Ensemble des nombres réels et intervalles

Les ensembles de nombres

• On considère une droite graduée.
• L’ensemble des nombres réels est constitué de l’ensemble des abscisses des points de la droite.

• Soit $E$ et $F$ deux ensembles.
• $a\in E$ signifie que $a$ appartient à $E$.
• $a\notin E$ signifie que $a$ n’appartient pas à $E$.
• $E\subset F$ signifie que tous les éléments de l’ensemble $E$ appartiennent à l’ensemble $F$.
• On dit que $E$ est inclus dans $F$, ou que $E$ est un sous-ensemble de $F$.
• Notation des ensembles :
• $\mathbb N$ est l’ensemble des entiers naturels ;
• $\mathbb Z$ est l’ensemble des entiers relatifs ;
• $\mathbb D$ est l’ensemble des décimaux ;
• $\mathbb Q$ est l’ensemble des rationnels ;
• $\mathbb R$ est l’ensemble des réels.
• Nous avons : $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$.

Intervalles de $\mathbb R$

• Soit $a$ et $b$ deux nombres réels.
• L’intervalle $[a\ ;\, b]$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $a \leq x \leq b$. C’est un intervalle borné fermé ($a \in [a\ ;\, b]$ et $b \in [a\ ;\, b]$).
• $a$ est appelé borne inférieure de l’intervalle ;
• $b$ est appelé borne supérieure de l’intervalle.
• L’intervalle $[a\ ;\, b[$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $a \leq x < b$. C’est un intervalle borné semi-ouvert ($a\in [a\ ;\, b[$ et $b\notin [a\ ;\, b[$).
• L’intervalle $]a\ ;\, b]$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $a < x \leq b$. C’est un intervalle borné semi-ouvert ($a \notin\ ]a\ ;\, b]$ et $b \in\ ]a\ ;\, b]$).
• L’intervalle $]a\ ;\, b[$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $a < x < b$. C’est un intervalle borné ouvert ($a \notin\ ]a\ ;\, b[$ et $b \notin\ ]a\ ;\, b[$).
• L’intervalle $]-\infty\ ;\, b]$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x \leq b$. C’est un intervalle non borné fermé en $b$ ($b \in\ ]-\infty\ ;\, b]$).
• L’intervalle $]-\infty\ ;\, b[$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x < b$. C’est un intervalle non borné ouvert en $b$ ($b \notin\ ]-\infty\ ;\, b[$).
• L’intervalle $[a\ ;\, +\infty[$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x \geq a$. C’est un intervalle non borné fermé en $a$ ($a \in [a\ ;\, +\infty[$).
• L’intervalle $]a\ ;\, +\infty[$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x > a$. C’est un intervalle non borné ouvert en $a$ ($a \notin\ ]a\ ;\, +\infty[$).
• Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb R$.
• $I\cup J$ est la réunion des deux intervalles : c’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ ou à $J$.
• $I\cap J$ est l’intersection des deux intervalles : c’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ et à $J$.

Distance entre deux nombres réels

• On considère une droite graduée d’origine $O$ et un point $M$ de cette droite d’abscisse $x$.
• On appelle « valeur absolue de $x$ » sa distance à l’origine, soit la distance $OM$.
• La valeur absolue d’un réel $x$ est notée $\vert x\vert$ :

$$\vert x\vert = \begin{cases} x & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\geq 0$}} \\ -x &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\leq 0$}} \end{cases}$$

• Pour tout nombre réel $x$ :
• $\vert x\vert \geq 0$ ;
• $\vert -x\vert = \vert x\vert$.
• On considère une droite graduée et deux points de cette droite : $A$, d’abscisse $a$, et $B$, d’abscisse $b$.
• La distance entre les réels $a$ et $b$ est égale à : $\vert a-b\vert=\vert b-a\vert$ :

$$\vert a - b\vert =\begin{cases} a - b &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \geq b$}} \\ b - a &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \leq b$}} \end{cases}$$

• Soit $a$ un nombre réel et $r$ un nombre réel positif.
  L’ensemble des réels $x$ tels que $\vert x-a\vert \leq r$ est l’intervalle borné fermé : $[a-r\ ;\, a+r]$.
• Cet intervalle est fermé, centré en $a$ et ses bornes sont $a-r$ et $a+r$.
• Dire que le réel $x$ est tel que $\vert x-a\vert \leq r$ revient à dire que : $x\in [a-r\ ;\, a+r]$.
• Autrement dit, la distance entre les réels $a$ et $x$ est inférieure ou égale à $r$.