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Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons découvrir un nouvel ensemble inclus dans l’ensemble des nombres réels : les nombres irrationnels. Nous reverrons dans un premier temps les nombres décimaux, puis nous étudierons l’ensemble des nombres rationnels, afin d’aborder ensuite la spécificité des nombres irrationnels.
L’ensemble des nombres décimaux
Les nombres décimaux
Nombre décimal :
Un nombre décimal est un nombre qui possède un développement décimal limité, c'est-à-dire qu’il s'écrit avec nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme :
Encadrement décimal d’un nombre réel à près
Encadrement décimal :
Encadrer un réel revient à trouver deux nombres décimaux et tels que :
Les calculatrices donnent des valeurs approchées des nombres réels : ainsi, la calculatrice affiche pour , que l’on peut traduire par différents encadrements :
Encadrement décimal d’un nombre réel à près :
Encadrer un réel à près, où est un entier naturel, revient à trouver deux nombres décimaux et tels que :
L'ensemble des nombres rationnels
L’ensemble des nombres réels peut se scinder en deux ensembles : les rationnels et les irrationnels.
Nombre rationnel :
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers et :
Montrons que n’est pas un nombre décimal.
Pour cela, nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde :
Supposons donc que est un nombre décimal. Alors il peut s’écrire sous la forme :
Nous obtenons donc :
étant un entier, cela veut dire que est un multiple de .
Or, c’est impossible, d’après le critère de la divisibilité par .
Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible :
Voir aussi le cours : « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».
Tout nombre rationnel possède une partie décimale périodique au bout d'une certaine décimale.
Les nombres irrationnels
Nombres irrationnels
Nombre irrationnel :
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d’une fraction.
Montrons que le nombre réel
Nous allons là aussi utiliser un raisonnement par l’absurde.
Alors il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible (voir la propriété du paragraphe 2) :
Nous pouvons donc écrire :
Comme produit de deux nombres entiers,
En effet, si
Nous avons trouvé plus haut :
Nous obtenons donc :
Posons
Comme produit de deux nombres entier,
On peut donc simplifier la fraction
Or, c’est impossible, car elle est supposée irréductible.
Tout nombre irrationnel possède une partie décimale infinie et non périodique.
Exemples fournis par la géométrie
Il n’y a aucune périodicité dans sa partie décimale et il n’existe aucune fraction qui soit égale à ce nombre.
Il existe néanmoins une façon de construire géométriquement le nombre
En effet, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
Le nombre
On peut cependant le représenter géométriquement : il correspond exactement au périmètre d’un cercle de diamètre $1$.
Ce nombre fait parler de lui depuis des siècles, car on l’utilise dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture – on le trouve même dans certains éléments naturels ! Sa valeur est égale à :
Conclusion :
L’ensemble des nombres réels peut se scinder en deux ensembles : l’ensemble des nombre rationnels, qu’on peut écrire sous la forme
Certains nombres irrationnels comme