Cours : Pourcentages : définition et application

Pourcentages : définition et application

Introduction :

Nous savons déjà qu’un nombre peut s’écrire sous une forme décimale ou sous une forme fractionnaire. Nous allons découvrir qu’il peut également s’écrire sous la forme d’un pourcentage et nous allons établir le lien entre toutes ces formes. Un pourcentage est un outil qui traduit une situation de proportionnalité.

Dans un premier temps nous allons étudier le pourcentage et la proportionnalité. Puis nous appliquerons un taux de pourcentage et verrons également comment calculer un pourcentage. En troisième partie, nous nous intéresserons à la notion d’augmentation et de diminution. Enfin, nous étudierons le pourcentage relatif à la réunion de deux groupes.

Le pourcentage et la proportionnalité

Vocabulaire

Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.

Définition

Pourcentage :

Un pourcentage représente la proportion d’une quantité comparée à $100$. Il s’exprime sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est $100$.

$52\ \%$ se lit « $52$ pour cent ».

Exemple

Pour une bonne conservation, une confiture doit contenir $60\ \%$ de sucre.

Cela signifie que la masse de sucre est proportionnelle à la masse de confiture et que, pour $100$ grammes de confiture, il y a $60$ grammes de sucre.

Quelle masse de sucre y a-t-il dans $110\text{ g}$, $200\text{ g}$, $50\text{ g}$ et $250\text{ g}$ de confiture ?

Nous pouvons consigner ces données dans un tableau de proportionnalité.

Masse de confiture (en grammes)	$100$	$110$	$200$	$50$	$250$
Masse de sucre (en grammes)	$60$

On cherche tout d’abord à calculer $60\ \%$ de $110$.

On est ici dans une situation de proportionnalité. On peut donc :

effectuer un produit en croix :

$$110 \times 60 \div 100 = 66$$

Il a $66\text{ g}$ de sucre dans $110\text{ g}$ de confiture.
chercher le coefficient de proportionnalité en effectuant la division de $60$ par $100$ :

$$60 \div 100 = 0,6$$

Le coefficent de proportionnalité est de $0,6$.

Pour compléter ce tableau, on peut donc multiplier les nombres de la première ligne par $0,6$ pour obtenir les valeurs de la deuxième ligne ou bien effectuer des produits en croix.

Masse de confiture (en grammes)	$100$	$110$	$200$	$50$	$250$
Masse de sucre (en grammes)	$60$	$66$	$120$	$30$	$150$

Pourcentages particuliers

Pourcentage	Fraction en centième	Fraction simplifiée	Nombre décimal	Nom d’usage
$10\ \%$	$\frac{10}{100}$	$\frac{1}{10}$	$0,1$	le dixième
$25\ \%$	$\frac{25}{100}$	$\frac{1}{4}$	$0,25$	le quart
$50\ \%$	$\frac{50}{100}$	$\frac{1}{2}$	$0,50$	le demi
$75\ \%$	$\frac{75}{100}$	$\frac{3}{4}$	$0,75$	les trois quarts

Appliquer et déterminer un taux de pourcentage

Appliquer un taux de pourcentage

Propriété

Pour calculer $\text{x}\ \%$ d’une quantité, il faut multiplier cette quantité par $\dfrac{\text{x}}{100}$.

Exemple

Dans un sac de $80$ jetons, $35\ \%$ des jetons sont rouges.

Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?

On doit ici calculer $35\ \%$ de $80$.

$\begin{aligned}80\times35\ \% &=80\times\frac{35}{100} \\&=80\times 0,35\\ &=28\end{aligned}$

Le sac contient donc $28$ jetons rouges.

En France, la masse moyenne des déchets ménagers est de $375\text{ kg}$ par habitant et par an. $14\ \%$ de ces déchets sont des papiers.

Quelle est la masse de papiers jetés en une année dans les déchets ménagers par habitant ?

On cherche ici à calculer $14\ \%$ de $375$.

$\begin{aligned}375\times14\ \%&=375 \times \frac{14}{100}\\ &=375 \times 0,14\\&=52,5\end{aligned}$

Chaque habitant jette $52,5\text{ kg}$ de papiers par an.

La population de la France est estimée au 1^er janvier 2013 à $65\ 586\ 000$ habitants (source : INSEE).
Les jeunes de moins de 20 ans représentent $24,6\ \%$ de cette population.

Combien y a-t-il de français de moins de 20 ans ?

On cherche ici à calculer $24,6\ \%$ de $65\ 586\ 000$.

$\begin{aligned}65\ 586\ 000\times24,6\ \%&=65\ 586\ 000 \times \frac{24,6}{100}\\ &= 65\ 586\ 000 \times 0,246\\&=16\ 134\ 156\end{aligned}$

Au 1^er janvier 2013, il y a $16\ 134\ 156$ jeunes de moins de 20 ans en France.

Déterminer un pourcentage

Propriété

Déterminer un pourcentage revient à calculer un coefficient de proportionnalité sous la forme $\frac{\text{x}}{100}$.

Exemple

Dans un club de sport de $250$ licenciés, il y a $110$ filles.

Quel est le pourcentage de filles dans ce club ?

Il y a $\frac{110}{250}$ filles dans ce club. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.

$\dfrac{110}{250}=\dfrac{110\times 4}{250\times 4}=\dfrac{440}{1000}=\dfrac{440\div 10}{1000\div 10}=\dfrac{44}{100}$

Il y a $44\ \%$ de filles dans ce club de sport.

Dans une classe de $28$ élèves, $7$ élèves sont gauchers.

Quel est le pourcentage de gauchers dans cette classe ?

Il y a $\frac{7}{28}$ élèves gauchers dans cette classe. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.

$\dfrac{7}{28}=\dfrac{7\div 4}{28\div 4}=\dfrac{1}{4}=0,25=\dfrac{25}{100}$

$25\ \%$ des élèves sont gauchers dans cette classe.

La classe de 5^e B a voté pour l’élection des délégués de classe. La classe comporte $24$ élèves et Claire a obtenu $15$ voix.

Quel est le pourcentage de voix obtenu par Claire ?

Claire a obtenu $\frac{15}{24}$ voix. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est $100$.

$\dfrac{15}{24}=0,625=\dfrac{62,5}{100}$

$62,5\ \%$ des élèves de 5^e B ont voté pour Claire.

Augmentation, diminution

Augmentation

Propriété

Augmenter un nombre de $\text{x}\ \%$, c’est multiplier ce nombre par $(1+\text{x}~\%)$ soit $1+\frac{\text x}{100}$.

Ainsi, :

augmenter un nombre de $5~\%$, c’est multiplier ce nombre par $\left(1+\frac{5}{100}\right)$, c’est-à-dire multiplier ce nombre par $1,05$ ;
augmenter un nombre de $40~\%$, c’est multiplier ce nombre par $\left(1+\frac{40}{100}\right)$, c’est-à-dire multiplier ce nombre par $1,4$.

Exemple

Chez un pépiniériste, un mimosa coûte $25$ €.
Son prix augmente de $20~\%$ chaque année.
Quel sera le prix de ce mimosa l’année suivante ?

1^re méthode

On calcule le montant de l’augmentation :

$25\times20~\%=25\times 0,2 =5$

Le prix du mimosa augmentera de $5$ €.

On calcule le prix après augmentation :

$25+5=30$

Le mimosa coûtera $30$ € l’année suivante.

2^e méthode

$25\times\left(1+\frac{20}{100}\right)=25\times(1+0,2)=25\times1,2=30$

Le mimosa coûtera $30$ € l’année suivante.

Diminution

Propriété

Diminuer un nombre de $\text{x}\ \%$, c’est multiplier ce nombre par $(1-\text{x}\ \%)$, soit $1-\frac{\text x}{100}$.

Ainsi :

diminuer un nombre de $5~\%$, c’est multiplier ce nombre par $\left(1-\frac{5}{100}\right)$, c’est-à-dire multiplier ce nombre par $0,95$ ;
diminuer un nombre de $40~\%$, c’est multiplier ce nombre par $\left(1-\frac{40}{100}\right)$, c’est-à-dire multiplier ce nombre par $0,6$.

Exemple

Pendant les soldes,le prix d’un manteau de $160$ € subit une remise de $30~\%$.

Quel est le prix soldé de ce manteau ?

1^re méthode

On calcule le montant de la remise :

$160\times30~\%=160\times 0,3=48$

La remise est de $48$ €.

On calcule le prix soldé :

$160-48=112$

Le prix soldé du manteau est $112$ €.

2^e méthode

$160\times\left(1-\frac{30}{100}\right)=160\times(1-0,3)=160\times0,7=112$

Le prix soldé du manteau est $112$ €.

Application

Attention

Une augmentation de $20~\%$ suivie d’une diminution de $20~\%$ ne ramène pas à la valeur initiale.

Ainsi, si on augmente $80$ de $20\ \%$ :
$80\times 1,2 = 96$

Puis, on diminue de $20\ \%$ :
$96\times 0,8=76,8$

On n’obtient donc pas $80$, à savoir la valeur de départ.

De même, lorsqu’on applique une augmentation de $10~\%$ sur un prix puis une nouvelle augmentation de $10~\%$ sur le nouveau prix, cela ne revient pas à une augmentation de $20~\%$.

Pourcentage relatif à la réunion de deux groupes

Exemple

Une rencontre sportive réunit les classes de Marie et Élise.

Dans la classe de Marie, il y a $20$ élèves dont $40~\%$ de filles.
Dans la classe d’Élise, il y a $30$ élèves dont $60~\%$ de filles.

Marie dit : « Il y aura $50~\%$ de filles à la rencontre. »
Élise répond : « Mais pas du tout ! Il y en aura $52~\%$. »

Qui a raison ?

On calcule le nombre de filles dans la classe de Marie :

$20\times40~\%=20\times 0,4=8$

On calcule le nombre de filles dans la classe d’Élise :

$30\times60~\%=30\times 0,6=18$

On calcule le nombre total de filles à la rencontre :

$8+18=26$

On calcule le nombre total d’élèves à la rencontre :

$20+30=50$

On calcule le pourcentage de filles à la rencontre :

$\dfrac{26}{50}=\dfrac{26\times 2}{50\times 2}=\dfrac{52}{100}=52~\%$

C’est Élise qui a raison, il y aura $52\ \%$ de filles à la rencontre.

Conclusion :

Savoir appliquer un taux de pourcentage ou trouver un taux de pourcentage est utile dans des domaines très divers tels que les statistiques, la géographie, la physique, la chimie, le développement durable, la santé ou le commerce.