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Ensemble des nombres réels et intervalles
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Introduction :
Les ensembles des nombres entiers, des entiers relatifs, des décimaux et des rationnels sont connus depuis les cours de mathématiques du collège. Dans ce cours, nous allons découvrir un ensemble qui les contient tous : l’ensemble des nombres réels.
Nous allons, dans un premier temps, rappeler ces ensembles que nous connaissons et donner le vocabulaire et les notations à connaître quand on travaille sur des ensembles.
Puis nous définirons l’ensemble des nombres réels et ce que sont les intervalles, avant d’apprendre à calculer des distances entre deux nombres.
Les ensembles de nombres : rappels et notations
Les nombres entiers
Au collège, nous avons vu qu’un nombre entier naturel est un nombre entier positif, et aussi qu’un nombre entier relatif est un nombre entier, positif ou négatif.
est un nombre entier négatif, c’est donc un nombre entier relatif.
Cette dernière écriture se lit : « appartient à l’ensemble des nombres entiers relatifs ».
En revanche, n’est pas un nombre positif, donc, il n’appartient pas à l’ensemble des entiers naturels.
De la définition d’un entier relatif, nous comprenons que tout entier naturel est un entier relatif. Ainsi, tous les éléments de l’ensemble des entiers naturels appartiennent aussi à l’ensemble des entiers relatifs.
Voir aussi le cours : « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».
Les nombres décimaux et les nombres rationnels
Nous savons aussi ce que sont un nombre décimal et un nombre rationnel :
La notation signifie qu’il s’agit de l’ensemble des entiers relatifs , privé de zéro. Ainsi, dans la dernière formule, peut prendre toutes les valeurs entières, positives ou négatives, mais pas la valeur nulle.
De manière générale, si on veut « priver » un ensemble de l’élément nul, on le note avec un astérisque.
Nous l’avons vu, tout entier naturel est un entier relatif. C’est aussi un nombre décimal (par exemple : ). Et c’est également un nombre rationnel (par exemple : ).
Tous les nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction et ne sont donc pas des rationnels. Par exemple : ou .
Voir aussi le cours : « Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels », qui démontre notamment que n’est pas un nombre décimal et que n’est pas un nombre rationnel.
Les nombres réels
Ensemble des nombres réels
Ensemble des nombres réels :
Considérons une droite graduée.
Les nombres réels sont les abscisses des points de la droite.
, , et sont des nombres réels. et sont aussi des réels.
Droite des réels (image temporaire)
L’ensemble des nombres rationnels est inclus dans l’ensemble des nombres réels.
Ensemble des nombres réels
Revenons sur , qui est un nombre irrationnel.
Nous avons donc : et . appartient donc à l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble des nombres rationnels.
Les intervalles de
Intervalle de :
Soit et deux nombres réels tels que .
Soit et deux nombres réels.
L’ensemble des réels tels que est donc l’intervalle borné .
Nous pouvons représenter cet intervalle sur la droite des réels :
Et nous avons, par exemple :
L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter .
Les intervalles se notent de différentes façons selon les caractéristiques de leurs deux bornes. Il existe des intervalles :
On considère deux réels et tels que .
Notation | Représentation sur la droite des réels | Ensemble des réels tels que : | Signification |
Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle | |||
|
Intervalle semi-ouvert : ouvert en et fermé en . Des deux bornes, seul appartient à l’intervalle | ||
|
Intervalle semi-ouvert : ouvert en et fermé en . Des deux bornes, seul appartient à l’intervalle | ||
|
Intervalle ouvert : et n’appartiennent pas à l’intervalle | ||
|
Intervalle fermé en et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à | ||
|
Intervalle ouvert en et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à | ||
|
Intervalle fermé en et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à | ||
|
Intervalle ouvert en et dont toutes les valeurs sont strictement supérieures à |
Réunion et intersection d’intervalles
Réunion d’intervalles :
Soit et deux intervalles de .
La réunion des intervalles et , notée , est l’ensemble des éléments qui appartiennent à ou à .
Soit l’intervalle et l’intervalle .
L’ensemble des réels qui appartiennent à est l’ensemble des éléments qui appartiennent à ou à .
Réunion de deux intervalles (image temporaire)
est ainsi l’intervalle , c’est-à-dire l’ensemble des réels tels que : .
Si est un sous-ensemble de , c’est-à-dire si tous les éléments de appartiennent à , alors : .
La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
Par exemple, n’est pas un intervalle : les réels compris entre et n’appartiennent pas à ; il y a un « trou », ce n’est donc pas un intervalle, ce dernier ne devant pas avoir de « trous ».
Intersection d’intervalles :
Soit et deux intervalles de .
L’intersection des intervalles et , notée , est l’ensemble des éléments qui appartiennent à et à .
Soit l’intervalle et l’intervalle .
L’ensemble des réels qui appartiennent à est l’ensemble des éléments qui appartiennent à et à .
Intersection de deux intervalles (image temporaire)
est ainsi l’intervalle , c’est-à-dire l’ensemble des réels tels que : .
L’intersection de deux ensembles peut n’avoir aucun élément et être l’ensemble vide.
Par exemple, aucun réel n’appartient à la fois à et à .
Si est un sous-ensemble de , c’est-à-dire si tous les éléments de appartiennent à , alors : .
Représenter la distance entre deux nombres réels
Valeur absolue d’un nombre réel
Valeur absolue :
Soit une droite graduée d’origine et un point d’abscisse .
On appelle « valeur absolue de » sa distance à l’origine, soit la distance .
La valeur absolue d’un réel se note , et nous avons :
Donnons maintenant quelques propriétés de la valeur absolue.
Soit et deux nombres réels.
Distance entre deux nombres réels
Sur une droite graduée, soit deux points et , d’abscisses respectives et .
La distance entre les réels et , qu’on peut noter ou , est égale à : , ou .
Distance entre deux réels (image temporaire)
Soit et deux réels. Nous avons :
Soit un nombre réel et un nombre réel positif.
L’ensemble des réels tels que est l’intervalle borné fermé :
Dire que le réel est tel que revient à dire que : .
Nous allons maintenant nous servir de ce que nous avons vu pour résoudre une inéquation.
Nous cherchons à résoudre l’inéquation : .
Nous avons ici et .
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons découvert un nouvel ensemble de nombres, celui des réels noté , qui inclut tous les ensembles que nous avons vus au collège. Nous avons aussi appris de nouvelles notations, dont nous nous servirons très souvent au lycée (et plus tard).
Dans les prochains cours, nous allons approfondir les ensembles des entiers naturels et relatifs ( et ), des décimaux et des rationnels ( et ).