Cours : Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels

L'ensemble des nombres décimaux

Les nombres décimaux

Définition

Nombre décimal :

Un nombre décimal est un nombre qui possède un développement décimal limité, c'est-à-dire qu’il s'écrit avec nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme $\dfrac{a}{10^n}$ où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel : les fractions décimales.

Exemple

• $3,41$ est un nombre décimal car il possède deux chiffres après la virgule et peut s’écrire $\dfrac{341}{10^2}$ .
• $5$ est un nombre décimal et peut s’écrire $\dfrac{5}{10^0}$ .
• $-0,032059$ est un nombre décimal et peut s’écrire $\dfrac{-32\,059}{10^6}$ .

Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près

Rappel

L’ensemble des nombres réels est noté $\mathbb R$. C’est l’ensemble des nombres qui comportent une partie entière et une partie décimale finie ou infinie.

Définition

Encadrement décimal :

Encadrer un réel $x$ revient à trouver deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que :
$a$

À retenir

• $x$ appartient à l’intervalle $]a; b[$ c’est-à-dire $x\in ]a;b[$.
• Le nombre égal à $b-a$ est appelé l’amplitude de l’encadrement.

Les calculatrices donnent des valeurs approchées des nombres réels : ainsi, la calculatrice affiche $1,73205081$ pour $\sqrt 3$ que l’on peut traduire par différents encadrements :

• $1<\sqrt 3<2$ : amplitude de $1$, soit $10^0$ ;
• $1,7<\sqrt 3<1,8$ : amplitude de $0,1$, soit $10^{-1}$ ;
• $1,73<\sqrt 3<1,74$ : amplitude de $0,01$, soit $10^{-2}$ ;
• $1,732<\sqrt 3<1,733$ : amplitude de $0,001$, soit $10^{-3}$ ;
• $1,7320<\sqrt 3<1,7321$ : amplitude de $0,0001$, soit $10^{-4}$ ;
• et ainsi de suite.

Définition

Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près :

Encadrer un réel $x$ à $10^{-n}$ près, où $n$ est un entier, revient à trouver deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que :
$a$ et $b-a=10^{-n}$

Exemple

• Le nombre $\pi$ a pour encadrement à $10^{-4}$ près $3,1415<\pi <3,1416$.
• $\dfrac{2}{3}$ a pour encadrement à $10^{-2}$ près $1,66<\dfrac{2}{3} <1,67$
• On peut prendre pour valeur approchée de $\sqrt 2$ une valeur comprise entre $1,41$ et $1,42$. Dans ce cas l’intervalle qui définit cet encadrement est $[1,41\,;\,1,42]$ et son amplitude est $0,01$ soit $10^{-2}$.

L'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$

L’ensemble des nombres réels $\mathbb R$ peut donc se scinder en deux ensembles : les rationnels et les irrationnels.

Définition

Nombre rationnel :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers $\dfrac{a}{b}$, où $b$ est non nul. On peut aussi noter que $\mathbb Q = \lbrace\dfrac{a}{b} \,\text{où}\,a\in\mathbb Z , b\in\mathbb Z ^*\rbrace$.

Exemple

• $\dfrac{3}{2}$ ou $1,5$ est un nombre réel, rationnel et aussi décimal car il s’écrit avec un nombre fini de décimales.
• $\dfrac{1}{7}$ est un nombre réel et rationnel mais pas décimal car il comporte une partie décimale infinie.
• $-0,75$ ou $-\dfrac{3}{4}$ est un nombre réel, rationnel et décimal.

Propriété

Tout nombre rationnel possède une partie décimale périodique au bout d'une certaine décimale.

Exemple

• $\dfrac{2}{7}=0,285714285714285714$… est un nombre rationnel car il comporte une période de 6 décimales qui est $285714$. On écrira $\dfrac{2}{7}\approx0,285714$.

• $\dfrac{1}{3}=0,33333333$… est un nombre rationnel car il comporte une période d’une décimale qui est $3$. On écrira $\dfrac{1}{3}\approx0,3$.

Démonstration

Pourquoi le nombre rationnel $\dfrac{1}{3}$ n’est-il pas un nombre décimal ?
Supposons que $\dfrac{1}{3}$est un nombre décimal : alors il peut s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ . Ainsi nous avons l’égalité $\dfrac{1}{3} =\dfrac{a}{10^n}$ et par conséquent $3\times a =10^n$. Mais cela veut dire que $10^n$ est un multiple de $3$. C’est faux d’après le critère de la divisibilité par $3$ : $\dfrac{1}{3}$ n’est donc pas un nombre décimal.

Les nombres irrationnels

Nombres irrationnels

Définition

Nombre irrationnel :

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers relatifs.

Propriété

Tout nombre irrationnel possède une partie décimale infinie et non périodique.

Rappel

Dans l’ensemble des rationnels se trouvent l’ensemble des entiers naturels $\mathbb N$, l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$ et l’ensemble des décimaux $\mathbb D$.

Exemple

Les nombres irrationnels les plus connus sont :

• $\sqrt 2\approx 1,414$
• $\pi\approx 3,14$

Démonstration

Pourquoi le nombre réel $\sqrt 2$ est-il irrationnel ?

• Supposons par l’absurde que $\sqrt 2$ soit rationnel : alors $\sqrt 2=\dfrac{a}{b}$, où a et b sont des nombres entiers positifs. On suppose que la fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible car toute fraction de nombres entiers peut être rendue irréductible.
• On peut donc écrire : $2=\Big(\dfrac{a}{b}\Big)^2 = \dfrac{a^2}{b^2}$
• D’où : $2b^2 = a^2$
• Ce qui signifie que $a^2$ est multiple de $2$ et donc que $a$ est multiple de $2$.
• En effet, supposons que $a$ soit un nombre impair : il peut donc s’écrire sous la forme $a =2k+1$ avec $k$ entier.
• On a alors $a^2=(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k+1=2 (2k^2 +2)+1$ qui est l’expression d’un nombre impair.
• Ce qui prouve que si $a^2$ est multiple de $2$ alors $a$ est multiple de $2$.
• $a$ étant pair on peut écrire que $a =2p$ où $p$ est un entier d’où $a^2=4p^2$.
• Or : $2b^2=a^2$
• On a alors : $2b^2=4p^2$
• Qui est équivalent à : $b^2=2p^2$
• Donc $b^2$ est pair et par conséquent $b$ est pair.
• On peut donc écrire que $b=2m$ où $m$ est un entier.
• Donc $\dfrac{a}{b} =\dfrac{2p}{2m} =\dfrac{p}{m}$ n’est pas irréductible.
• Or, cela contredit l’hypothèse de départ : $\sqrt 2$ n’est donc pas rationnel mais irrationnel.

Exemples fournis par la géométrie

• La racine carrée de 2

$\sqrt 2$ est un nombre irrationnel dont l’écriture décimale est $1,4142135623$… Il n’y a aucune périodicité dans sa partie décimale et il n’existe aucune fraction qui soit égale à ce nombre. Il existe néanmoins une façon de construire géométriquement le nombre $\sqrt 2$ : il suffit de tracer un carré de côté $c = 1$ et la mesure de sa diagonale $d$ est exactement égale à $\sqrt 2$.

Démonstration

En effet, si on applique le théorème de Pythagore, on a :
$d^2=2c^2$
$d=\sqrt{2c^2}$
$d=\sqrt{2\times 1^2}=\sqrt{2\times 1}=\sqrt2$

• Le nombre $\pi$

Le nombre $\pi$, que l’on arrondit généralement à $3,14$, a un nombre infini de décimales : dernièrement, c’est plus de $10\,000$ milliards de décimales qui ont été énumérées par de puissants ordinateurs. On peut cependant le représenter géométriquement : il correspond exactement au périmètre d’un cercle de diamètre $1$.

• Le nombre d’or

Ce nombre fait parler de lui depuis des siècles car on l’utilise dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture – on le trouve même dans certains éléments naturels ! Sa valeur est égale à $\dfrac{\sqrt 5 + 1}{2}$, soit approximativement $1,618$.