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Ensemble des nombres réels et intervalles

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Les ensembles de nombres

  • On considère une droite graduée.
  • L’ensemble des nombres réels est constitué de l’ensemble des abscisses des points de la droite.

seconde mathématiques ensemble des nombres réels droite Droite des réels (image temporaire)

  • Soit EE et FF deux ensembles.
  • aEa\in E signifie que aa appartient à EE.
  • aEa\notin E signifie que aa n’appartient pas à EE.
  • EFE\subset F signifie que tous les éléments de l’ensemble EE appartiennent à l’ensemble FF.
  • On dit que EE est inclus dans FF, ou que EE est un sous-ensemble de FF.
  • Notation des ensembles :
  • N\mathbb N est l’ensemble des entiers naturels ;
  • Z\mathbb Z est l’ensemble des entiers relatifs ;
  • D\mathbb D est l’ensemble des décimaux ;
  • Q\mathbb Q est l’ensemble des rationnels ;
  • R\mathbb R est l’ensemble des réels.
  • Nous avons : NZDQR\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R.

Intervalles de R\mathbb R

  • Soit aa et bb deux nombres réels.
  • L’intervalle [a ;b][a\ ;\, b] est l’ensemble des nombres réels xx tels que : axba \leq x \leq b. C’est un intervalle borné fermé (a[a ;b]a \in [a\ ;\, b] et b[a ;b]b \in [a\ ;\, b]).
  • aa est appelé borne inférieure de l’intervalle ;
  • bb est appelé borne supérieure de l’intervalle.
  • L’intervalle [a ;b[[a\ ;\, b[ est l’ensemble des nombres réels xx tels que : ax<ba \leq x < b. C’est un intervalle borné semi-ouvert (a[a ;b[a\in [a\ ;\, b[ et b[a ;b[b\notin [a\ ;\, b[).
  • L’intervalle ]a ;b]]a\ ;\, b] est l’ensemble des nombres réels xx tels que : a<xba < x \leq b. C’est un intervalle borné semi-ouvert (a ]a ;b]a \notin\ ]a\ ;\, b] et b ]a ;b]b \in\ ]a\ ;\, b]).
  • L’intervalle ]a ;b[]a\ ;\, b[ est l’ensemble des nombres réels xx tels que : a<x<ba < x < b. C’est un intervalle borné ouvert (a ]a ;b[a \notin\ ]a\ ;\, b[ et b ]a ;b[b \notin\ ]a\ ;\, b[).
  • L’intervalle ] ;b]]-\infty\ ;\, b] est l’ensemble des nombres réels xx tels que : xbx \leq b. C’est un intervalle non borné fermé en bb (b ] ;b]b \in\ ]-\infty\ ;\, b]).
  • L’intervalle ] ;b[]-\infty\ ;\, b[ est l’ensemble des nombres réels xx tels que : x<bx < b. C’est un intervalle non borné ouvert en bb (b ] ;b[b \notin\ ]-\infty\ ;\, b[).
  • L’intervalle [a ;+[[a\ ;\, +\infty[ est l’ensemble des nombres réels xx tels que : xax \geq a. C’est un intervalle non borné fermé en aa (a[a ;+[a \in [a\ ;\, +\infty[).
  • L’intervalle ]a ;+[]a\ ;\, +\infty[ est l’ensemble des nombres réels xx tels que : x>ax > a. C’est un intervalle non borné ouvert en aa (a ]a ;+[a \notin\ ]a\ ;\, +\infty[).
  • Soit II et JJ deux intervalles de R\mathbb R.
  • IJI\cup J est la réunion des deux intervalles : c’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II ou à JJ.
  • IJI\cap J est l’intersection des deux intervalles : c’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II et à JJ.

Distance entre deux nombres réels

  • On considère une droite graduée d’origine OO et un point MM de cette droite d’abscisse xx.
  • On appelle « valeur absolue de xx » sa distance à l’origine, soit la distance OMOM.
  • La valeur absolue d’un réel xx est notée x\vert x\vert :

x={xsi x0xsi x0\vert x\vert = \begin{cases} x & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\geq 0$}} \ -x &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\leq 0$}} \end{cases}

  • Pour tout nombre réel xx :
  • x0\vert x\vert \geq 0 ;
  • x=x\vert -x\vert = \vert x\vert.
  • On considère une droite graduée et deux points de cette droite : AA, d’abscisse aa, et BB, d’abscisse bb.
  • La distance entre les réels aa et bb est égale à : ab=ba\vert a-b\vert=\vert b-a\vert :

ab={absi abbasi ab\vert a - b\vert =\begin{cases} a - b &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \geq b$}} \ b - a &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \leq b$}} \end{cases}

  • Soit aa un nombre réel et rr un nombre réel positif.
    L’ensemble des réels xx tels que xar\vert x-a\vert \leq r est l’intervalle borné fermé : [ar ;a+r][a-r\ ;\, a+r].
  • Cet intervalle est fermé, centré en aa et ses bornes sont ara-r et a+ra+r.
  • Dire que le réel xx est tel que xar\vert x-a\vert \leq r revient à dire que : x[ar ;a+r]x\in [a-r\ ;\, a+r].
  • Autrement dit, la distance entre les réels aa et xx est inférieure ou égale à rr.