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Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons découvrir un nouvel ensemble inclus dans l’ensemble des nombres réels : les nombres irrationnels. Nous reverrons dans un premier temps les nombres décimaux, puis nous étudierons l’ensemble des nombres rationnels, afin d’aborder ensuite la spécificité des nombres irrationnels.

L’ensemble des nombres décimaux

Les nombres décimaux

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Définition

Nombre décimal :

Un nombre décimal est un nombre qui possède un développement décimal limité, c'est-à-dire qu’il s'écrit avec nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme :

a10n [avec aZ et nN]\dfrac{a}{10^n} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $n\in \mathbb N$]}}}

  • L’ensemble des nombres décimaux est noté : D\mathbb D.
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Exemple

  • 3,413,41 est un nombre décimal, car il possède deux chiffres après la virgule et peut s’écrire :

341102\dfrac{341}{10^2}

  • 55 est un nombre décimal, il peut s’écrire :

5100\dfrac{5}{10^0}

  • 0,032059-0,032059 est un nombre décimal et peut s’écrire :

32059106-\dfrac{32\,059}{10^6}

Encadrement décimal d’un nombre réel à 10n10^{-n} près

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Définition

Encadrement décimal :

Encadrer un réel xx revient à trouver deux nombres décimaux aa et bb tels que :

a<x<ba < x

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À retenir

  • xx appartient à l’intervalle ]a ;b[]a\ ;\, b[ : x ]a ;b[x\in\ ]a\ ;\, b[.
  • bab-a est appelé amplitude de l’encadrement.

Les calculatrices donnent des valeurs approchées des nombres réels : ainsi, la calculatrice affiche 1,7320508081,732050808 pour 3\sqrt 3, que l’on peut traduire par différents encadrements :

  • 1<3<21 < \sqrt 3 < 2 : amplitude de 11, soit 10010^0 ;
  • 1,7<3<1,81,7 < \sqrt 3 < 1,8 : amplitude de 0,10,1, soit 10110^{-1} ;
  • 1,73<3<1,741,73 < \sqrt 3 < 1,74 : amplitude de 0,010,01, soit 10210^{-2} ;
  • 1,732<3<1,7331,732 < \sqrt 3 < 1,733 : amplitude de 0,0010,001, soit 10310^{-3} ;
  • 1,7320<3<1,73211,7320 < \sqrt 3 < 1,7321 : amplitude de 0,00010,0001, soit 10410^{-4} ;
  • et ainsi de suite.
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Définition

Encadrement décimal d’un nombre réel à 10n10^{-n} près :

Encadrer un réel xx à 10n10^{-n} près, où nn est un entier naturel, revient à trouver deux nombres décimaux aa et bb tels que :

a<x<betba=10na < x < b \quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{et}}\quad b-a=10^{-n}

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Exemple

  • Le nombre π\pi a pour encadrement à 10410^{-4} près :

3,1415<π<3,14163,1415 < \pi < 3,1416

  • 23\frac{2}{3} a pour encadrement à 10210^{-2} près :

0,66<23<0,670,66 < \dfrac{2}{3} < 0,67

  • On peut prendre pour valeur approchée de 2\sqrt 2 une valeur comprise entre 1,411,41 et 1,421,42.
  • Dans ce cas l’intervalle qui définit cet encadrement est [1,41;1,42][1,41\,;\,1,42] et son amplitude est 0,010,01, soit 10210^{-2}.

L'ensemble des nombres rationnels

L’ensemble des nombres réels R\mathbb R peut se scinder en deux ensembles : les rationnels et les irrationnels.

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Définition

Nombre rationnel :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers aa et bb :

ab [avec b0]\dfrac{a}{b}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $b\neq 0$]}}}

  • L’ensemble des nombres rationnels est noté : Q\mathbb Q.
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Exemple

  • 32-\frac{3}{2} ou 1,5-1,5 est un nombre réel, rationnel et aussi décimal.
  • 13\frac{1}{3} est un nombre réel et rationnel, mais pas décimal.
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Démonstration

Montrons que 13\frac 13 n’est pas un nombre décimal.

Pour cela, nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde :

  • nous allons supposer que 13\frac 13 est un nombre décimal ;
  • si nous arrivons à une absurdité, nous pourrons conclure que notre hypothèse initiale était fausse, et donc que 13\frac 13 n’est pas un nombre décimal.

Supposons donc que 13\frac{1}{3}est un nombre décimal. Alors il peut s’écrire sous la forme :

13=a10m [avec aZ et mN]\dfrac 13=\dfrac{a}{10^m} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $m\in\mathbb N$]}}}

Nous obtenons donc :

3a=10m3a=10^m

aa étant un entier, cela veut dire que 10m10^m est un multiple de 33.
Or, c’est impossible, d’après le critère de la divisibilité par 33.

  • Notre hypothèse de départ est donc fausse.
    13\frac{1}{3} n’est pas un nombre décimal.
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Propriété

Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible :

pq [avec p et q0 des entiers relatifs dont le seul diviseur positif commun est 1]\dfrac pq \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec pp et $q\neq 0$ des entiers relatifs dont le seul diviseur positif commun est 11]}}}

Voir aussi le cours : « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».

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Propriété

Tout nombre rationnel possède une partie décimale périodique au bout d'une certaine décimale.

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Exemple

  • 23\frac{2}{3} est un nombre rationnel :

23=0,666666666666666\dfrac 23=0,\purple{666666666666666}…

  • 124\frac{1}{24} est un nombre rationnel :

124=0,041666666666666666\dfrac 1{24}=0,041\purple{666666666666666}…

  • 27\frac{2}{7} est un nombre rationnel :

27=0,285714285714285714\dfrac 27=0,\purple{285714}\green{285714}\blue{285714}…

Les nombres irrationnels

Nombres irrationnels

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Définition

Nombre irrationnel :

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d’une fraction.

  • Un nombre réel qui n’est pas rationnel est irrationnel.
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Exemple

  • πQ\pi \notin \mathbb Q.
  • 2Q\sqrt 2 \notin \mathbb Q.
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Démonstration

Montrons que le nombre réel 2\sqrt 2 est irrationnel.

Nous allons là aussi utiliser un raisonnement par l’absurde.

  • Supposons donc que 2\sqrt 2 est rationnel.

Alors il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible (voir la propriété du paragraphe 2) :

2=pq [avec p et q0 des entiers relatifs]\sqrt 2=\dfrac{p}{q} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec pp et $q\neq 0$ des entiers relatifs]}}}

Nous pouvons donc écrire :

(2)2=(pq)2D’ouˋ : 2=p2q2Soit : p2=2q2\begin{aligned} \left( \sqrt{2}\right)^2&=\left(\dfrac pq\right)^2 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ : }} 2 &= \dfrac {p^2}{q^2} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} p^2&=2q^2 \end{aligned}

  • Posons a=q2a=q^2. Nous avons alors : p2=2ap^2=2a.

Comme produit de deux nombres entiers, a=q2=q×qa=q^2=q\times q est aussi un nombre entier. p2p^2 est donc pair.

  • pp est donc aussi pair.

En effet, si pp était impair, p2p^2 serait impair. (Voir démonstration dans le cours « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».)

  • Puisque $p$ est pair, il existe un entier relatif kk tel que : p=2kp=2k.

Nous avons trouvé plus haut : p2=2q2p^2=2q^2.
Nous obtenons donc :

(2k)2=2q2Soit : 4k2=2q2et : 2k2=q2\begin{aligned} (2k)^2&=2q^2 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} 4k^2&=2q^2 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }} 2k^2&=q^2 \end{aligned}

Posons k=k2k^{\prime}=k^2. Nous avons alors : q2=2kq^2=2k^{\prime}.

Comme produit de deux nombres entier, kk^{\prime} est aussi un nombre entier. q2q^2 est donc pair.

  • qq est donc aussi pair.
  • Finalement, $p$ et qq sont pairs.

On peut donc simplifier la fraction pq\frac pq par 22.
Or, c’est impossible, car elle est supposée irréductible.

  • Notre hypothèse de départ est donc fausse.
    2\sqrt{2} n’est pas rationnel, c’est donc un irrationnel.
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Propriété

Tout nombre irrationnel possède une partie décimale infinie et non périodique.

Exemples fournis par la géométrie

  • La racine carrée de 22

2\sqrt 2 est un nombre irrationnel dont l’écriture décimale est 1,41421356231,4142135623….
Il n’y a aucune périodicité dans sa partie décimale et il n’existe aucune fraction qui soit égale à ce nombre.
Il existe néanmoins une façon de construire géométriquement le nombre 2\sqrt 2 : il suffit de tracer un carré de côté de longueur c=1c = 1.

  • La mesure de sa diagonale dd est exactement égale à 2\sqrt 2.

Mathématiques seconde nombres décimaux rationnels irrationnels racine carrée de 2

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Démonstration

En effet, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :

d2=2c2Soit : d2=2×12=2\begin{aligned} d^2&=2c^2 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} d^2&=2\times 1^2=2 \end{aligned}

dd étant la mesure d’une longueur, dd est positive.

  • d=2d=\sqrt{2}.
  • Le nombre π\pi

Le nombre π\pi, que l’on arrondit généralement à 3,143,14, a un nombre infini de décimales : dernièrement, c’est plus de 1000010\,000 milliards de décimales qui ont été énumérées par de puissants ordinateurs.
On peut cependant le représenter géométriquement : il correspond exactement au périmètre d’un cercle de diamètre $1$.

 Mathématiques seconde nombres décimaux rationnels irrationnels pi

  • Le nombre d’or

Ce nombre fait parler de lui depuis des siècles, car on l’utilise dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture – on le trouve même dans certains éléments naturels ! Sa valeur est égale à :

5+121,618\dfrac{\sqrt 5 + 1}{2}\approx 1,618

Conclusion :

L’ensemble des nombres réels peut se scinder en deux ensembles : l’ensemble des nombre rationnels, qu’on peut écrire sous la forme ab\frac{a}{b} , et l’ensemble des nombres irrationnels, qu’on « ne peut pas écrire » sous forme de fraction.
Certains nombres irrationnels comme π\pi, 2\sqrt 2 ou encore le nombre d’or sont très connus pour leurs propriétés algébriques ou géométriques.