or, nous voyons que H[AB]H\in [AB], donc : HAD^=BAD^\widehat{HAD}=\widehat{BAD}. D’où :

DH=AD×sin(BAD^)=3sin(55°)2,46 cm\begin{aligned} DH&=AD\times \sin{(\widehat{BAD})} \ &=\boxed{3 \sin{(55\degree)}\approx 2,46\ \text{cm}} \end{aligned}

  • Aire de ABCDABCD

Nous savons depuis la cinquième que l’aire d’un parallélogramme est égale à :

base×hauteur associeˊe\text{base}\times \text{hauteur associée}

Or, puisque HH est le projeté orthogonal de DD sur (AB)(AB), [DH][DH] est la hauteur associée à la base [AB][AB], et nous obtenons l’aire A\mathcal A de ABCDABCD :

A=AB×DH=5×3sin(55°)=15sin(55°)12,29 cm2\begin{aligned} \mathcal A&=AB\times DH \ &=5\times 3\sin{(55\degree)} \ &=\boxed{15\sin{(55\degree)}\approx 12,29\ \text{cm}^2} \end{aligned}

Approfondissement : le théorème d’Al-Kashi

Le théorème de Pythagore nous donne, dans un triangle rectangle, le lien entre la longueur de ses côtés. Nous allons découvrir dans cette dernière partie, en utilisant quelques-unes de propriétés que nous venons de voir, un théorème qui nous donne, cette fois dans un triangle quelconque, le lien entre la longueur de ses côtés et la mesure de ses angles.

Considérons un triangle ABCABC quelconque, dont tous les angles sont aigus. Soit HH le projeté orthogonal de BB sur (AC)(AC).

  • Les angles sont aigus, donc HH appartient à [AC][AC].

Nous posons :

  • a=BCa=BC (aa est la longueur du côté opposé à AA) ;
  • b=ACb=AC (bb est la longueur du côté opposé à BB) ;
  • c=ABc=AB (cc est la longueur du côté opposé à CC) ;
  • α=BAC^\alpha=\widehat {BAC}.

Mathématiques seconde géométrie plane théorème d’Al-Kashi

  • Le triangle ABHABH est rectangle en HH. Nous avons alors :

cos(α)=AHAB=AHcSoit : AH=ccos(α)D’ouˋ : HC=bccos(α)\begin{aligned} \cos{(\alpha)}&=\dfrac {AH}{AB}=\dfrac {AH}c \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} AH&=c\cos{(\alpha)} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} HC&= b-c\cos{(\alpha)} \end{aligned}

Nous avons aussi :

sin(α)=BHcSoit : BH=csin(α)\begin{aligned} \sin{(\alpha)}&=\dfrac{BH}c \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} BH&=c\sin{(\alpha)} \end{aligned}

Mathématiques seconde géométrie plane théorème d’Al-Kashi

  • Le triangle BCHBCH est aussi rectangle en HH. Nous avons alors, d’après le théorème de Pythagore :

a2=HC2+BH2=(bccos(α))2+(csin(α))2 [d’apreˋs les reˊsultats du point 1]=b22bccos(α)+(ccos(α))2+c2sin2(α) [avec une identiteˊ remarquable]=b22bccos(α)+c2cos2(α)+c2sin2(α)=b2+c2(cos2(α)+sin2(α))2bccos(α)\begin{aligned} a^2&=HC^2+BH^2 \ &=\purple{\big(b-c\cos{(\alpha)}\big)^2}+\big(c\sin{(\alpha)}\big)^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après les résultats du point 1]}}} \ &=\purple{b^2-2bc\cos{(\alpha)}+\big(c\cos{(\alpha)}\big)^2}+c^2\sin^2(\alpha) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec une identité remarquable]}}} \ &=b^2-2bc\cos{(\alpha)}+\green{c^2}\cos^2(\alpha)+ \green{c^2}\sin^2(\alpha) \ &=b^2+\green{c^2}\big(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)\big)-2bc\cos{(\alpha)} \end{aligned}

Or, nous avons vu dans la première partie que, pour tout angle aigu α\alpha d’un triangle rectangle (en l’occurrence ABHABH) :

cos2(α)+sin2(α)=1\cos^2(\alpha)+ \sin^2(\alpha)=1

  • Nous obtenons donc :

a2=b2+c22bccos(α)\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos{(\alpha)}}

On admet que c’est également vrai pour les autres angles, ou dans le cas d’un angle obtus.
Nous comprenons mieux les égalités du théorème d’Al-Kashi, que nous donnons maintenant.

bannière theoreme

Théorème

Théorème d’Al-Kashi (ou loi des cosinus) :

Nous considérons le triangle quelconque ABCABC suivant :

Mathématiques seconde géométrie plane théorème d’Al-Kashi loi des cosinus

Nous avons alors :

a2=b2+c22bccos(α)b2=a2+c22accos(β)c2=a2+b22abcos(γ)\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos{(\alpha)} \ b^2&=a^2+c^2-2ac\cos{(\beta)} \ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos{(\gamma)} \ \end{aligned}

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Astuce

Le théorème d’Al-Kashi permet, dans un triangle quelconque :

  • de déterminer la mesure des angles si on connaît la longueur de ses côtés ;
  • de déterminer la longueur d’un côté si on connaît un angle et la mesure des deux côtés qui le forment.
bannière exemple

Exemple

Soit le triangle quelconque DEFDEF suivant :

Mathématiques seconde géométrie plane théorème d’Al-Kashi

Nous cherchons à déterminer la longueur du côté [EF][EF] et la mesure des angles β\beta et γ\gamma en degré, arrondie au degré près.

On donne aussi : cos(60°)=12\cos{(60\degree)}=\frac 12.

  • Calcul de EFEF

D’après le théorème d’Al-Kashi, nous avons :

EF2=DE2+DF22×DE×DF×cos(α)=42+622×4×6×cos(60°)=16+3648×12=28Donc : EF=28=275,29 cm\begin{aligned} EF^2&=DE^2+DF^2 -2\times DE\times DF\times \cos{(\alpha)} \ &=4^2+6^2-2\times 4\times 6\times \cos{(60\degree)} \ &=16+36-48\times \dfrac 12 \ &=28 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} EF&=\sqrt{28}=\boxed{2\sqrt{7}\approx 5,29\ \text{cm}} \end{aligned}

  • Calcul de β\beta

Toujours d’après le théorème d’Al-Kashi :

DF2=DE2+EF22×DE×EF×cos(β)Soit : cos(β)=DE2+EF2DF22×DE×EF=16+28362×4×27=8167=127=1×72×7×7=714[car on preˊfeˋre ne pas avoir une racine carreˊe au deˊnominateur]\begin{aligned} DF^2&=DE^2+EF^2-2\times DE\times EF\times \cos{(\beta)} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \cos{(\beta)}&=\dfrac{DE^2+EF^2-DF^2}{2\times DE\times EF} \ &=\dfrac{16+28-36}{2\times 4\times 2\sqrt{7}} \ &=\dfrac 8{16\sqrt{7}} \ &=\dfrac 1{2\sqrt{7}} \ &=\dfrac {1\times \sqrt{7}}{2\times \sqrt{7}\times \sqrt{7}} \ &=\dfrac {\sqrt{7}}{14} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car on préfère ne pas avoir une racine carrée au dénominateur]}}} \end{aligned}

Quand on connaît le cosinus d’un angle, pour avoir une valeur approchée de sa mesure, on utilise la fonction cos1\cos^{-1} (ou arccos\arccos) de la calculatrice :

β=cos1(714)79°\begin{aligned} \beta &= \cos^{-1}\left(\dfrac {\sqrt{7}}{14}\right) \ &\approx \boxed{79 \degree} \end{aligned}

  • Calcul de γ\gamma

Nous pourrions faire de même pour calculer γ\gamma, mais nous savons que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°180\degree. Nous avons donc :

γ=180αβ180607941°\begin{aligned} \gamma&= 180-\alpha-\beta \ &\approx 180-60-79 \ &\approx \boxed{41\degree} \end{aligned}

Continuons encore un peu, en reprenant le triangle initial de cette partie :

Mathématiques seconde géométrie plane aire triangle

Nous savons que l’aire A\mathcal A du triangle ABCABC est égale à :

A=12×base×hauteur associeˊe\mathcal A=\dfrac 12\times \text{base}\times \text{hauteur associée}

Si [AC][AC] est la base que nous considérons, [BH][BH] est la hauteur associée.

  • Nous obtenons donc :

A=12×AC×BH=12bcsin(α) [car AC=b et BH=csin(α)]\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12\times AC\times BH \ &=\dfrac 12 bc\sin{(\alpha)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $AC=b$ et $BH=c\sin{(\alpha)}$]}}} \end{aligned}

Dans un triangle quelconque, la connaissance de la mesure d’un angle et de la longueur des côtés qui le forment suffit pour calculer son aire !

bannière propriete

Propriété

Nous considérons le triangle quelconque ABCABC suivant :

Mathématiques seconde géométrie plane aire triangle

Son aire A\mathcal A est égale à :

A=12bcsin(α)=12acsin(β)=12absin(γ)\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12bc\sin{(\alpha)} \ &=\dfrac 12ac\sin{(\beta)} \ &=\dfrac 12ab\sin{(\gamma)} \end{aligned}

bannière exemple

Exemple

Nous pouvons ainsi calculer facilement l’aire A\mathcal A du triangle DEFDEF de l’exemple précédent, et ce avec les seules données initiales (α=60°\alpha=60\degree, DE=4 cmDE=4\ \text{cm} et DF=6 cmDF=6\ \text{cm}).
Nous donnons aussi : sin(60°)=32\sin{(60\degree)}=\frac {\sqrt{3}}2.

A=12×DE×DF×sin(α)=12×4×6×sin(60°)=12×32=6310,39 cm2\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12\times DE\times DF\times \sin{(\alpha)} \ &=\dfrac 12\times 4\times 6\times \sin{(60\degree)} \ &=12\times \dfrac {\sqrt{3}}2 \ &=\boxed{6\sqrt{3}\approx 10,39\ \text{cm}^2} \end{aligned}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons revu diverses propriétés des triangles, notamment du triangle rectangle avec ses relations trigonométriques. Nous avons découvert la définition de la distance d’un point à une droite, à partir de celle du projeté orthogonal de ce point sur la droite. Enfin, nous sommes allés un peu plus loin jusqu’à « généraliser » le théorème de Pythagore, avec celui d’Al-Kashi.

Dans les deux prochains cours, nous allons travailler sur une toute nouvelle notion : les vecteurs. Et nous pourrons ainsi continuer à approfondir la géométrie dans le plan et à effectuer quelques démonstrations géométriques, comme déterminer la nature d’un quadrilatère, montrer que des droites sont parallèles ou que des points sont alignés.