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Les nombres réels

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L’ensemble des nombres réels, la droite numérique

  • Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a :
  • les nombres entiers naturels N\mathbb{N} ;
  • les nombres entiers relatifs Z\mathbb{Z} ;
  • les nombres décimaux D\mathbb{D} ;
  • les nombres rationnels Q\mathbb{Q} ;
  • enfin, les nombres réels R\mathbb{R}.
  • La droite numérique de R\mathbb{R}, se représente par une droite graduée :
  • chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée ;
  • réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel.

Les intervalles de R\mathbb{R}

  • L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter ];+[]-\infty\,;+\infty[.
  • L’intervalle de tous les nombres réels xx tels que 2x3-2\leq x\leq3 peut se représenter sur la droite des réels et est noté [2;3][-2;3]
  • Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit borné.
  • Parfois, une borne est « plus l’infini » ou « moins l’infini » : on parle d’intervalles non-bornés.

On considère deux réels aa et bb tels que aba\le b :

Notation Représentation sur la droite des réels Ensemble des xx tels que : Signification
[a;b][a;b]

Alt texte

axba\leq x\leq b Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle.
]a;b]]a;b]

Alt texte

a<xba< x\leq b Intervalle semi-ouvert : ouvert en aa et fermé en bb. Seul bb appartient à l’intervalle.
[a;b[[a;b[

Alt texte

ax<ba\leq x < b Intervalle semi-ouvert : ouvert en bb et fermé en aa. Seul aa appartient à l’intervalle.
]a;b[]a;b[

Alt texte

a<x<ba < x < b Intervalle ouvert : aa et bb n’appartiennent pas à l’intervalle.
];b]]-\infty;b]

Alt texte

xbx\leq b Intervalle fermé en bb et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à bb.
];b[]-\infty;b[

Alt texte

x<bx < b Intervalle ouvert en bb et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à bb.
[a;+[[a;+\infty[

Alt texte

axa\leq x Intervalle fermé en aa et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à aa.
]a;+[]a;+\infty[

Alt texte Légende

a<xa < x Intervalle ouvert en aa et dont toutes les valeurs sont supérieures strictement à aa.

Représenter la distance entre deux nombres réels

  • La valeur absolue d’un nombre :
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Propriété

La valeur absolue d’un nombre aa se note a|a|.
a=a|a|=a si a0a\geq 0 ou a=a|a|=-a si a0a\leq 0.

  • Distance entre deux nombres réels :
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Propriété

Soit aa et bb deux réels. On note d(a;b)d(a; b) la distance entre aa et bb. On a :

  • dd est positif ou nul ;
  • d(a;b)=d(b;a)d(a; b) = d(b; a).
  • Il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des nombres réels ou des variables comme xx par exemple.
  • Distance et valeur absolue :
  • Pour tous nombres réels aa et bb on a d(a;b)=ab=bad(a; b) = |a-b| = |b-a|.
  • ab=ab|a-b|=a-b si a>ba>b
  • ab=ba|a-b|=b-a si a<ba
  • Application
  • La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des inéquations de type d(x;a)rd(x; a)\leq r ou encore xar|x-a|\leq r.