Pourcentages : calculs et quantité totale

Introduction :

Dans ce cours, nous allons aborder les pourcentages. Nous verrons comment appliquer et déterminer un taux de pourcentage.

Nous ferons tout d’abord un rappel sur ce qu’est un pourcentage. Nous verrons ensuite comment calculer le pourcentage d'un nombre. Nous aborderons ensuite la méthode permettant de calculer une quantité totale. Enfin, nous verrons comment déterminer un pourcentage.

Rappels

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Définition

Pourcentage :

Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité. Il s'exprime sous la forme d'une fraction de dénominateur $100$. On le note avec le symbole $\%$.

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À retenir

Un pourcentage exprime la proportion d'une quantité ramenée à $100$.

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Exemple

$63\ \%$ se lit $63$ pour $100$. Cela signifie que si la quantité totale était égale à $100$, on en prendrait une portion égale à $63$.

Calculer le pourcentage d'un nombre (« une portion de »)

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Propriété

Soit $x$ un nombre positif. Calculer $x\ \%$ d'un nombre c'est multiplier ce nombre par $\dfrac{x}{100}$ .

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Exemple

Lors de la session 2017 du brevet, $809\ 300$ candidats se sont présentés à l'examen. Le pourcentage de réussite a été de $89\ \%$. Combien de candidats ont été reçus ?

Il s'agit bien ici de calculer une portion du nombre de candidats parmi la totalité des candidats.

Le pourcentage de réussite étant de $89\ \%$, le nombre de candidats reçus est égal à $89\ \%$ de $809\ 300$, soit :

$809\ 300 \times \dfrac{89}{100} = 809\ 300 \times 0,89 = 720\ 277$

  • Lors de la session 2017 du brevet, $720\ 277$ candidats ont été reçus.

Calculer une quantité totale

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Exemple

Lors de la session 2016, ce sont $711\ 800$ candidats qui ont été reçus. Le taux de réussite a été de $87\ \%$. Combien de candidats se sont présentés cette année-là ?

Il s'agit ici de calculer le nombre total de candidats en connaissant une portion d'entre eux.

Le taux de réussite étant de $87\ \%$, le nombre total de candidats $N$ est le nombre qui, multiplié par $87\ \%$, est égal à $711\ 800$, soit à résoudre $N \times \dfrac{87}{100} = 711\ 800$ d'où :

$N \times 0,87 = 711\ 800$ donc $N = 711\ 800 \div 0,87 \approx 818\ 161$

  • Lors de la session 2016, environ $818\ 161$ candidats se sont présentés au brevet.
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Astuce

Pour ce type de problème, l'utilisation d'un tableau de proportionnalité peut rendre le calcul plus simple en déterminant la quatrième proportionnelle par la méthode de votre choix :

Portion

$711\ 800$ $87$

Quantité totale

$N$ $100$

Par exemple, l'égalité des produits en croix nous permet d'écrire :

$N \times 87 = 711\ 800 \times 100$
$N = 71\ 180\ 000 \div 87$
$N \approx 818\ 161$

Déterminer un pourcentage

Troisième cas de figure : l'énoncé nous donne la quantité totale et la portion, et la question est de déterminer le pourcentage.

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Exemple

Reprenons l'exemple précédent. Sur les $711\ 800$ candidats reçus, $405\ 726$ candidats ont eu une mention. Quel a été le pourcentage d'obtention d'une mention cette année-là ?

Il ne s'agit ici ni de calculer une portion ni un nombre total mais de calculer le pourcentage que représente une portion par rapport au nombre total.

Dans l'esprit, il est plus juste ici de « voir » le pourcentage comme l'expression du taux ramené à $100$, c'est-à-dire exprimé par une fraction de dénominateur égal à $100$. Ainsi, en exprimant le taux $\frac{405\ 726}{711\ 800}$ sous la forme $\frac{x}{100}$, $x$ sera le pourcentage recherché.

Pour cela, il existe plusieurs méthodes.

  • On calcule le taux puis on le transforme en fraction décimale de dénominateur $100$ :

$\dfrac{405\ 726}{711\ 800} = 0,57 = \dfrac{57}{100}$ d'où $x = 57$

  • On simplifie la fraction pour obtenir une fraction égale de dénominateur $100$ :

$\dfrac{405\ 726}{711\ 800} = \dfrac{7118 \times 57}{7118 \times 100} = \dfrac{57}{100}$ d'où $x = 57$

  • On résout l'équation $\frac{405\ 726}{711\ 800} = \frac{x}{100}$ avec, par exemple, l'égalité des produits en croix :

$711\ 800 \times x = 405\ 726 \times 100$ soit $x = 40\ 572\ 600 \div 711\ 800 = 57$

  • On peut également utiliser un tableau de proportionnalité sous la forme :

Portion

$405\ 726$ $x$

Quantité totale

$711\ 800$ $100$

Comme précédemment, l'égalité des produits en croix nous permet d'écrire :
$711\ 800 \times x = 405\ 726 \times 100$ soit $ x = 40\ 572\ 600 \div 711\ 800 = 57$

  • Quelle que soit la méthode utilisée, on obtient le résultat suivant :
    en 2016, le pourcentage d'obtention d'une mention a été de $57\ \%$
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Astuce

La méthode utilisée dépendra des données dont on dispose : certains nombres sont plus faciles à manipuler que d'autres.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu comment appliquer et déterminer un pourcentage et comment calculer une quantité totale. Il est bien sûr important de savoir résoudre chacune de ces situations avant d’aborder des problèmes de pourcentages plus complexes.