Fiche de révision Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels

L'ensemble des nombres décimaux

• Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d'une fraction décimale :

$$\dfrac{a}{10^n} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $n\in \mathbb N$]}}}$$

• L’ensemble des nombres décimaux est noté : $\mathbb D$.
• Tout entier relatif est décimal, donc $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D$.

Nombres rationnels

• Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers $a$ et $b$ :

$$\dfrac{a}{b}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $a$ et $b\neq 0$ des entiers relatifs]}}}$$

• L’ensemble des nombres rationnels est noté : $\mathbb Q$.
• Tout nombre décimal est rationnel, donc $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q$.
• Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible :

$$\dfrac pq \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $p$ et $q\neq 0$ des entiers relatifs dont le seul diviseur positif commun est $1$]}}}$$

• Tout nombre rationnel a un développement décimal limité ou périodique.

Nombres irrationnels

• Un nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.
• Il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
• Un nombre irrationnel a un développement décimal infini et non périodique.
• On a par exemple $\sqrt 2 \notin \mathbb Q$ ou encore $\pi \notin \mathbb Q$.