Cours : Les nombres réels

L’ensemble des nombres réels, la droite numérique

L’ensemble des nombres réels

Définition

Nombres réels :

L’ensemble des nombres réels est noté ℝ. C’est l’ensemble des nombres qui comportent une partie entière et une partie décimale finie ou infinie.

À retenir

Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a :

• les nombres entiers naturels $\mathbb{N}$ ;
• les nombres entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ;
• les nombres décimaux $\mathbb{D}$ ;
• les nombres rationnels $\mathbb{Q}$ ;
• enfin, les nombres réels $\mathbb{R}$.

Exemple

• $17$ est un nombre réel et un entier naturel : il est positif et n’a pas de partie décimale.
• $-15$ est un nombre réel et un entier relatif : il est négatif et n’a pas de partie décimale.
• $8,254$ est un nombre réel et décimal : il comporte une partie décimale limitée.
• $2/7$ est un nombre réel et rationnel : il comporte une partie décimale périodique.
• $\sqrt{2}$ est seulement un nombre réel : il comporte une partie décimale illimitée.

Astuce

Pour indiquer que l’on utilise un ensemble en lui retirant le nombre $0$, on le note avec un astérisque. Par exemple, pour dire que $a$ est un nombre relatif non nul, on écrit : $a\in\mathbb{Z}$*.

Représentation graphique de $\mathbb{R}$

La droite numérique, ou droite des réels, se représente par une droite graduée. Chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée. Réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel, appelé abscisse de ce point.

Les intervalles de $\mathbb{R}$

Définition

Intervalle de $\mathbb{R}$ :

Un intervalle de $\mathbb{R}$ est un ensemble de nombres réels délimité par deux nombres réels : une borne inférieure et une borne supérieure.

À retenir

L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter $]-\infty\,;+\infty[$.
Le symbole « $+\infty$ » se lit « plus l’infini » et le symbole « $-\infty$ » se lit « moins l’infini ».

Notation

L’ensemble de tous les nombres réels $x$ tels que $-2\leq x\leq3$ peut se représenter sur la droite des réels comme ci-dessous :

Cet ensemble est appelé intervalle et est noté $[-2;3]$.

Exemple

L’ensemble de tous les nombres réels $x$ tels que $1\leq x\leq8$ se note $[1;8]$ et on peut affirmer que :

• $4\in[1;8]$
• $0\not\in[1;8]$
• $8\in[1;8]$

Les différents types d’intervalles

Les intervalles se notent de différentes façons selon les caractéristiques de leurs deux bornes. Il existe des intervalles ouverts (les bornes sont exclues de l’intervalle), semi-ouverts (l’une des bornes est comprise dans l’intervalle) et fermés (les deux bornes sont comprises dans l’intervalle). Le tableau suivant résume les différentes possibilités.

Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit borné. Parfois, une borne est « plus l’infini » ou « moins l’infini » : on parle d’intervalles non-bornés.

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a\leq b$ :

Astuce

• On parle souvent de crochet « ouvert » ou « fermé ». Un crochet est ouvert lorsqu’il « tourne le dos » à sa borne. Il indique alors que celle-ci ne fait pas partie de l’intervalle. Pour l’intervalle $[2; 5[$, la borne $5$ ne fait pas partie de l’intervalle car le crochet est ouvert en $5$.
• Pour les infinis $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert.

Représenter la distance entre deux nombres réels

Définition

Valeur absolue :

Soit une droite graduée d’origine $O$ et un point $M$ d’abscisse $x$. On appelle « valeur absolue de $x$ » sa distance à l’origine, soit la distance $OM$.

La valeur absolue d’un nombre

Propriété

La valeur absolue d’un nombre $a$ se note $|a|$.
$|a|=a$ si $a\geq 0$ ou $|a|=-a$ si $a\leq 0$.

Exemple

• $|5|=5$ car $5>0$
• $|-3|=-(-3)=3$ car $-3<0$
• $|-2,5|=|2,5|=2,5$

Distance entre deux nombres réels

Propriété

Soit $a$ et $b$ deux réels. On note $d(a; b)$ la distance entre $a$ et $b$. On a :

• $d$ est positif ou nul ;
• $d(a; b) = d(b; a)$.

À retenir

Comment calculer $d(a; b)$ dans le cas général ?
Soit $a$ et $b$ deux réels :

• Si $a\geq b$, alors $d(a; b) = a-b$,
• Si $b\geq a$, alors $d(a; b) = b-a$,

Exemple

$d(-1; 2) = 2-(-1) = 3$ car pour aller du point d’abscisse $-1$ au point d’abscisse $2$ on parcourt une distance de $3$ unités.
$d(0,25; 0,75) = 0,75-0,25 = 0,5$ car pour aller du point d’abscisse $0,25$ au point abscisse $0,75$ on parcourt $0,5$ unité.

Distance entre 2 réels

D’après les deux exemples précédents, il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des nombres réels ou des variables comme $x$ par exemple.

Distance et valeur absolue

Définition

Distance :

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a $d(a; b) = |a-b| = |b-a|$.

À retenir

$|a-b|=a-b$ si $a>b$.
$|a-b|=b-a$ si $a$.

Exemple

Pour tout nombre réel $x$ on a :

• $d(x; 3)=|x-3|$
• $d(-1; x)=|-1-x|=|1+x|$
• $d(-5; 3)=|-5-3|=|-8|=8$
• $d(\pi;3)=|\pi-3|\pi-3$ car $\pi>3$
• $d(\sqrt{2}; 2)=|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$ car $\sqrt{2}<2$

Application

La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des inéquations de type $d(x; a)\leq r$ ou encore $|x-a|\leq r$.

Soit $a$ un réel quelconque et $r$ un réel positif ou nul. L’intervalle $[a-r; a+r]$ a pour représentation :

Cet intervalle est fermé, centré en $a$ et ses bornes sont $a-r$ et $a+r$. De plus, chaque point de cet intervalle est à une distance inférieure ou égale à $r$ du point d’abscisse $a$. On peut donc écrire, pour tout point d’abscisse $x$ de l’intervalle $[a-r; a+r]$, $d(x; a)\leq r$ ou encore $|x-a|\leq r$.

Exemple

• Résoudre $d(x; 1)\leq 3$ permet de trouver tous les points distants au maximum de $3$ unités du point d’abscisse $1$. C’est donc l’intervalle $[1-3; 1+3] = [-2; 4]$.

• Résoudre $d(x; -2)\leq\pi$ permet de trouver tous les points distants au maximum de $\pi$ unités du point d’abscisse $-2$. C’est donc l’intervalle $[-2-\pi; -2+\pi]$.

Astuce

Résoudre $d(x; a)\leq 0$ ou encore $|x-a|\leq 0$ a une seule solution : $x=a$.