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Pourcentages : calculs et quantité totale (suite)
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons continuer à voir comment manipuler les pourcentages.
Nous verrons tout d’abord comment augmenter et diminuer un nombre d'un certain pourcentage. Ensuite, nous aborderons la composition de pourcentages. Enfin, nous apprendrons à déterminer le pourcentage de deux groupes réunis.
Augmenter ou diminuer un nombre de
Il s'agit ici de calculer le montant final d'un article qui subit une diminution.
Diminuer € de , c'est multiplier par soit par .
D'où :
Il s'agit ici de calculer le nombre initial d'élèves qui a subi une augmentation.
Soit le nombre initial d'élèves. Alors, augmenté de est égal à soit l'équation à résoudre : .
Or .
Donc l'équation devient : d'où
Il s'agit ici de calculer non pas le montant final ou initial d'un article mais le pourcentage d'augmentation de son prix.
Soit ce pourcentage. Alors, augmenté de est égal à soit l'équation à résoudre : .
En multipliant les deux membres par , on obtient :
D'où :
En ajoutant aux deux membres, on obtient :
D'où :
Donc :
Si on applique au nombre final une diminution (ou respectivement une augmentation) de , on ne retombe pas sur le nombre initial qui a subi l'augmentation (ou respectivement la diminution) de .
Reprenons l'exemple du nombre d'élèves d'un collège.
Pour déterminer le nombre initial d'élèves qui a augmenté de , on pourrait être tentés d'appliquer une diminution de au nombre final d'élèves, mais ce calcul serait faux.
En effet : .
Ce qui se comprend d'ailleurs facilement puisque :
On applique toujours l'augmentation ou la diminution au nombre de référence, c'est-à-dire celui qui a subi l'augmentation ou la diminution au départ.
Augmenter (ou respectivement diminuer) un nombre de , c'est aussi, bien sûr, ajouter (ou respectivement enlever) de sa valeur à ce nombre. Selon les données du problème, cela permet de vérifier son calcul ou d'effectuer un rapide calcul mentalement.
En utilisant la propriété de calcul liée à l'augmentation d'un nombre, nous avons trouvé le nombre d'élèves pour l'année précédente égal à . Vérifions qu'en y rajoutant , on retombe bien sur le nombre de élèves cette année.
Nous avons calculé la valeur de de dans l'exemple ci-dessus. Nous avons trouvé .
font bien .
En magasin, il est quand même bien pratique de savoir réaliser ce genre de calcul mentalement. Rapidement, on peut calculer du prix soit € (le prix divisé par ), du coup font € (deux fois la valeur de ) qui, soustraits à €, font €.
Composer des pourcentages
Il s'agit maintenant de calculer un pourcentage d'un pourcentage d'un nombre.
Une composition de pourcentage revient à calculer une fraction de fraction.
Dans un collège, des élèves sont des filles. d'entre elles sont en 4e. Combien y a-t-il de filles en 4e dans ce collège sachant qu'il y a en tout élèves ?
Il y a de filles sur élèves soit filles.
des filles sont en 4e soit filles en 4e.
Pour aller plus vite, on peut calculer directement :
Déterminer le pourcentage de deux groupes réunis
Il s'agit ici de calculer un pourcentage sur un ensemble de deux groupes en connaissant le pourcentage sur chacun des groupes.
Une classe de neige regroupe deux classes.
Quel est le pourcentage d'élèves qui n'ont jamais skié sur l'ensemble de la classe de neige ?
des élèves n'ont jamais skié soit élèves.
des élèves n'ont jamais skié soit élèves.
soit élèves n'ont jamais skié sur soit élèves en tout, soit un taux de .
Or
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu comment augmenter et diminuer un nombre d'un certain pourcentage, comment composer des pourcentages et nous avons appris à déterminer le pourcentage de deux groupes réunis.
Ces méthodes sont à connaître car elles permettent de résoudre les différents types de problèmes de pourcentages.