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Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

Dans ce cours, nous allons découvrir un nouvel ensemble inclus dans les nombres réels : les nombres irrationnels. Nous reverrons dans un premier temps les nombres décimaux, puis nous étudierons l’ensemble des nombres rationnels afin d’aborder ensuite la spécificité des nombres irrationnels.

L'ensemble des nombres décimaux

Les nombres décimaux

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Définition

Nombre décimal :

Un nombre décimal est un nombre qui possède un développement décimal limité, c'est-à-dire qu’il s'écrit avec nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme a10n\dfrac{a}{10^n} où a est un entier et n un entier naturel : les fractions décimales.

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Exemple

  • 3,413,41 est un nombre décimal car il possède deux chiffres après la virgule et peut s’écrire 341102\dfrac{341}{10^2} .
  • 55 est un nombre décimal et peut s’écrire 5100\dfrac{5}{10^0} .
  • 0,032059-0,032059 est un nombre décimal et peut s’écrire (32059)106\dfrac{(-32059)}{10^6} .

Encadrement décimal d’un nombre réel à 10n10^-n près

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Rappel

L’ensemble des nombres réels est noté R\mathbb R. C’est l’ensemble des nombres qui comportent une partie entière et une partie décimale finie ou infinie.

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Définition

Encadrement décimal :

Encadrer un réel xx revient à trouver deux nombres décimaux aa et bb tels que :
a<x<ba

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À retenir

  • xx appartient à l’intervalle ]a;b[]a; b[ c’est-à-dire x]a;b[x\in ]a;b[.
  • Le nombre égal à bab-a est appelé l’amplitude de l’encadrement.

Les calculatrices donnent des valeurs approchées des nombres réels : ainsi, la calculatrice affiche 1,732050811,73205081 pour 3\sqrt 3 que l’on peut traduire par différents encadrements :

  • 1<3<21<\sqrt 3<2 : amplitude de 11, soit 100100 ;
  • 1,7<3<1,81,7<\sqrt 3<1,8 : amplitude de 0,10,1, soit 10110-1 ;
  • 1,73<3<1,741,73<\sqrt 3<1,74 : amplitude de 0,010,01, soit 10210-2 ;
  • 1,732<3<1,7331,732<\sqrt 3<1,733 : amplitude de 0,0010,001, soit 10310-3 ;
  • 1,7320<3<1,73211,7320<\sqrt 3<1,7321 : amplitude de 0,00010,0001, soit 10410-4 ;
  • et ainsi de suite.
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Définition

Encadrement décimal d’un nombre réel à 10n10^{-n} près :

Encadrer un réel x à 10n10^{-n} près, où nn est un entier, revient à trouver deux nombres décimaux aa et bb tels que :
a<x<ba et ba<10nb-a<10^{-n}

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Exemple

  • Le nombre π\pi a pour encadrement à 10410^{-4} près 3,1415<π<3,14163,1415<\pi <3,1416.
  • 23\dfrac{2}{3} a pour encadrement à 10210^{-2} près 1,66<23<1,671,66<\dfrac{2}{3} <1,67
  • On peut prendre pour valeur approchée de 2\sqrt 2 une valeur comprise entre 1,411,41 et 1,421,42. Dans ce cas l’intervalle qui définit cet encadrement est [1,41,1,42][1,41, 1,42] et son amplitude est 0,010,01 soit 10210^{-2}.

L'ensemble des nombres rationnels Q\mathbb Q

L’ensemble des nombres réels R\mathbb R peut donc se scinder en deux ensembles : les rationnels et les irrationnels.

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Définition

Nombre rationnel :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers ab\dfrac{a}{b}, où bb est non nul. On peut aussi noter que Q={abouˋaZ,bZ}\mathbb Q = \lbrace\dfrac{a}{b} \,\text{où}\,a\in\mathbb Z , b\in\mathbb Z ^*\rbrace.

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Exemple

  • 32\dfrac{3}{2} ou 1,51,5 est un nombre réel, rationnel et aussi décimal car il s’écrit avec un nombre fini de décimales.
  • 17\dfrac{1}{7} est un nombre réel et rationnel mais pas décimal car il comporte une partie décimale infinie.
  • 0,75-0,75 ou 34-\dfrac{3}{4} est un nombre réel, rationnel et décimal.
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Propriété

Tout nombre rationnel possède une partie décimale périodique au bout d'une certaine décimale.

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Exemple

  • 27=0,285714285714285714\dfrac{2}{7}=0,285714285714285714… est un nombre rationnel car il comporte une période de 6 décimales qui est 285571285571. On écrira 27=0,285571\dfrac{2}{7}=0,285571.

  • 13=0,33333333\dfrac{1}{3}=0,33333333… est un nombre rationnel car il comporte une période d’une décimale qui est 33. On écrira 13=0,3\dfrac{1}{3}=0,3.

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Démonstration

Pourquoi le nombre rationnel 13\dfrac{1}{3} n’est-il pas un nombre décimal ?
Supposons que 13\dfrac{1}{3}est un nombre décimal : alors il peut s’écrire sous la forme a10n\dfrac{a}{10^n} . Ainsi nous avons l’égalité 13=a10n\dfrac{1}{3} =\dfrac{a}{10^n} et par conséquent 3×a=10n3\times a =10^n. Mais cela veut dire que 10n10^n est un multiple de 33. C’est faux d’après le critère de la divisibilité par 33 : 13\dfrac{1}{3} n’est donc pas un nombre décimal.

Les nombres irrationnels

Nombres irrationnels

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Définition

Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers relatifs.

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Propriété

Tout nombre irrationnel possède une partie décimale infinie et non périodique.

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Rappel

Dans l’ensemble des rationnels se trouvent l’ensemble des entiers naturels N\mathbb N, l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb Z et l’ensemble des décimaux D\mathbb D.

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Exemple

Les nombres irrationnels les plus connus sont :

  • 21,414\sqrt 2\approx 1,414
  • π3,14\pi\approx 3,14
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Démonstration

Pourquoi le nombre réel 2\sqrt 2 est-il irrationnel ?

  • Supposons par l’absurde que 2\sqrt 2 soit rationnel : alors 2=ab\sqrt 2=\dfrac{a}{b}, où a et b sont des nombres entiers positifs. On suppose que la fraction ab\dfrac{a}{b} est irréductible car toute fraction de nombres entiers peut être rendue irréductible.
  • On peut donc écrire : 2=(ab)2=a2b22=\Big(\dfrac{a}{b}\Big)^2 = \dfrac{a^2}{b^2}
  • D’où : 2b2=a22b^2 = a^2
  • Ce qui signifie que a2a^2 est multiple de 22 et donc que aa est multiple de 22.
  • En effet, supposons que aa soit un nombre impair : il peut donc s’écrire sous la forme a=2k+1a =2k+1 avec kk entier.
  • On a alors a2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2)+1a^2=(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k+1=2 (2k^2 +2)+1 qui est l’expression d’un nombre impair.
  • Ce qui prouve que si a2a^2 est multiple de 22 alors aa est multiple de 22.
  • aa étant pair on peut écrire que a=2pa =2ppp est un entier d’où a2=4p2a^2=4p^2.
  • Or : 2b2=a22b^2=a^2
  • On a alors : 2b2=4p22b^2=4p^2
  • Qui est équivalent à : b2=2p2b^2=2p^2
  • Donc b2b^2 est pair et par conséquent bb est pair.
  • On peut donc écrire que b=2mb=2mmm est un entier.
  • Donc ab=2p2m=pm\dfrac{a}{b} =\dfrac{2p}{2m} =\dfrac{p}{m} n’est pas irréductible.
  • Or, cela contredit l’hypothèse de départ : 2\sqrt 2 n’est donc pas rationnel mais irrationnel.

Exemples fournis par la géométrie

  • La racine carrée de 2

2\sqrt 2 est un nombre irrationnel dont l’écriture décimale est 1,41421356231,4142135623… Il n’y a aucune périodicité dans sa partie décimale et il n’existe aucune fraction qui soit égale à ce nombre. Il existe néanmoins une façon de construire géométriquement le nombre 2\sqrt 2 : il suffit de tracer un carré de côté c=1c = 1 et la mesure de sa diagonale dd est exactement égale à 2\sqrt 2.

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Démonstration

En effet, si on applique le théorème de Pythagore, on a :
d2=2c2d^2=2c^2
d=2c2d=\sqrt{2c^2}
d=2×12=2×1=2d=\sqrt{2\times 1^2}=\sqrt{2\times 1}=\sqrt2

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  • Le nombre π\pi

Le nombre π\pi, que l’on arrondit généralement à 3,143,14, a un nombre infini de décimales : dernièrement, c’est plus de 10 000 milliards de décimales qui ont été énumérées par de puissants ordinateurs. On peut cependant le représenter géométriquement : il correspond exactement au périmètre d’un cercle de diamètre 11.

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  • Le nombre d’or

Ce nombre fait parler de lui depuis des siècles car on l’utilise dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture – on le trouve même dans certains éléments naturels ! Sa valeur est égale à 5+12\dfrac{\sqrt 5 + 1}{2}, soit approximativement 1,6181,618.

Conclusion :

L’ensemble des nombres réels peut se scinder en deux ensembles : l’ensemble des nombre rationnels, qu’on peut écrire sous la forme ab\dfrac{a}{b} , et l’ensemble des nombres irrationnels, qu’on « ne peut pas écrire » sous forme de fraction ou sous forme décimale car ils comportent une suite infinie de décimales qui ne se répètent jamais. Certains nombres irrationnels comme π\pi, 2\sqrt 2 ou encore le nombre d’or sont très connus pour leurs propriétés algébriques ou géométriques.