Cours Ensemble des nombres réels et intervalles
Introduction :
Les ensembles des nombres entiers, des entiers relatifs, des décimaux et des rationnels sont connus depuis les cours de mathématiques du collège. Dans ce cours, nous allons découvrir un ensemble qui les contient tous : l’ensemble des nombres réels.
Dans un premier temps, nous définirons l’ensemble des nombres réels. Puis nous aborderons ce que sont les intervalles, avant d’apprendre à calculer des distances entre deux nombres.
Les nombres réels
Les nombres réels
Ensemble des nombres réels
Ensemble des nombres réels
Définition
Ensemble des nombres réels :
Considérons une droite graduée.
Les nombres réels sont les abscisses des points de la droite.
- L’ensemble des nombres réels est noté : $\mathbb R$.
Définition
Infini :
On appelle « plus l’infini », et l’on note $+\infty$, une quantité positive qui croît sans limite. On appelle « moins l’infini », et l’on note $-\infty$, une quantité positive qui décroît sans limite.
- $+\infty$ représente l’infini vers les grands nombres positifs, situés à l’extrémité droite de la droite graduée.
- $-\infty$ représente l’infini vers les grands nombres négatifs, situés à l’extrémité gauche de la droite graduée.
Exemple
$5$, $-2$, $-\frac {37}{10}$ et $\frac 13$ sont des nombres réels. $\pi$ et $\sqrt{2}$ sont aussi des réels.
Comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les nombres réels sont rangés par ordre croissant lorsqu’on parcourt la droite graduée de $-\infty$ à $+\infty$, c’est-à-dire de gauche à droite.
Droite graduée des nombres réels
À retenir
L’ensemble des nombres rationnels est inclus dans l’ensemble des nombres réels.
- Nous avons finalement les inclusions suivantes :
$$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$$
Ensemble des nombres réels
Revenons sur $\sqrt{2}$, qui est un nombre irrationnel.
Nous avons donc : $\sqrt{2}\in \mathbb R$ et $\sqrt 2 \notin \mathbb Q$. $\sqrt{2}$ appartient donc à l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble des nombres rationnels.
- On peut noter : $\sqrt{2}\in \mathbb R\smallsetminus \mathbb Q$.
Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près
Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près
Définition
Encadrement décimal :
Encadrer un réel $x$ revient à trouver deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que :
$$a < x <b$$
À retenir
$b-a$ est appelé amplitude de l’encadrement.
Les calculatrices donnent des valeurs approchées des nombres réels : ainsi, la calculatrice affiche $1,732050808$ pour $\sqrt 3$, que l’on peut traduire par différents encadrements :
- $1 < \sqrt 3 < 2$ : amplitude de $1$, soit $10^0$ ;
- $1,7 < \sqrt 3 < 1,8$ : amplitude de $0,1$, soit $10^{-1}$ ;
- $1,73 < \sqrt 3 < 1,74$ : amplitude de $0,01$, soit $10^{-2}$ ;
- $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$ : amplitude de $0,001$, soit $10^{-3}$ ;
- $1,7320 < \sqrt 3 < 1,7321$ : amplitude de $0,0001$, soit $10^{-4}$ ;
- et ainsi de suite.
Définition
Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près :
Encadrer un réel $x$ à $10^{-n}$ près, où $n$ est un entier naturel, revient à trouver deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que :
$$a < x < b \quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{et}}\quad b-a=10^{-n}$$
Exemple
- Le nombre $\pi$ a pour encadrement à $10^{-4}$ près :
$$3,1415 < \pi < 3,1416$$
- $\frac{2}{3}$ a pour encadrement à $10^{-2}$ près :
$$0,66 < \dfrac{2}{3} < 0,67$$
- On peut prendre pour valeur approchée de $\sqrt 2$ une valeur comprise entre $1,41$ et $1,42$, ce qui correspond à un encadrement à $10^{-2}$ près.
Les intervalles
Les intervalles
Les intervalles de $\mathbb{R}$
Les intervalles de $\mathbb{R}$
Définition
Intervalle de $\mathbb{R}$ :
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\leq b$.
- L’intervalle $[a\ ;\, b]$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $a\leq x \leq b$.
- L’intervalle $]-\infty\ ;\, b]$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x\leq b$.
- L’intervalle $[a\ ;\, +\infty[$ est l’ensemble des nombres réels $x$ tels que : $x\geq a$.
À retenir
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels.
- Soit l’intervalle $I_1=[a\ ;\, b]$.
- $a$ est appelé borne inférieure de l’intervalle $I_1$.
- $b$ est appelé borne supérieure de l’intervalle $I_2$.
- On dit que $I_1$ est un intervalle borné.
- Soit l’intervalle $I_2=]-\infty\ ;\, b]$ et l’intervalle $I_3=[a\ ;\, +\infty[$.
- On dit que $I_2$ et $I_3$ sont des intervalles non bornés.
Exemple
L’ensemble des réels $x$ tels que $-2 \leq x \leq 3$ est donc l’intervalle borné $[-2\ ;\, 3]$.
- $-2$ est la borne inférieure ;
- $3$ est la borne supérieure.
Nous pouvons représenter cet intervalle sur la droite des réels :
Et nous avons, par exemple :
- $-3 \notin [-2\ ;\, 3]$ ;
- $-1 \in [-2\ ;\, 3]$ ;
- $0 \in [-2\ ;\, 3]$ ;
- $\sqrt{2}\approx 1,41 \in [-2\ ;\, 3]$
- $2 \in [-2\ ;\, 3]$ ;
- $\pi\approx 3,14 \notin [-2\ ;\, 3]$.
Astuce
L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter $]-\infty\,;+\infty[$.
Les intervalles se notent de différentes façons selon les caractéristiques de leurs deux bornes. Il existe des intervalles :
- ouverts : les bornes sont exclues de l’intervalle,
- semi-ouverts : une seule borne appartient à l’intervalle,
- fermés : les deux bornes appartiennent à l’intervalle.
- Le tableau suivant résume les différentes possibilités.
À retenir
On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a\leq b$.
Notation |
Représentation sur la droite des réels |
Ensemble des réels $x$ tels que : |
Signification |
$[a\ ;\, b]$ |
|
$a\leq x\leq b$ |
Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle |
$]a\ ;\, b]$ |
|
$a< x\leq b$ |
Intervalle semi-ouvert : ouvert en $a$ et fermé en $b$. Des deux bornes, seul $b$ appartient à l’intervalle |
$[a\ ;\, b[$ |
|
$a\leq x < b$ |
Intervalle semi-ouvert : ouvert en $b$ et fermé en $a$. Des deux bornes, seul $a$ appartient à l’intervalle |
$]a\ ;\, b[$ |
|
$a < x < b$ |
Intervalle ouvert : $a$ et $b$ n’appartiennent pas à l’intervalle |
$]-\infty\ ;\, b]$ |
|
$x\leq b$ |
Intervalle fermé en $b$ et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à $b$ |
$]-\infty\ ;\, b[$ |
|
$x < b$ |
Intervalle ouvert en $b$ et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à $b$ |
$[a\ ;\, +\infty[$ |
|
$x \geq a$ |
Intervalle fermé en $a$ et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à $a$ |
$]a\ ;\, +\infty[$ |
|
$x > a$ |
Intervalle ouvert en $a$ et dont toutes les valeurs sont strictement supérieures à $a$ |
Astuce
- On parle souvent de crochet « ouvert » ou « fermé ». Un crochet est ouvert lorsqu’il « tourne le dos » à sa borne. Il indique alors que celle-ci ne fait pas partie de l’intervalle. Pour l’intervalle $[2; 5[$, la borne $5$ ne fait pas partie de l’intervalle car le crochet est ouvert en $5$.
- Pour $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert.
Réunion et intersection d’intervalles
Réunion et intersection d’intervalles
Définition
Réunion d’intervalles :
Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb R$.
La réunion des intervalles $I$ et $J$, notée $I\cup J$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ ou à $J$.
Exemple
Soit l’intervalle $I=[-5\ ;\, 1]$ et l’intervalle $J=[-2\ ;\, 7]$.
L’ensemble des réels qui appartiennent à $I\cup J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $[-5\ ;\, -1]$ ou à $[-2\ ;\, 7]$.
Réunion de deux intervalles
$I\cup J$ est ainsi l’intervalle $[-5\ ;\, 7]$, c’est-à-dire l’ensemble des réels $x$ tels que : $-5\leq x\leq 7$.
Astuce
Si $J$ est un sous-ensemble de $I$, c’est-à-dire si tous les éléments de $J$ appartiennent à $I$, alors : $I\cup J=I$.
Attention
La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
Par exemple, $[-5\ ;\, -2[\ \cup\ ]1\ ;\, 7]$ n’est pas un intervalle : les réels compris entre $-2$ et $1$ n’appartiennent pas à $[-5\ ;\, -2[\ \cup\ ]1\ ;\, 7]$ ; il y a un « trou », ce n’est donc pas un intervalle, ce dernier ne devant pas avoir de « trous ».
Définition
Intersection d’intervalles :
Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb R$.
L’intersection des intervalles $I$ et $J$, notée $I\cap J$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $I$ et à $J$.
Exemple
Soit l’intervalle $I=[-5\ ;\, 1]$ et l’intervalle $J=[-2\ ;\, 7]$.
L’ensemble des réels qui appartiennent à $I\cap J$ est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $[-5\ ;\, -1]$ et à $[-2\ ;\, 7]$.
Intersection de deux intervalles
$I\cap J$ est ainsi l’intervalle $[-2\ ;\, 1]$, c’est-à-dire l’ensemble des réels $x$ tels que : $-2\leq x\leq 1$.
À retenir
L’intersection de deux ensembles peut n’avoir aucun élément et être l’ensemble vide.
Par exemple, aucun réel n’appartient à la fois à $[-5\ ;\, 2[$ et à $]1\ ;\, 7]$.
- Nous avons alors :
$$[-5\ ;\, 2[\ \cap\ ]1\ ;\, 7]=\varnothing$$
Astuce
Si $J$ est un sous-ensemble de $I$, c’est-à-dire si tous les éléments de $J$ appartiennent à $I$, alors : $I\cap J=J$.
Représenter la distance entre deux nombres réels
Représenter la distance entre deux nombres réels
Valeur absolue d’un nombre réel
Valeur absolue d’un nombre réel
Définition
Valeur absolue :
Soit une droite graduée d’origine $O$ et un point $M$ d’abscisse $x$.
On appelle « valeur absolue de $x$ » sa distance à l’origine, soit la distance $OM$.
À retenir
La valeur absolue d’un réel $x$ se note $\vert x\vert$, et nous avons :
$$\vert x\vert = \begin{cases} x & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\geq 0$}} \\ -x &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $x\leq 0$}} \end{cases}$$
Donnons maintenant quelques propriétés de la valeur absolue.
Propriété
Soit $x$ et $y$ deux nombres réels.
- Nous avons :
$$\begin{aligned} \vert x \vert &\geq 0 \\ \vert -x\vert &=\vert x\vert \end{aligned}$$
- Nous avons aussi les équivalences suivantes :
$$\begin{aligned} \vert x \vert =0 &\Leftrightarrow x=0 \\ \vert x \vert =\vert y\vert &\Leftrightarrow x=y \text{ ou } x=-y \\ \end{aligned}$$
- Le signe $\Leftrightarrow$ signifie « … est équivalent à… ».
Exemple
$\begin{aligned} \vert 5\vert &=5 \\ \vert -3\vert &=-(-3)=3 \\ \vert -2,5\vert &=\vert 2,5\vert =2,5 \end{aligned}$
Distance entre deux nombres réels
Distance entre deux nombres réels
Propriété
Sur une droite graduée, soit deux points $A$ et $B$, d’abscisses respectives $a$ et $b$.
La distance entre les réels $a$ et $b$, qu’on peut noter $\text{d}(a\ ;\, b)$ ou $\text{d}(b\ ;\, a)$, est égale à : $\vert b-a\vert$, ou $\vert a-b\vert$.
Distance entre deux réels
À retenir
Soit $a$ et $b$ deux réels. Nous avons :
$$\vert a - b\vert =\begin{cases} a - b &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \geq b$}} \\ b - a &\textcolor{#A9A9A9}{\text{si $a \leq b$}} \end{cases}$$
Propriété
Soit $a$ un nombre réel et $r$ un nombre réel positif.
L’ensemble des réels $x$ tels que $\vert x-a\vert \leq r$ est l’intervalle borné fermé :
$$[a-r\ ;\, a+r]$$
- Cet intervalle est fermé, centré en $a$ et ses bornes sont $a-r$ et $a+r$.
À retenir
Dire que le réel $x$ est tel que $\vert x-a\vert \leq r$ revient à dire que : $x\in [a-r\ ;\, a+r]$.
- Autrement dit, la distance entre les réels $a$ et $x$ est inférieure ou égale à $r$.
Nous allons maintenant nous servir de ce que nous avons vu pour résoudre une inéquation.
Exemple
Nous cherchons à résoudre l’inéquation : $\vert x-1\vert \leq 3$.
- Nous cherchons donc l’ensemble des réels $x$ dont la distance avec $1$ est inférieure ou égale à $3$.
Nous avons ici $a=1$ et $r=3$.
- L’ensemble solution $S$ de cette inéquation est :
$$\begin{aligned} S&=[\overbrace{1-3}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{a-r}}}\ ;\, \overbrace{1+3}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{a+r}}}] \\ &=[-2\ ;\, 4] \end{aligned}$$
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons découvert un nouvel ensemble de nombres, celui des réels noté $\mathbb R$, qui inclut tous les ensembles que nous avons vus au collège. Nous avons également abordé la notion d’intervalles, dont nous nous servirons très souvent au lycée (et plus tard).
