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Introduction :
Il est souvent plus facile de résoudre un problème concret en le mettant en équation ou en inéquation. Nous allons donc apprendre à résoudre ces équations ou inéquations avec des règles de calculs précises et ainsi trouver la ou les solutions du problème.
Dans un premier temps, nous verrons les égalités et les opérations. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à la notion d’équation. Puis, nous étudierons les inéquations pour terminer par la résolution d’un problème.
Égalités et opérations
Lorsque l’on résout une équation, il faut faire attention à manipuler les deux parties de l’égalité de façon à ce qu’elles aient toujours la même valeur.
Il faut faire attention à manipuler les deux parties de l’égalité de façon à ce qu’elles aient toujours la même valeur. De plus, on ne divise jamais par l’inconnue, au cas où celle-ci serait égale à .
Ces règles sont très importantes lors de la résolution d’équations.
Équations
Définition
Équation :
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé « inconnue ». On appelle « solutions de l’équation » la ou les valeurs de ce nombre pour lesquelles l’égalité est vraie.
Considérons l’équation d’inconnue :
Le nombre est-il une solution de cette équation ?
On n’obtient pas le même résultat : n’est donc pas une solution de cette équation.
Équation de référence
L’équation d’inconnue et de la forme admet une seule solution : .
L’équation admet pour unique solution , c’est-à-dire .
L’équation d’inconnue et de la forme , avec non nul, admet une seule solution : .
L’équation admet pour unique solution , c’est-à-dire .
Inéquations
Définition
Inéquation :
Une inéquation est une inégalité dans laquelle une lettre désigne une inconnue. Elle se note avec les symboles (inférieur à) et (supérieur à). On dit qu'un nombre est une solution d'une inéquation si on obtient une inégalité qui est vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre dans l'inéquation. Résoudre une inéquation consiste à trouver l’ensemble des solutions qui rendent vraie l’inégalité.
Propriétés des inégalités
, et désignent trois nombres relatifs.
Si , alors , donc .
, et désignent trois nombres relatifs.
Si alors d’où
Représentation graphique des solutions de l’inéquation
Nous représentons les solutions d’une inéquation sur une droite graduée. Elles sont surlignées en couleur.
Représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée
Ici, on utilise le signe « inférieur ou égal » : le crochet est tourné vers la partie de la droite qui correspond aux solutions, car fait partie des solutions.
Représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée
Ici, on utilise le signe « strictement supérieur » : le crochet est tourné vers la partie de la droite qui ne correspond pas aux solutions, car ne fait pas partie des solutions.
Résolution d’un problème
Méthodologie
La résolution d’une équation comporte 5 étapes :
La résolution d’une inéquation comporte 5 étapes :
Exemples
Dans une cafétéria, le prix d’un repas adulte est deux fois plus cher que le prix d’un repas enfant. À midi, un couple et leurs trois enfants ont dépensé €. Quel est le prix d’un repas enfant ?
Marie veut acheter une théière qui coûte €, une boîte à thé qui coûte € et deux bols identiques. Elle se demande comment choisir le prix d’un bol pour pouvoir payer avec billets de €. Trouver la réponse à ce problème.
Conclusion :
Une équation et une inéquation sont respectivement une égalité et une inégalité mathématiques. Elles sont composées de termes que l’on connaît et d’autres que l’on ne connaît pas mais que l’on cherche à calculer. Une équation ou une inéquation sont comme une question que l’on se pose, une énigme : que vaut l’inconnue ?
Lorsqu’on est face à un problème mathématique, on identifie l’inconnue et on écrit l’égalité, ou inégalité, qui la relie aux termes connus. On isole ensuite cette inconnue dans un seul des deux termes, et on détermine ainsi la ou les solutions du problème.