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Introduction :
Les ensembles des nombres entiers, des entiers relatifs, des décimaux et des rationnels sont connus depuis les cours de mathématiques du collège. Dans ce chapitre nous allons découvrir un ensemble qui les englobe tous : l’ensemble des nombres réels.
Nous allons voir dans un premier temps la représentation de cet ensemble sur une droite, puis sous forme d’intervalles et enfin l’utilisation de ces deux représentations pour calculer la distance entre deux réels.
L’ensemble des nombres réels, la droite numérique
L’ensemble des nombres réels
Nombres réels :
L’ensemble des nombres réels est noté ℝ. C’est l’ensemble des nombres qui comportent une partie entière et une partie décimale finie ou infinie.
Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a :
Pour indiquer que l’on utilise un ensemble en lui retirant le nombre , on le note avec un astérisque. Par exemple, pour dire que est un nombre relatif non nul, on écrit : *.
Ensemble des nombres réels
Représentation graphique de
La droite numérique, ou droite des réels, se représente par une droite graduée. Chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée. Réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel, appelé abscisse de ce point.
Représentation graphique de
Les intervalles de
Intervalle de :
Un intervalle de est un ensemble de nombres réels délimité par deux nombres réels : une borne inférieure et une borne supérieure.
L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter .
Le symbole « » se lit « plus l’infini » et le symbole « » se lit « moins l’infini ».
Notation
L’ensemble de tous les nombres réels tels que peut se représenter sur la droite des réels comme ci-dessous :
Cet ensemble est appelé intervalle et est noté .
L’ensemble de tous les nombres réels tels que se note et on peut affirmer que :
Les différents types d’intervalles
Les intervalles se notent de différentes façons selon les caractéristiques de leurs deux bornes. Il existe des intervalles ouverts (les bornes sont exclues de l’intervalle), semi-ouverts (l’une des bornes est comprise dans l’intervalle) et fermés (les deux bornes sont comprises dans l’intervalle). Le tableau suivant résume les différentes possibilités.
Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit borné. Parfois, une borne est « plus l’infini » ou « moins l’infini » : on parle d’intervalles non-bornés.
On considère deux réels et tels que :
Notation | Représentation sur la droite des réels | Ensemble des tels que : | Signification |
Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle. | |||
|
Intervalle semi-ouvert : ouvert en et fermé en . Seul appartient à l’intervalle. | ||
|
Intervalle semi-ouvert : ouvert en et fermé en . Seul appartient à l’intervalle. | ||
|
Intervalle ouvert : et n’appartiennent pas à l’intervalle. | ||
|
Intervalle fermé en et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à . | ||
|
Intervalle ouvert en et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à . | ||
|
Intervalle fermé en et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à . | ||
|
Intervalle ouvert en et dont toutes les valeurs sont supérieures strictement à . |
Représenter la distance entre deux nombres réels
Valeur absolue :
Soit une droite graduée d’origine et un point d’abscisse . On appelle « valeur absolue de » sa distance à l’origine, soit la distance .
La valeur absolue d’un nombre
La valeur absolue d’un nombre se note .
si ou si .
Distance entre deux nombres réels
Soit et deux réels. On note la distance entre et . On a :
Comment calculer dans le cas général ?
Soit et deux réels :
car pour aller du point d’abscisse au point d’abscisse on parcourt une distance de unités.
car pour aller du point d’abscisse au point abscisse on parcourt unité.
Distance entre 2 réels
D’après les deux exemples précédents, il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des nombres réels ou des variables comme par exemple.
Distance et valeur absolue
Distance :
Pour tous nombres réels et on a .
si .
si .
Pour tout nombre réel on a :
Application
La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des inéquations de type ou encore .
Soit un réel quelconque et un réel positif ou nul. L’intervalle a pour représentation :
Cet intervalle est fermé, centré en et ses bornes sont et . De plus, chaque point de cet intervalle est à une distance inférieure ou égale à du point d’abscisse . On peut donc écrire, pour tout point d’abscisse de l’intervalle , ou encore .
Résoudre ou encore a une seule solution : .
Conclusion :
L’ensemble des nombres réels ℝ est maintenant le plus grand ensemble des nombres que vous connaissez. Sa représentation se réalise à l’aide d’un axe gradué allant de « - infini » à « + infini », où tout nombre trouve sa place et où des parties de cet axe s’appellent des intervalles. La valeur absolue permet de calculer la distance séparant les bornes d’un intervalle ou de résoudre des inéquations.