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Géométrie plane : triangles et projeté orthogonal d'un point sur une droite

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Les triangles

  • Dans un triangle, une hauteur est la droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé.
  • Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point, que nous notons HH, appelé orthocentre du triangle.
  • La médiatrice d’un segment est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu.
  • Un triangle a trois médiatrices, celles de ses trois côtés, qui se coupe en un point, centre du cercle circonscrit au triangle.
  • Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.
  • Théorème de Pythagore et réciproque :
  • Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
  • Réciproquement, si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres, alors le triangle est rectangle.

Trigonométrie dans un triangle rectangle

Mathématique seconde géométrie plane trigonométrie triangle rectangle

Cosinus cos(α)=longueur du coˆteˊ adjacentlongueur de l’hypoteˊnuse=ABAC\cos{(\alpha)}=\dfrac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}
Sinus sin(α)=longueur du coˆteˊ opposeˊlongueur de l’hypoteˊnuse=BCAC\sin{(\alpha)} =\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}=\dfrac{BC}{AC}
Tangente tan(α)=longueur du coˆteˊ opposeˊlongueur du coˆteˊ adjacent=BCAB=sin(α)cos(α)\begin{aligned} \tan{(\alpha)} &=\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur du côté adjacent}}=\dfrac{BC}{AB} \ &=\dfrac {\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}} \end{aligned}
Pour tout angle aigu α\alpha d’un triangle rectangle :

cos2(α)+sin2(α)=1\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1

Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Mathématiques seconde géométrie plane projeté orthogonal

  • Soit MM un point du plan, (d)(d) une droite et HH le projeté orthogonal de MM sur (d)(d).
  • HH est alors le point d’intersection de (d)(d) et de la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point MM.
  • Si MM appartient à (d)(d), alors MM et HH sont confondus.
  • HH est le point de (d)(d) le plus proche de MM.
  • MHMH est appelé distance du point MM à la droite (d)(d).

Approfondissements

Nous considérons le triangle quelconque ABCABC suivant :

Mathématiques seconde géométrie plane théorème d’Al-Kashi loi des cosinus

Théorème d’Al-Kashi a2=b2+c22bccos(α)b2=a2+c22accos(β)c2=a2+b22abcos(γ)\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos{(\alpha)} \ b^2&=a^2+c^2-2ac\cos{(\beta)} \ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos{(\gamma)} \ \end{aligned}
Aire A\mathcal A du triangle A=12bcsin(α)=12acsin(β)=12absin(γ)\begin{aligned} \mathcal A&=\dfrac 12bc\sin{(\alpha)} \ &=\dfrac 12ac\sin{(\beta)} \ &=\dfrac 12ab\sin{(\gamma)} \end{aligned}