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Les nombres réels

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Introduction :

Les ensembles des nombres entiers, des entiers relatifs, des décimaux et des rationnels sont connus depuis les cours de mathématiques du collège. Dans ce chapitre nous allons découvrir un ensemble qui les englobe tous : l’ensemble des nombres réels.

Nous allons voir dans un premier temps la représentation de cet ensemble sur une droite, puis sous forme d’intervalles et enfin l’utilisation de ces deux représentations pour calculer la distance entre deux réels.

L’ensemble des nombres réels, la droite numérique

L’ensemble des nombres réels

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Définition

Nombres réels :

L’ensemble des nombres réels est noté ℝ. C’est l’ensemble des nombres qui comportent une partie entière et une partie décimale finie ou infinie.

bannière à retenir

À retenir

Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a :

  • les nombres entiers naturels N\mathbb{N} ;
  • les nombres entiers relatifs Z\mathbb{Z} ;
  • les nombres décimaux D\mathbb{D} ;
  • les nombres rationnels Q\mathbb{Q} ;
  • enfin, les nombres réels R\mathbb{R}.
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Exemple

  • 1717 est un nombre réel et un entier naturel : il est positif et n’a pas de partie décimale.
  • 15-15 est un nombre réel et un entier relatif : il est négatif et n’a pas de partie décimale.
  • 8,2548,254 est un nombre réel et décimal : il comporte une partie décimale limitée.
  • 2/72/7 est un nombre réel et rationnel : il comporte une partie décimale périodique.
  • 2\sqrt{2} est seulement un nombre réel : il comporte une partie décimale illimitée.
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Astuce

Pour indiquer que l’on utilise un ensemble en lui retirant le nombre 00, on le note avec un astérisque. Par exemple, pour dire que aa est un nombre relatif non nul, on écrit : aZa\in\mathbb{Z}*.

Ensemble des nombres réels Ensemble des nombres réels

Représentation graphique de R\mathbb{R}

La droite numérique, ou droite des réels, se représente par une droite graduée. Chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée. Réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel, appelé abscisse de ce point.

Alt texte Représentation graphique de R\mathbb{R}

Les intervalles de R\mathbb{R}

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Définition

Intervalle de R\mathbb{R} :

Un intervalle de R\mathbb{R} est un ensemble de nombres réels délimité par deux nombres réels : une borne inférieure et une borne supérieure.

bannière à retenir

À retenir

L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter ];+[]-\infty\,;+\infty[.
Le symbole « ++\infty » se lit « plus l’infini » et le symbole « -\infty » se lit « moins l’infini ».

Notation

L’ensemble de tous les nombres réels xx tels que 2x3-2\leq x\leq3 peut se représenter sur la droite des réels comme ci-dessous :

Alt texte

Cet ensemble est appelé intervalle et est noté [2;3][-2;3].

bannière exemple

Exemple

L’ensemble de tous les nombres réels xx tels que 1x81\leq x\leq8 se note [1;8][1;8] et on peut affirmer que :

  • 4[1;8]4\in[1;8]
  • 0∉[1;8]0\not\in[1;8]
  • 8[1;8]8\in[1;8]

Les différents types d’intervalles

Les intervalles se notent de différentes façons selon les caractéristiques de leurs deux bornes. Il existe des intervalles ouverts (les bornes sont exclues de l’intervalle), semi-ouverts (l’une des bornes est comprise dans l’intervalle) et fermés (les deux bornes sont comprises dans l’intervalle). Le tableau suivant résume les différentes possibilités.

Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit borné. Parfois, une borne est « plus l’infini » ou « moins l’infini » : on parle d’intervalles non-bornés.

On considère deux réels aa et bb tels que aba\leq b :

Notation Représentation sur la droite des réels Ensemble des xx tels que : Signification
[a;b][a;b]

Alt texte

axba\leq x\leq b Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle.
]a;b]]a;b]

Alt texte

a<xba< x\leq b Intervalle semi-ouvert : ouvert en aa et fermé en bb. Seul bb appartient à l’intervalle.
[a;b[[a;b[

Alt texte

ax<ba\leq x < b Intervalle semi-ouvert : ouvert en bb et fermé en aa. Seul aa appartient à l’intervalle.
]a;b[]a;b[

Alt texte

a<x<ba < x < b Intervalle ouvert : aa et bb n’appartiennent pas à l’intervalle.
];b]]-\infty;b]

Alt texte

xbx\leq b Intervalle fermé en bb et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à bb.
];b[]-\infty;b[

Alt texte

x<bx < b Intervalle ouvert en bb et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à bb.
[a;+[[a;+\infty[

Alt texte

axa\leq x Intervalle fermé en aa et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à aa.
]a;+[]a;+\infty[

Alt texte

a<xa < x Intervalle ouvert en aa et dont toutes les valeurs sont supérieures strictement à aa.
bannière astuce

Astuce

  • On parle souvent de crochet « ouvert » ou « fermé ». Un crochet est ouvert lorsqu’il « tourne le dos » à sa borne. Il indique alors que celle-ci ne fait pas partie de l’intervalle. Pour l’intervalle [2;5[[2; 5[, la borne 55 ne fait pas partie de l’intervalle car le crochet est ouvert en 55.
  • Pour les infinis ++\infty ou -\infty, le crochet est toujours ouvert.

Représenter la distance entre deux nombres réels

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Définition

Valeur absolue :

Soit une droite graduée d’origine OO et un point MM d’abscisse xx. On appelle « valeur absolue de xx » sa distance à l’origine, soit la distance OMOM.

La valeur absolue d’un nombre

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Propriété

La valeur absolue d’un nombre aa se note a|a|.
a=a|a|=a si a0a\geq 0 ou a=a|a|=-a si a0a\leq 0.

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Exemple

  • 5=5|5|=5 car 5>05>0
  • 3=(3)=3|-3|=-(-3)=3 car 3<0-3<0
  • 2,5=2,5=2,5|-2,5|=|2,5|=2,5

Distance entre deux nombres réels

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Propriété

Soit aa et bb deux réels. On note d(a;b)d(a; b) la distance entre aa et bb. On a :

  • dd est positif ou nul ;
  • d(a;b)=d(b;a)d(a; b) = d(b; a).
bannière à retenir

À retenir

Comment calculer d(a;b)d(a; b) dans le cas général ?
Soit aa et bb deux réels :

  • Si aba\geq b, alors d(a;b)=abd(a; b) = a-b,
  • Si bab\geq a, alors d(a;b)=bad(a; b) = b-a,
bannière exemple

Exemple

d(1;2)=2(1)=3d(-1; 2) = 2-(-1) = 3 car pour aller du point d’abscisse 1-1 au point d’abscisse 22 on parcourt une distance de 33 unités.
d(0,25;0,75)=0,750,25=0,5d(0,25; 0,75) = 0,75-0,25 = 0,5 car pour aller du point d’abscisse 0,250,25 au point abscisse 0,750,75 on parcourt 0,50,5 unité.

Distance entre 2 réels Distance entre 2 réels

D’après les deux exemples précédents, il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des nombres réels ou des variables comme xx par exemple.

Distance et valeur absolue

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Définition

Distance :

Pour tous nombres réels aa et bb on a d(a;b)=ab=bad(a; b) = |a-b| = |b-a|.

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À retenir

ab=ab|a-b|=a-b si a>ba>b.
ab=ba|a-b|=b-a si a<ba.

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Exemple

Pour tout nombre réel xx on a :

  • d(x;3)=x3d(x; 3)=|x-3|
  • d(1;x)=1x=1+xd(-1; x)=|-1-x|=|1+x|
  • d(5;3)=53=8=8d(-5; 3)=|-5-3|=|-8|=8
  • d(π;3)=π3π3d(\pi;3)=|\pi-3|\pi-3 car π>3\pi>3
  • d(2;2)=22=22d(\sqrt{2}; 2)=|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2} car 2<2\sqrt{2}<2

Application

La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des inéquations de type d(x;a)rd(x; a)\leq r ou encore xar|x-a|\leq r.

Soit aa un réel quelconque et rr un réel positif ou nul. L’intervalle [ar;a+r][a-r; a+r] a pour représentation :

Alt texte

Cet intervalle est fermé, centré en aa et ses bornes sont ara-r et a+ra+r. De plus, chaque point de cet intervalle est à une distance inférieure ou égale à rr du point d’abscisse aa. On peut donc écrire, pour tout point d’abscisse xx de l’intervalle [ar;a+r][a-r; a+r], d(x;a)rd(x; a)\leq r ou encore xar|x-a|\leq r.

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Exemple

  • Résoudre d(x;1)3d(x; 1)\leq 3 permet de trouver tous les points distants au maximum de 33 unités du point d’abscisse 11. C’est donc l’intervalle [13;1+3]=[2;4][1-3; 1+3] = [-2; 4].

Alt texte

  • Résoudre d(x;2)πd(x; -2)\leq\pi permet de trouver tous les points distants au maximum de π\pi unités du point d’abscisse 2-2. C’est donc l’intervalle [2π;2+π][-2-\pi; -2+\pi].
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Astuce

Résoudre d(x;a)0d(x; a)\leq 0 ou encore xa0|x-a|\leq 0 a une seule solution : x=ax=a.

Conclusion :

L’ensemble des nombres réels ℝ est maintenant le plus grand ensemble des nombres que vous connaissez. Sa représentation se réalise à l’aide d’un axe gradué allant de « - infini » à « + infini », où tout nombre trouve sa place et où des parties de cet axe s’appellent des intervalles. La valeur absolue permet de calculer la distance séparant les bornes d’un intervalle ou de résoudre des inéquations.