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Les identités remarquables

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Introduction :

L’expression d’identité remarquables désigne une formule particulière reconnaissable rapidement. Il s’agit donc de raccourcis utilisés pour simplifier les calculs, comme nous allons le voir ici, que ce soit pour :

  • développer : transformer un produit en une somme (ou différence) de termes ;
  • factoriser : transformer une somme en produit de facteurs.

Elles sont très utiles notamment pour la résolution d’équations du second degré.

Développer le carré d’une somme

Formules

En géométrie notamment (par exemple dans le calcul des longueurs d’un carré), on trouve souvent des formules utilisant le carré d’une somme. Voyons comment les identités remarquables permettent de développer facilement des formules données.

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Propriété

Quels que soient les nombres réels aa et bb :

  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
  • (ab)2=a22ab+b2(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

Démonstrations

  • On a ici un carré de côté a+ba+b. Son aire est alors (a+b)2(a+b)^2.

Ce grand carré peut être décomposé en plusieurs figures :

  • un petit carré de côté aa et d’aire a2a^2 ;
  • un autre carré de côté bb et d’aire b2b^2 ;
  • deux rectangles identiques de longueur aa et de largeur bb, et d’aire abab. L’aire totale du grand carré est donc égale à : (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

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  • On a ici un carré de côté aa. Son aire est alors a2a^2. On considère une seconde longueur bb, inférieure à aa.

Ce grand carré peut être décomposé en plusieurs figures :

  • deux rectangles identiques de longueur (ab)(a-b) et de largeur bb, et d’aire b(ab)b(a-b) ;
  • un petit carré de côté bb et d’aire b2b^2 ;
  • un autre carré de côté (ab)(a-b) et d’aire (ab)2(a-b)^2. L’aire du carré de côté (ab)(a-b) est donc égale à :
    (ab)2=a22(b(ab))b2=a22(abb2)b2=a22ab+2b2b2=a22ab+b2\begin{aligned} (a-b)^2&=a^2-2\big(b(a-b)\big)-b^2 \ &=a^2-2(ab-b^2) - b^2 \ &=a^2-2ab+2b^2-b^2 \ &=a^2-2ab+b^2 \end{aligned}

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Exemples

  • Développer (x+5)2(x + 5)^2.

On reconnaît l’identité (a+b)2(a + b)^2, avec a=xa=x et b=5b=5.
En appliquant le résultat fourni par cette identité, on obtient :
(x+5)2=x2+2x×5+52=x2+10x+25\begin{aligned} (x + 5)^2&=x^2+2x\times{5}+5^2 \ &=x^2+10x+25 \end{aligned}

  • Développer (6x2)2(6x-2)^2.

On reconnaît l’identité remarquable (ab)2(a-b)^2, avec a=6xa=6x et b=2b=2.
En appliquant le résultat fourni par cette identité, on obtient :
(6x2)2=(6x)22×6x×2+22=36x224x+4\begin{aligned} (6x-2)^2&= (6x)^2-2\times{6x}\times{2}+2^2 \ &=36x^2-24x+4 \end{aligned}

Reconnaître un carré pour factoriser

Formules

On peut également utiliser les identités remarquables précédentes dans l’autre sens pour effectuer des factorisations : il faut alors reconnaître dans une formule donnée la forme développée de l’identité.

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Quels que soient les réels aa et bb :
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a22ab+b2=(ab)2a^2-2ab+b^2= (a-b)^2

On transforme des sommes en carrés, c’est-à-dire en produits.

Exemples

  • Factoriser A=x2+6x+9A=x^2+6x+9.

On reconnaît une expression du type a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 avec a=xa=x et b=3b=3.
Vérifions : a2=x2a^2= x^2 ; b2=9b^2=9 ; 2ab=2×3x=6x2ab=2\times{3x}=6x.
On en déduit que x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2.

  • Factoriser B=16x28x+1B=16x^2-8x+1.

On reconnaît une expression du type a22ab+b2a^2-2ab+b^2 avec a=4xa=4x et b=1b=1.
Vérifions : a2=(4x)2=16x2a^2=(4x)^2=16x^2 ; b2=12=1b^2=1^2=1 ; 2ab=2×4x×1=8x2ab=2\times{4x} \times{1}=8x.
On en déduit que 16x28x+1=(4x1)216x^2-8x+1=(4x-1)^2.

Différence de deux carrés

Formule

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Quels que soient les réels aa et bb : (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Il s'agit de la troisième identité remarquable, que l'on retrouve facilement en effectuant un simple développement :
(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2
La troisième identité fournit également une formule de factorisation de la différence de deux carrés :
a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Exemple de développement

Développer A=(2x3)(2x+3)A=(2x-3)(2x+3) :
A=(2x3)(2x+3)=(2x)232=4x29=(2x)232\begin{aligned} A&=(2x-3)(2x+3) \ &=(2x)^2-3^2 \ &=4x^2-9 \ &=(2x)2-32 \end{aligned}
Grâce à la troisième identité, on obtient une formule de type a2b2a^2-b^2 avec a=2xa=2x et b=3b=3.

Exemples de factorisation

  • Factoriser B=16x21B=16x^2-1.

Nous remarquons que 16x216x^2 est le carré de 4x4x et que 11 est le carré de 11.
L’expression BB est donc une différence de deux carrés :
B=16x21=(4x)212=(4x+1)(4x1)\begin{aligned} B&=16x^2-1 \ &=(4x)^2-1^2 \ &=(4x+1)(4x-1) \end{aligned}.
Grâce à la troisième identité, on obtient une formule de type (a+b)(ab)(a+b)(a-b) avec a=4xa=4x et b=1b=1.

  • Factoriser C=9(4x+1)2C=9-(4x+1)^2.

Comme 99 est le carré de 33, il s’agit bien d'une différence des carrés de 99 et de 4x+14x+1.
Appliquons la troisième identité remarquable :
C=9(4x+1)2=32(4x+1)2=[3+(4x+1)][3(4x+1)]\begin{aligned} C&=9-(4x+1)^2 \ &=3^2-(4x+1)^2 \ &=[3+(4x+1)][3-(4x+1)] \end{aligned}
Grâce à la troisième identité, on obtient une formule de type (a+b)(ab)(a+b)(a-b) avec a=3a=3 et b=4x+1b=4x+1. Cependant, ici, on peut encore réduire les deux facteurs entre crochets en appliquant la règle des parenthèses :
C=(3+4x+1)(34x1)=(4x+4)(4x+4)\begin{aligned} C&=(3+4x+1)(3-4x-1) \ &=(4x+4)(-4x+4) \end{aligned}

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À retenir

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Conclusion :

Ces trois équations vous faciliteront la vie lors de la résolution de problèmes en géométrie ou d’équations du second degré. En apprenant à les manier pour développer ou factoriser rapidement des expressions littérales (expressions mathématiques mélangeant des chiffres et des lettres) vos calculs seront plus aisés.