Cours : Ensemble des nombres réels et intervalles

Les ensembles de nombres : rappels et notations

Les nombres entiers

Au collège, nous avons vu qu’un nombre entier naturel est un nombre entier positif, et aussi qu’un nombre entier relatif est un nombre entier, positif ou négatif.

À retenir

• L’ensemble des nombres entiers naturels est noté : $\mathbb N$.
• L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté : $\mathbb Z$.

$-4$ est un nombre entier négatif, c’est donc un nombre entier relatif.

• On note : $-4 \in \mathbb Z$.

Cette dernière écriture se lit : « $-4$ appartient à l’ensemble des nombres entiers relatifs ».

En revanche, $-4$ n’est pas un nombre positif, donc, il n’appartient pas à l’ensemble des entiers naturels.

• On note : $-4\notin \mathbb N$.

De la définition d’un entier relatif, nous comprenons que tout entier naturel est un entier relatif. Ainsi, tous les éléments de l’ensemble des entiers naturels appartiennent aussi à l’ensemble des entiers relatifs.

• On dit que l’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs, ou que l’ensemble des entiers naturels est un sous-ensemble de l’ensemble des entiers relatifs.
• Et on note : $\mathbb N \subset \mathbb Z$.

Voir aussi le cours : « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».

Les nombres décimaux et les nombres rationnels

Nous savons aussi ce que sont un nombre décimal et un nombre rationnel :

• un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale :

$$\dfrac a{10^n}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $n\in \mathbb N$]}}}$$

• un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction :

$$\dfrac ab \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $b\in \mathbb Z^*$]}}}$$

À retenir

La notation $\mathbb Z^*$ signifie qu’il s’agit de l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$, privé de zéro. Ainsi, dans la dernière formule, $b$ peut prendre toutes les valeurs entières, positives ou négatives, mais pas la valeur nulle.

• On peut aussi l’écrire sous la forme : $\mathbb Z \smallsetminus \lbrace 0 \rbrace$.

De manière générale, si on veut « priver » un ensemble de l’élément nul, on le note avec un astérisque.

• $\mathbb N^*$ est par exemple l’ensemble des entiers naturels non nuls, soit les entiers strictement positifs.

À retenir

• L’ensemble des nombres décimaux est noté : $\mathbb D$.
• L’ensemble des nombres rationnels est noté : $\mathbb Q$.

Nous l’avons vu, tout entier naturel est un entier relatif. C’est aussi un nombre décimal (par exemple : $2=\frac 2{10^0}$). Et c’est également un nombre rationnel (par exemple : $2=\frac 21=\frac 42…$).

• Nous avons donc :

$$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q$$

Tous les nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction et ne sont donc pas des rationnels. Par exemple : $\pi$ ou $\sqrt{2}$.

• On dit que ce sont des nombres irrationnels :

$$\begin{aligned} \pi &\notin \mathbb Q \\ \sqrt{2} &\notin \mathbb Q \end{aligned}$$

Voir aussi le cours : « Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels », qui démontre notamment que $\frac 13$ n’est pas un nombre décimal et que $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel.

Les nombres réels

Ensemble des nombres réels

Définition

Ensemble des nombres réels :

Considérons une droite graduée.
Les nombres réels sont les abscisses des points de la droite.

• L’ensemble des nombres réels est noté : $\mathbb R$.

Exemple

$5$, $-2$, $-\frac {37}{10}$ et $\frac 13$ sont des nombres réels. $\pi$ et $\sqrt{2}$ sont aussi des réels.

Droite des réels (image temporaire)

À retenir

L’ensemble des nombres rationnels est inclus dans l’ensemble des nombres réels.

• Nous avons finalement les inclusions suivantes :

$$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$$

Revenons sur $\sqrt{2}$, qui est un nombre irrationnel.
Nous avons donc : $\sqrt{2}\in \mathbb R$ et $\sqrt 2 \notin \mathbb Q$. $\sqrt{2}$ appartient donc à l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble des nombres rationnels.

• On peut noter : $\sqrt{2}\in \mathbb R\smallsetminus \mathbb Q$.

Les intervalles de $\mathbb{R}$

Définition

Intervalle de $\mathbb{R}$ :

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\leq b$.

• L’intervalle $[a\ ;\, b]$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $a\leq x \leq b$.
• L’intervalle $]-\infty\ ;\, b]$ (où le signe « $\infty$ » représente l’infini) est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x\leq b$.
• L’intervalle $[a\ ;\, +\infty[$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x\geq a$.

À retenir

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels.

• Soit l’intervalle $I_1=[a\ ;\, b]$.
• $a$ est appelé borne inférieure de l’intervalle $I_1$.
• $b$ est appelé borne supérieure de l’intervalle $I_1$.
• On dit que $I_1$ est un intervalle borné.
• Soit l’intervalle $I_2=]-\infty\ ;\, b]$ et l’intervalle $I_3=[a\ ;\, +\infty[$.
• On dit que $I_2$ et $I_3$ sont des intervalles non bornés.

Exemple

L’ensemble des réels $x$ tels que $-2 \leq x \leq 3$ est donc l’intervalle borné $[-2\ ;\, 3]$.

• $-2$ est la borne inférieure ;
• $3$ est la borne supérieure.

Nous pouvons représenter cet intervalle sur la droite des réels :

Et nous avons, par exemple :

• $-3 \notin [-2\ ;\, 3]$ ;
• $-1 \in [-2\ ;\, 3]$ ;
• $0 \in [-2\ ;\, 3]$ ;
• $\sqrt{2}\approx 1,41 \in [-2\ ;\, 3]$
• $2 \in [-2\ ;\, 3]$ ;
• $\pi\approx 3,14 \notin [-2\ ;\, 3]$.

Astuce

L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter $]-\infty\,;+\infty[$.

Les intervalles se notent de différentes façons selon les caractéristiques de leurs deux bornes. Il existe des intervalles :

• ouverts : les bornes sont exclues de l’intervalle,
• semi-ouverts : une seule borne appartient à l’intervalle,
• fermés : les deux bornes appartiennent à l’intervalle.
• Le tableau suivant résume les différentes possibilités.

À retenir

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a\leq b$.

Notation	Représentation sur la droite des réels	Ensemble des réels $x$ tels que :	Signification
$[a\ ;\, b]$		$a\leq x\leq b$	Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle
$]a\ ;\, b]$		$a< x\leq b$	Intervalle semi-ouvert : ouvert en $a$ et fermé en $b$. Des deux bornes, seul $b$ appartient à l’intervalle
$[a\ ;\, b[$		$a\leq x < b$	Intervalle semi-ouvert : ouvert en $b$ et fermé en $a$. Des deux bornes, seul $a$ appartient à l’intervalle
$]a\ ;\, b[$		$a < x < b$	Intervalle ouvert : $a$ et $b$ n’appartiennent pas à l’intervalle
$]-\infty\ ;\, b]$		$x\leq b$	Intervalle fermé en $b$ et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à $b$
$]-\infty\ ;\, b[$		$x < b$	Intervalle ouvert en $b$ et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à $b$
$[a\ ;\, +\infty[$		$x \geq a$	Intervalle fermé en $a$ et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à $a$
$]a\ ;\, +\infty[$		$x > a$	Intervalle ouvert en $a$ et dont toutes les valeurs sont strictement supérieures à $a$

Astuce

• On parle souvent de crochet « ouvert » ou « fermé ». Un crochet est ouvert lorsqu’il « tourne le dos » à sa borne. Il indique alors que celle-ci ne fait pas partie de l’intervalle. Pour l’intervalle $[2; 5[$, la borne $5$ ne fait pas partie de l’intervalle car le crochet est ouvert en $5$.
• Pour $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert.

Réunion et intersection d’intervalles

Définition

Réunion d’intervalles :

Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb R$.
La réunion des intervalles $I$ et $J$, notée $I\cup J$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ ou à $J$.

Exemple

Soit l’intervalle $I=[-5\ ;\, 1]$ et l’intervalle $J=[-2\ ;\, 7]$.
L’ensemble des réels qui appartiennent à $I\cup J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $[-5\ ;\, 1]$ ou à $[-2\ ;\, 7]$.

Réunion de deux intervalles (image temporaire)

$I\cup J$ est ainsi l’intervalle $[-5\ ;\, 7]$, c’est-à-dire l’ensemble des réels $x$ tels que : $-5\leq x\leq 7$.

Astuce

Si $J$ est un sous-ensemble de $I$, c’est-à-dire si tous les éléments de $J$ appartiennent à $I$, alors : $I\cup J=I$.

Attention

La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
Par exemple, $[-5\ ;\, -2[\ \cup\ ]1\ ;\, 7]$ n’est pas un intervalle : les réels compris entre $-2$ et $1$ n’appartiennent pas à $[-5\ ;\, -2[\ \cup\ ]1\ ;\, 7]$ ; il y a un « trou », ce n’est donc pas un intervalle, ce dernier ne devant pas avoir de « trous ».

Définition

Intersection d’intervalles :

Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb R$.
L’intersection des intervalles $I$ et $J$, notée $I\cap J$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ et à $J$.

Exemple

Soit l’intervalle $I=[-5\ ;\, 1]$ et l’intervalle $J=[-2\ ;\, 7]$.
L’ensemble des réels qui appartiennent à $I\cap J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $[-5\ ;\, 1]$ et à $[-2\ ;\, 7]$.

Intersection de deux intervalles (image temporaire)

$I\cap J$ est ainsi l’intervalle $[-2\ ;\, 1]$, c’est-à-dire l’ensemble des réels $x$ tels que : $-2\leq x\leq 1$.

À retenir

L’intersection de deux ensembles peut n’avoir aucun élément et être l’ensemble vide.
Par exemple, aucun réel n’appartient à la fois à $[-5\ ;\, -2[$ et à $]1\ ;\, 7]$.

• Nous avons alors :

$$[-5\ ;\, -2[\ \cap\ ]1\ ;\, 7]=\varnothing$$

Astuce

Si $J$ est un sous-ensemble de $I$, c’est-à-dire si tous les éléments de $J$ appartiennent à $I$, alors : $I\cap J=J$.

Représenter la distance entre deux nombres réels

Valeur absolue d’un nombre réel

Définition

Valeur absolue :

Soit une droite graduée d’origine $O$ et un point $M$ d’abscisse $x$.
On appelle « valeur absolue de $x$ » sa distance à l’origine, soit la distance $OM$.

À retenir

La valeur absolue d’un réel $x$ se note $\vert x\vert$, et nous avons :

$$\vert x\vert = \begin{cases} x & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\geq 0$}} \\ -x &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\leq 0$}} \end{cases}$$

Donnons maintenant quelques propriétés de la valeur absolue.

Propriété

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels.

• Nous avons :

$$\begin{aligned} \vert x \vert &\geq 0 \\ \vert -x\vert &=\vert x\vert \\ \vert x\times y\vert &=\vert x\vert \times \vert y\vert \\ \left \vert \dfrac xy\right \vert&=\dfrac{\vert x\vert}{\vert y\vert} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $y\neq 0$]}}} \end{aligned}$$

• Nous avons aussi les équivalences suivantes :

$$\begin{aligned} \vert x \vert =0 &\Leftrightarrow x=0 \\ \vert x \vert =\vert y\vert &\Leftrightarrow x=y \text{ ou } x=-y \\ \end{aligned}$$

• Le signe $\Leftrightarrow$ signifie « … est équivalent à… ».

Exemple

$\begin{aligned} \vert 5\vert &=5 \\ \vert -3\vert &=-(-3)=3 \\ \vert -2,5\vert &=\vert 2,5\vert =2,5 \end{aligned}$

Distance entre deux nombres réels

Propriété

Sur une droite graduée, soit deux points $A$ et $B$, d’abscisses respectives $a$ et $b$.
La distance entre les réels $a$ et $b$, qu’on peut noter $\text{d}(a\ ;\, b)$ ou $\text{d}(b\ ;\, a)$, est égale à : $\vert b-a\vert$, ou $\vert a-b\vert$.

À retenir

Soit $a$ et $b$ deux réels. Nous avons :

$$\vert a - b\vert =\begin{cases} a - b &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \geq b$}} \\ b - a &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \leq b$}} \end{cases}$$

Propriété

Soit $a$ un nombre réel et $r$ un nombre réel positif.
L’ensemble des réels $x$ tels que $\vert x-a\vert \leq r$ est l’intervalle borné fermé :

$$[a-r\ ;\, a+r]$$

• Cet intervalle est fermé, centré en $a$ et ses bornes sont $a-r$ et $a+r$.

À retenir

Dire que le réel $x$ est tel que $\vert x-a\vert \leq r$ revient à dire que : $x\in [a-r\ ;\, a+r]$.

• Autrement dit, la distance entre les réels $a$ et $x$ est inférieure ou égale à $r$.

Nous allons maintenant nous servir de ce que nous avons vu pour résoudre une inéquation.

Exemple

Nous cherchons à résoudre l’inéquation : $\vert x-1\vert \leq 3$.

• Nous cherchons donc l’ensemble des réels $x$ dont la distance avec $1$ est inférieure ou égale à $3$.

Nous avons ici $a=1$ et $r=3$.

• L’ensemble solution $S$ de cette inéquation est :

$$\begin{aligned} S&=[\overbrace{1-3}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{a-r}}}\ ;\, \overbrace{1+3}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{a+r}}}] \\ &=[-2\ ;\, 4] \end{aligned}$$