Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Pourcentages : calculs et quantité totale (suite)

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Dans ce cours, nous allons continuer à voir comment manipuler les pourcentages.

Nous verrons tout d’abord comment augmenter et diminuer un nombre d'un certain pourcentage. Ensuite, nous aborderons la composition de pourcentages. Enfin, nous apprendrons à déterminer le pourcentage de deux groupes réunis.

Augmenter ou diminuer un nombre de x %x\ \%

bannière propriete

Propriété

  • Augmenter un nombre de x %x\ \%, c'est multiplier ce nombre par (1+x100)(1 + \frac{x}{100}).
  • Diminuer un nombre de x %x\ \%, c'est multiplier ce nombre par (1x100)(1 - \frac{x}{100}).
bannière exemple

Exemple

  • Un chemisier d'une valeur de 2525 € est soldé à 20 %20\ \%. Quel est son nouveau prix ?

Il s'agit ici de calculer le montant final d'un article qui subit une diminution.

Diminuer 2525 € de 20 %20\ \%, c'est multiplier 2525 par (120100)(1 - \frac{20}{100}) soit par 10,2=0,81 - 0,2 = 0,8.

D'où : 25×(120100)=25×0,8=2025 \times (1 - \frac{20}{100}) = 25 \times 0,8 = 20

  • Le nouveau prix du chemisier est 2020 €.
  • Le nombre d'élèves d'un collège a augmenté de 5 %5\ \% par rapport à l'année précédente. Aujourd'hui, il en compte 651651. Combien en comptait-il l'année dernière ?

Il s'agit ici de calculer le nombre initial d'élèves qui a subi une augmentation.

Soit NN le nombre initial d'élèves. Alors, NN augmenté de 5 %5\ \% est égal à 651651 soit l'équation à résoudre : N×(1+5100)=651N \times (1 + \frac{5}{100}) = 651.

Or 1+5100=1+0,05=1,051 + \frac{5}{100} = 1 + 0,05 = 1,05.

Donc l'équation devient : N×1,05=651N \times 1,05 = 651 d'où N=651÷1,05=620N = 651 \div 1,05 = 620

  • L'année dernière, le collège comptait 620620 élèves.
  • D'ici deux ans, le prix d'un paquet de cigarettes doit être porté à 1010 €. Quel sera le pourcentage d'augmentation du prix d'un paquet qui coûte aujourd'hui 77 € ?

Il s'agit ici de calculer non pas le montant final ou initial d'un article mais de calculer le pourcentage d'augmentation de son prix.

Soit xx ce pourcentage. Alors, 77 augmenté de x %x\ \% est égal à 1010 soit l'équation à résoudre : 7×(1+x100)=107 \times (1 + \frac{x}{100}) = 10.

En multipliant les deux membres par 17\frac 17, on obtient : 17×7×(1+x100)=17×10\frac 17 \times 7 \times (1 + \frac{x}{100}) = \frac 17 \times 10

D'où : 1+x100=1071 + \frac{x}{100} = \frac{10}{7}

En ajoutant 1- 1 aux deux membres, on obtient : 1+1+x100=1+107- 1 + 1 + \frac{x}{100} = - 1 + \frac{10}{7}

D'où : x100=77+107\frac{x}{100} = - \frac 77 + \frac{10}{7}

Donc : x100=370,43=43100\frac{x}{100} = \frac{3}{7} \approx 0,43 = \frac{43}{100}

  • Le prix d'un paquet de cigarettes à 77 € augmentera d'environ 43 %43\ \%.
bannière attention

Attention

Si on applique au nombre final une diminution (ou respectivement une augmentation) de x %x\ \%, on ne retombe pas sur le nombre initial qui a subi l'augmentation (ou respectivement la diminution) de x %x\ \%.

bannière exemple

Exemple

Reprenons l'exemple du nombre d'élèves d'un collège.

Pour déterminer le nombre initial d'élèves qui a augmenté de 5 %5\ \%, on pourrait être tentés d'appliquer une diminution de 5 %5\ \% au nombre final d'élèves, mais ce calcul serait faux.
En effet : 651×(15100)=651×0,95=618,45620651 \times (1 - \frac{5}{100}) = 651 \times 0,95 = 618,45 \neq 620.

Ce qui se comprend d'ailleurs facilement puisque :

  • augmenter 620620 de 5 %5\ \%, c'est lui ajouter 620×5100=620×0,05=31620 \times \frac{5}{100} = 620 \times 0,05 = \bold {31}, alors que
  • diminuer 651651 de 5 %5\ \%, c'est lui enlever 651×5100=651×0,05=32,5531651 \times \frac{5}{100} = 651 \times 0,05 = \bold{32,55} \neq 31.
bannière à retenir

À retenir

On applique toujours l'augmentation ou la diminution au nombre de référence, c'est-à-dire celui qui a subi l'augmentation ou la diminution au départ.

bannière astuce

Astuce

Augmenter (ou respectivement diminuer) un nombre de x %x\ \%, c'est aussi, bien sûr, ajouter (ou respectivement enlever) x %x\ \% de sa valeur à ce nombre. Selon les données du problème, cela permet de vérifier son calcul ou d'effectuer un rapide calcul mentalement.

bannière exemple

Exemple

  • Reprenons l'exemple du nombre d'élèves d'un collège.

En utilisant la propriété de calcul liée à l'augmentation d'un nombre, nous avons trouvé le nombre d'élèves pour l'année précédente égal à 620620. Vérifions qu'en y rajoutant 5 %5\ \%, on retombe bien sur le nombre de 651651 élèves cette année.

Nous avons calculé la valeur de 5 %5\ \% de 620620 dans l'exemple ci-dessus. Nous avons trouvé 3131.

620+31620 + 31 font bien 651651.

  • Notre résultat de 620620 élèves pour l'année précédente est correct.
  • Reprenons maintenant l'exemple du chemisier à 2525 € soldé à 20 %20\ \%.

En magasin, il est quand même bien pratique de savoir réaliser ce genre de calcul mentalement. Rapidement, on peut calculer 10 %10\ \% du prix soit 2,52,5 € (le prix divisé par 1010), du coup 20 %20\ \% font 55 € (deux fois la valeur de 10 %10\ \%) qui, soustraits à 2525 €, font 2020 €.

  • Le résultat de 2020 € trouvé précédemment est donc correct.

Composer des pourcentages

Il s'agit maintenant de calculer un pourcentage d'un pourcentage d'un nombre.

bannière propriete

Propriété

Une composition de pourcentage revient à calculer une fraction de fraction.

bannière exemple

Exemple

Dans un collège, 58 %58\ \% des élèves sont des filles. 25 %25\ \% d'entre elles sont en 4e. Combien y a-t-il de filles en 4e dans ce collège sachant qu'il y a en tout 600600 élèves ?

Il y a 58 %58\ \% de filles sur 600600 élèves soit 600×58100600 \times \frac{58}{100} filles.

25 %25\ \% des filles sont en 4e soit (600×58100)×25100(600 \times \frac{58}{100}) \times \frac{25}{100} filles en 4e.

(600×58100)×25100=600×58×25100×100=600×145010000=600×0,145=87(600 \times \frac{58}{100}) \times \frac{25}{100}= 600 \times \frac{58 \times 25}{100 \times 100}=600 \times \frac{1450}{10000}=600 \times 0,145=87

  • Il y a 8787 filles en 4e.

Déterminer le pourcentage de deux groupes réunis

Il s'agit ici de calculer un pourcentage sur un ensemble de deux groupes en connaissant le pourcentage sur chacun des groupes.

bannière exemple

Exemple

Une classe de neige regroupe deux classes.

  • La 4e 3 compte 2828 élèves dont 25 %25\ \% n'ont jamais skié.
  • La 4e 6 compte 2222 élèves dont 50 %50\ \% n'ont jamais skié.

Quel est le pourcentage d'élèves qui n'ont jamais skié sur l'ensemble de la classe de neige ?

  • Considérons le premier groupe : la 4e 3.

25 %25\ \% des 2828 élèves n'ont jamais skié soit 28×25100=28×0,25=728 \times \frac{25}{100} = 28 \times 0,25 = 7 élèves.

  • Considérons le deuxième groupe : la 4e 6.

50 %50\ \% des 2222 élèves n'ont jamais skié soit 22×50100=22×0,5=1122 \times \frac{50}{100} = 22 \times 0,5 = 11 élèves.

  • Considérons maintenant l'ensemble des deux groupes, c'est-à-dire la totalité de la classe de neige.

7+117 + 11 soit 1818 élèves n'ont jamais skié sur 28+2228 + 22 soit 5050 élèves en tout, soit un taux de 1850\frac{18}{50}.

Or 1850=18×250×2=36100=36 %\frac{18}{50} = \frac{18 \times 2}{50 \times 2} = \frac{36}{100} = 36\ \%

  • Sur l'ensemble de la classe de neige, 36 %36\ \% des élèves n'ont jamais skié.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu comment augmenter et diminuer un nombre d'un certain pourcentage, comment composer des pourcentages et nous avons appris à déterminer le pourcentage de deux groupes réunis.
Ces méthodes sont à connaître car elles permettent de résoudre les différents types de problèmes de pourcentages.