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Les équations et inéquations

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Égalités et opérations

  • Lorsque l’on résout une équation, il faut faire attention à manipuler les deux parties de l’égalité de façon à ce qu’elles aient toujours la même valeur.
  • On ne divise jamais par l’inconnue, au cas où celle-ci serait égale à 00.

Équations

  • Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé « inconnue ».
  • La partie située avant le signe égal est appelée premier membre de l’équation, quand la partie située après est appelée deuxième membre de l’équation.
  • Il existe deux équations de référence :
  • L’équation de la forme a+x=ba + x = b d’inconnue xx n’admet qu’une seule solution : x=bax = b - a
  • L’équation de la forme ax=bax = b avec a0a \neq 0, d’inconnue xx n’admet qu’une seule solution : x=bax = \frac{b}{a}

Inéquations

  • Une inéquation est une inégalité dans laquelle une lettre désigne une inconnue.
  • Elle se note avec les symboles << (inférieur à) et >> (supérieur à).
  • On dit qu'un nombre est une solution d'une inéquation si on obtient une inégalité qui est vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre dans l'inéquation.
  • Résoudre une inéquation consiste à trouver l’ensemble des solutions qui rendent vraie l’inégalité.
  • Addition ou soustraction et inégalités
  • aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs.
  • Si aba \leq b, alors a+cb+ca + c \leq b + c
  • Si aba \leq b, alors acbca - c\leq b - c
  • Multiplication et inégalités
  • aa, bb et cc désignent trois nombres relatifs.
  • Si aba \leq b et c>0c > 0, alors a×cb×ca \times c \leq b \times c
  • Si aba \leq b et c<0c < 0, alors a×cb×ca \times c \geq b \times c

La résolution d’une équation comporte 5 étapes :

  • Choix de l’inconnue
  • Traduction de l’énoncé par une équation
  • Résolution de l’équation : cela consiste à isoler l’inconnue dans l’un des membres
  • Vérification : il faut vérifier que la solution répond bien au problème
  • Conclusion

La résolution d’une inéquation comporte 5 étapes :

  • Choix de l’inconnue
  • Traduction de l’énoncé par une inéquation
  • Résolution de l’inéquation : cela consiste à isoler l’inconnue dans l’un des membres
  • Compatibilité : la résolution de l’inéquation donne un ensemble de solutions. Or, il faut parfois en écarter certaines car elles sont « incompatibles » ou ne correspondent pas au problème concret.
  • Conclusion