Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels

Montrons que $\frac 13$ n’est pas un nombre décimal.

Pour cela, nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde :

• nous allons supposer que $\frac 13$ est un nombre décimal ;
• si nous arrivons à une absurdité, nous pourrons conclure que notre hypothèse initiale était fausse, et donc que $\frac 13$ n’est pas un nombre décimal.

Supposons donc que $\frac{1}{3}$est un nombre décimal. Alors il peut s’écrire sous la forme :

$$\dfrac 13=\dfrac{a}{10^m} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $m\in\mathbb N$]}}}$$

Nous obtenons donc :

$$3a=10^m$$

$a$ étant un entier, cela veut dire que $10^m$ est un multiple de $3$.
Or, c’est impossible, d’après le critère de la divisibilité par $3$.

• Notre hypothèse de départ est donc fausse.
  $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

Montrons que le nombre réel $\sqrt 2$ est irrationnel.

Nous allons là aussi utiliser un raisonnement par l’absurde.

• Supposons donc que $\sqrt 2$ est rationnel.

Alors il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible (voir la propriété du paragraphe 2) :

$$\sqrt 2=\dfrac{p}{q} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $p$ et $q\neq 0$ des entiers relatifs]}}}$$

Nous pouvons donc écrire :

$$\begin{aligned} \left( \sqrt{2}\right)^2&=\left(\dfrac pq\right)^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ : }} 2 &= \dfrac {p^2}{q^2} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} p^2&=2q^2 \end{aligned}$$

• Posons $a=q^2$. Nous avons alors : $p^2=2a$.

Comme produit de deux nombres entiers, $a=q^2=q\times q$ est aussi un nombre entier. $p^2$ est donc pair.

• $p$ est donc aussi pair.

En effet, si $p$ était impair, $p^2$ serait impair. (Voir démonstration dans le cours « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».)

• Puisque $p$ est pair, il existe un entier relatif $k$ tel que : $p=2k$.

Nous avons trouvé plus haut : $p^2=2q^2$.
Nous obtenons donc :

$$\begin{aligned} (2k)^2&=2q^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} 4k^2&=2q^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }} 2k^2&=q^2 \end{aligned}$$

Posons $k^{\prime}=k^2$. Nous avons alors : $q^2=2k^{\prime}$.

Comme produit de deux nombres entier, $k^{\prime}$ est aussi un nombre entier. $q^2$ est donc pair.

• $q$ est donc aussi pair.
• Finalement, $p$ et $q$ sont pairs.

On peut donc simplifier la fraction $\frac pq$ par $2$.
Or, c’est impossible, car elle est supposée irréductible.

• Notre hypothèse de départ est donc fausse.
  $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel, c’est donc un irrationnel.

En effet, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :

$$\begin{aligned} d^2&=2c^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} d^2&=2\times 1^2=2 \end{aligned}$$

$d$ étant la mesure d’une longueur, $d$ est positive.

• $d=\sqrt{2}$.