Fiche de révision : Les nombres réels

L’ensemble des nombres réels, la droite numérique

• Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a :
• les nombres entiers naturels $\mathbb{N}$ ;
• les nombres entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ;
• les nombres décimaux $\mathbb{D}$ ;
• les nombres rationnels $\mathbb{Q}$ ;
• enfin, les nombres réels $\mathbb{R}$.
• La droite numérique de $\mathbb{R}$, se représente par une droite graduée :
• chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée ;
• réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel.

Les intervalles de $\mathbb{R}$

• L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter $]-\infty\,;+\infty[$.
• L’intervalle de tous les nombres réels $x$ tels que $-2\leq x\leq3$ peut se représenter sur la droite des réels et est noté $[-2;3]$
• Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit borné.
• Parfois, une borne est « plus l’infini » ou « moins l’infini » : on parle d’intervalles non-bornés.

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a\le b$ :

Représenter la distance entre deux nombres réels

• La valeur absolue d’un nombre :

Propriété

La valeur absolue d’un nombre $a$ se note $|a|$.
$|a|=a$ si $a\geq 0$ ou $|a|=-a$ si $a\leq 0$.

• Distance entre deux nombres réels :

Propriété

Soit $a$ et $b$ deux réels. On note $d(a; b)$ la distance entre $a$ et $b$. On a :

• $d$ est positif ou nul ;
• $d(a; b) = d(b; a)$.

• Il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des nombres réels ou des variables comme $x$ par exemple.
• Distance et valeur absolue :
• Pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a $d(a; b) = |a-b| = |b-a|$.
• $|a-b|=a-b$ si $a>b$
• $|a-b|=b-a$ si $a$
• Application
• La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des inéquations de type $d(x; a)\leq r$ ou encore $|x-a|\leq r$.