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Ensemble des nombres réels et intervalles

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Introduction :

Les ensembles des nombres entiers, des entiers relatifs, des décimaux et des rationnels sont connus depuis les cours de mathématiques du collège. Dans ce cours, nous allons découvrir un ensemble qui les contient tous : l’ensemble des nombres réels.

Nous allons, dans un premier temps, rappeler ces ensembles que nous connaissons et donner le vocabulaire et les notations à connaître quand on travaille sur des ensembles.
Puis nous définirons l’ensemble des nombres réels et ce que sont les intervalles, avant d’apprendre à calculer des distances entre deux nombres.

Les ensembles de nombres : rappels et notations

Les nombres entiers

Au collège, nous avons vu qu’un nombre entier naturel est un nombre entier positif, et aussi qu’un nombre entier relatif est un nombre entier, positif ou négatif.

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À retenir

  • L’ensemble des nombres entiers naturels est noté : N\mathbb N.
  • L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté : Z\mathbb Z.

4-4 est un nombre entier négatif, c’est donc un nombre entier relatif.

  • On note : 4Z-4 \in \mathbb Z.

Cette dernière écriture se lit : « 4-4 appartient à l’ensemble des nombres entiers relatifs ».

En revanche, 4-4 n’est pas un nombre positif, donc, il n’appartient pas à l’ensemble des entiers naturels.

  • On note : 4N-4\notin \mathbb N.

De la définition d’un entier relatif, nous comprenons que tout entier naturel est un entier relatif. Ainsi, tous les éléments de l’ensemble des entiers naturels appartiennent aussi à l’ensemble des entiers relatifs.

  • On dit que l’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs, ou que l’ensemble des entiers naturels est un sous-ensemble de l’ensemble des entiers relatifs.
  • Et on note : NZ\mathbb N \subset \mathbb Z.

Voir aussi le cours : « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».

Les nombres décimaux et les nombres rationnels

Nous savons aussi ce que sont un nombre décimal et un nombre rationnel :

  • un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale :

a10n [avec aZ et nN]\dfrac a{10^n}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $n\in \mathbb N$]}}}

  • un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction :

ab [avec aZ et bZ]\dfrac ab \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $b\in \mathbb Z^*$]}}}

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À retenir

La notation Z\mathbb Z^* signifie qu’il s’agit de l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb Z, privé de zéro. Ainsi, dans la dernière formule, bb peut prendre toutes les valeurs entières, positives ou négatives, mais pas la valeur nulle.

  • On peut aussi l’écrire sous la forme : Z{0}\mathbb Z \smallsetminus \lbrace 0 \rbrace.

De manière générale, si on veut « priver » un ensemble de l’élément nul, on le note avec un astérisque.

  • N\mathbb N^* est par exemple l’ensemble des entiers naturels non nuls, soit les entiers strictement positifs.
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À retenir

  • L’ensemble des nombres décimaux est noté : D\mathbb D.
  • L’ensemble des nombres rationnels est noté : Q\mathbb Q.

Nous l’avons vu, tout entier naturel est un entier relatif. C’est aussi un nombre décimal (par exemple : 2=21002=\frac 2{10^0}). Et c’est également un nombre rationnel (par exemple : 2=21=422=\frac 21=\frac 42…).

  • Nous avons donc :

NZDQ\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q

Tous les nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction et ne sont donc pas des rationnels. Par exemple : π\pi ou 2\sqrt{2}.

  • On dit que ce sont des nombres irrationnels :

πQ2Q\begin{aligned} \pi &\notin \mathbb Q \ \sqrt{2} &\notin \mathbb Q \end{aligned}

Voir aussi le cours : « Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels », qui démontre notamment que 13\frac 13 n’est pas un nombre décimal et que 2\sqrt{2} n’est pas un nombre rationnel.

Les nombres réels

Ensemble des nombres réels

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Définition

Ensemble des nombres réels :

Considérons une droite graduée.
Les nombres réels sont les abscisses des points de la droite.

  • L’ensemble des nombres réels est noté : R\mathbb R.
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Exemple

55, 2-2, 3710-\frac {37}{10} et 13\frac 13 sont des nombres réels. π\pi et 2\sqrt{2} sont aussi des réels.

seconde mathématiques ensemble des nombres réels droite Droite des réels (image temporaire)

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À retenir

L’ensemble des nombres rationnels est inclus dans l’ensemble des nombres réels.

  • Nous avons finalement les inclusions suivantes :

NZDQR\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R

Mathématiques seconde ensemble des nombres réels Ensemble des nombres réels

Revenons sur 2\sqrt{2}, qui est un nombre irrationnel.
Nous avons donc : 2R\sqrt{2}\in \mathbb R et 2Q\sqrt 2 \notin \mathbb Q. 2\sqrt{2} appartient donc à l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble des nombres rationnels.

  • On peut noter : 2RQ\sqrt{2}\in \mathbb R\smallsetminus \mathbb Q.

Les intervalles de R\mathbb{R}

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Définition

Intervalle de R\mathbb{R} :

Soit aa et bb deux nombres réels tels que aba\leq b.

  • L’intervalle [a ;b][a\ ;\, b] est l’ensemble des nombres réels xx tels que : axba\leq x \leq b.
  • L’intervalle ] ;b]]-\infty\ ;\, b] (où le signe « \infty » représente l’infini) est l’ensemble des nombres réels xx tels que : xbx\leq b.
  • L’intervalle [a ;+[[a\ ;\, +\infty[ est l’ensemble des nombres réels xx tels que : xax\geq a.
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À retenir

Soit aa et bb deux nombres réels.

  • Soit l’intervalle I1=[a ;b]I_1=[a\ ;\, b].
  • aa est appelé borne inférieure de l’intervalle I1I_1.
  • bb est appelé borne supérieure de l’intervalle I1I_1.
  • On dit que I1I_1 est un intervalle borné.
  • Soit l’intervalle I2=] ;b]I2=]-\infty\ ;\, b] et l’intervalle I3=[a ;+[I3=[a\ ;\, +\infty[.
  • On dit que I2I2 et I3I3 sont des intervalles non bornés.
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Exemple

L’ensemble des réels xx tels que 2x3-2 \leq x \leq 3 est donc l’intervalle borné [2 ;3][-2\ ;\, 3].

  • 2-2 est la borne inférieure ;
  • 33 est la borne supérieure.

Nous pouvons représenter cet intervalle sur la droite des réels :

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle borné

Et nous avons, par exemple :

  • 3[2 ;3]-3 \notin [-2\ ;\, 3] ;
  • 1[2 ;3]-1 \in [-2\ ;\, 3] ;
  • 0[2 ;3]0 \in [-2\ ;\, 3] ;
  • 21,41[2 ;3]\sqrt{2}\approx 1,41 \in [-2\ ;\, 3]
  • 2[2 ;3]2 \in [-2\ ;\, 3] ;
  • π3,14[2 ;3]\pi\approx 3,14 \notin [-2\ ;\, 3].
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Astuce

L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter ];+[]-\infty\,;+\infty[.

Les intervalles se notent de différentes façons selon les caractéristiques de leurs deux bornes. Il existe des intervalles :

  • ouverts : les bornes sont exclues de l’intervalle,
  • semi-ouverts : une seule borne appartient à l’intervalle,
  • fermés : les deux bornes appartiennent à l’intervalle.
  • Le tableau suivant résume les différentes possibilités.
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À retenir

On considère deux réels aa et bb tels que aba\leq b.

Notation Représentation sur la droite des réels Ensemble des réels xx tels que : Signification
[a ;b][a\ ;\, b]

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle borné fermé

axba\leq x\leq b Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle
]a ;b]]a\ ;\, b]

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle borné semi-ouvert

a<xba< x\leq b Intervalle semi-ouvert : ouvert en aa et fermé en bb. Des deux bornes, seul bb appartient à l’intervalle
[a ;b[[a\ ;\, b[

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle borné semi-ouvert

ax<ba\leq x < b Intervalle semi-ouvert : ouvert en bb et fermé en aa. Des deux bornes, seul aa appartient à l’intervalle
]a ;b[]a\ ;\, b[

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle borné ouvert

a<x<ba < x < b Intervalle ouvert : aa et bb n’appartiennent pas à l’intervalle
] ;b]]-\infty\ ;\, b]

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle non borné

xbx\leq b Intervalle fermé en bb et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à bb
] ;b[]-\infty\ ;\, b[

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle non borné

x<bx < b Intervalle ouvert en bb et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à bb
[a ;+[[a\ ;\, +\infty[

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle non borné

xax \geq a Intervalle fermé en aa et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à aa
]a ;+[]a\ ;\, +\infty[

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels intervalle non borné

x>ax > a Intervalle ouvert en aa et dont toutes les valeurs sont strictement supérieures à aa
bannière astuce

Astuce

  • On parle souvent de crochet « ouvert » ou « fermé ». Un crochet est ouvert lorsqu’il « tourne le dos » à sa borne. Il indique alors que celle-ci ne fait pas partie de l’intervalle. Pour l’intervalle [2;5[[2; 5[, la borne 55 ne fait pas partie de l’intervalle car le crochet est ouvert en 55.
  • Pour ++\infty ou -\infty, le crochet est toujours ouvert.

Réunion et intersection d’intervalles

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Définition

Réunion d’intervalles :

Soit II et JJ deux intervalles de R\mathbb R.
La réunion des intervalles II et JJ, notée IJI\cup J, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II ou à JJ.

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Exemple

Soit l’intervalle I=[5 ;1]I=[-5\ ;\, 1] et l’intervalle J=[2 ;7]J=[-2\ ;\, 7].
L’ensemble des réels qui appartiennent à IJI\cup J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à [5 ;1][-5\ ;\, -1] ou à [2 ;7][-2\ ;\, 7].

Alt seconde mathématiques ensemble des nombres réels réunion intervalles Réunion de deux intervalles (image temporaire)

IJI\cup J est ainsi l’intervalle [5 ;7][-5\ ;\, 7], c’est-à-dire l’ensemble des réels xx tels que : 5x7-5\leq x\leq 7.

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Astuce

Si JJ est un sous-ensemble de II, c’est-à-dire si tous les éléments de JJ appartiennent à II, alors : IJ=II\cup J=I.

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Attention

La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
Par exemple, [5 ;2[  ]1 ;7][-5\ ;\, -2[\ \cup\ ]1\ ;\, 7] n’est pas un intervalle : les réels compris entre 2-2 et 11 n’appartiennent pas à [5 ;2[  ]1 ;7][-5\ ;\, -2[\ \cup\ ]1\ ;\, 7] ; il y a un « trou », ce n’est donc pas un intervalle, ce dernier ne devant pas avoir de « trous ».

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Définition

Intersection d’intervalles :

Soit II et JJ deux intervalles de R\mathbb R.
L’intersection des intervalles II et JJ, notée IJI\cap J, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à II et à JJ.

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Exemple

Soit l’intervalle I=[5 ;1]I=[-5\ ;\, 1] et l’intervalle J=[2 ;7]J=[-2\ ;\, 7].
L’ensemble des réels qui appartiennent à IJI\cap J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à [5 ;1][-5\ ;\, -1] et à [2 ;7][-2\ ;\, 7].

seconde mathématiques ensemble des nombres réels intersection intervalles Intersection de deux intervalles (image temporaire)

IJI\cap J est ainsi l’intervalle [2 ;1][-2\ ;\, 1], c’est-à-dire l’ensemble des réels xx tels que : 2x1-2\leq x\leq 1.

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À retenir

L’intersection de deux ensembles peut n’avoir aucun élément et être l’ensemble vide.
Par exemple, aucun réel n’appartient à la fois à [5 ;2[[-5\ ;\, 2[ et à ]1 ;7]]1\ ;\, 7].

  • Nous avons alors :

[5 ;2[  ]1 ;7]=[-5\ ;\, 2[\ \cap\ ]1\ ;\, 7]=\varnothing

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Astuce

Si JJ est un sous-ensemble de II, c’est-à-dire si tous les éléments de JJ appartiennent à II, alors : IJ=JI\cap J=J.

Représenter la distance entre deux nombres réels

Valeur absolue d’un nombre réel

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Définition

Valeur absolue :

Soit une droite graduée d’origine OO et un point MM d’abscisse xx.
On appelle « valeur absolue de xx » sa distance à l’origine, soit la distance OMOM.

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À retenir

La valeur absolue d’un réel xx se note x\vert x\vert, et nous avons :

x={xsi x0xsi x0\vert x\vert = \begin{cases} x & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\geq 0$}} \ -x &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\leq 0$}} \end{cases}

Donnons maintenant quelques propriétés de la valeur absolue.

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Propriété

Soit xx et yy deux nombres réels.

  • Nous avons :

x0x=xx×y=x×yxy=xy [avec y0]\begin{aligned} \vert x \vert &\geq 0 \ \vert -x\vert &=\vert x\vert \ \vert x\times y\vert &=\vert x\vert \times \vert y\vert \ \left \vert \dfrac xy\right \vert&=\dfrac{\vert x\vert}{\vert y\vert} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $y\neq 0$]}}} \end{aligned}

  • Nous avons aussi les équivalences suivantes :

x=0x=0x=yx=y ou x=y\begin{aligned} \vert x \vert =0 &\Leftrightarrow x=0 \ \vert x \vert =\vert y\vert &\Leftrightarrow x=y \text{ ou } x=-y \ \end{aligned}

  • Le signe \Leftrightarrow signifie « … est équivalent à… ».
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Exemple

5=53=(3)=32,5=2,5=2,5\begin{aligned} \vert 5\vert &=5 \ \vert -3\vert &=-(-3)=3 \ \vert -2,5\vert &=\vert 2,5\vert =2,5 \end{aligned}

Distance entre deux nombres réels

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Propriété

Sur une droite graduée, soit deux points AA et BB, d’abscisses respectives aa et bb.
La distance entre les réels aa et bb, qu’on peut noter d(a ;b)\text{d}(a\ ;\, b) ou d(b ;a)\text{d}(b\ ;\, a), est égale à : ba\vert b-a\vert, ou ab\vert a-b\vert.

seconde mathématiques ensemble des nombres réels distance réels Distance entre deux réels (image temporaire)

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À retenir

Soit aa et bb deux réels. Nous avons :

ab={absi abbasi ab\vert a - b\vert =\begin{cases} a - b &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \geq b$}} \ b - a &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \leq b$}} \end{cases}

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Propriété

Soit aa un nombre réel et rr un nombre réel positif.
L’ensemble des réels xx tels que xar\vert x-a\vert \leq r est l’intervalle borné fermé :

[ar ;a+r][a-r\ ;\, a+r]

  • Cet intervalle est fermé, centré en aa et ses bornes sont ara-r et a+ra+r.

mathématiques seconde ensemble des nombres réels distance valeur absolue

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À retenir

Dire que le réel xx est tel que xar\vert x-a\vert \leq r revient à dire que : x[ar ;a+r]x\in [a-r\ ;\, a+r].

  • Autrement dit, la distance entre les réels aa et xx est inférieure ou égale à rr.

Nous allons maintenant nous servir de ce que nous avons vu pour résoudre une inéquation.

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Exemple

Nous cherchons à résoudre l’inéquation : x13\vert x-1\vert \leq 3.

  • Nous cherchons donc l’ensemble des réels xx dont la distance avec 11 est inférieure ou égale à 33.

Nous avons ici a=1a=1 et r=3r=3.

  • L’ensemble solution SS de cette inéquation est :

S=[13ar ;1+3a+r]=[2 ;4]\begin{aligned} S&=[\overbrace{1-3}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{a-r}}}\ ;\, \overbrace{1+3}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{a+r}}}] \ &=[-2\ ;\, 4] \end{aligned}

Seconde mathématiques ensemble des nombres réels distance valeur absolue inéquation

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons découvert un nouvel ensemble de nombres, celui des réels noté R\mathbb R, qui inclut tous les ensembles que nous avons vus au collège. Nous avons aussi appris de nouvelles notations, dont nous nous servirons très souvent au lycée (et plus tard).

Dans les prochains cours, nous allons approfondir les ensembles des entiers naturels et relatifs (N\mathbb N et Z\mathbb Z), des décimaux et des rationnels (D\mathbb D et Q\mathbb Q).