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Pourcentages : définition et application

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Introduction :

Nous savons déjà qu’un nombre peut s’écrire sous une forme décimale ou sous une forme fractionnaire. Nous allons découvrir qu’il peut également s’écrire sous la forme d’un pourcentage et nous allons établir le lien entre toutes ces formes. Un pourcentage est un outil qui traduit une situation de proportionnalité.

Dans un premier temps nous allons étudier le pourcentage et la proportionnalité. Puis nous appliquerons un taux de pourcentage et verrons également comment calculer un pourcentage. En troisième partie, nous nous intéresserons à la notion d’augmentation et de diminution. Enfin, nous étudierons le pourcentage relatif à la réunion de deux groupes.

Le pourcentage et la proportionnalité

Vocabulaire

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Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.

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Définition

Pourcentage :

Un pourcentage représente la proportion d’une quantité comparée à 100100. Il s’exprime sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 100100.

52 %52\ \% se lit « 5252 pour cent ».

Exemple

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Exemple

Pour une bonne conservation, une confiture doit contenir 60 %60\ \% de sucre.

  • Cela signifie que la masse de sucre est proportionnelle à la masse de confiture et que, pour 100100 grammes de confiture, il y a 6060 grammes de sucre.

Quelle masse de sucre y a-t-il dans 110 g110\text{ g}, 200 g200\text{ g}, 50 g50\text{ g} et 250 g250\text{ g} de confiture ?

Nous pouvons consigner ces données dans un tableau de proportionnalité.

Masse de confiture (en grammes) 100100 110110 200200 5050 250250
Masse de sucre (en grammes) 6060        

On cherche tout d’abord à calculer 60 %60\ \% de 110110.

On est ici dans une situation de proportionnalité. On peut donc :

  • effectuer un produit en croix :

110×60÷100=66110 \times 60 \div 100 = 66

  • Il a 66 g66\text{ g} de sucre dans 110 g110\text{ g} de confiture.
  • chercher le coefficient de proportionnalité en effectuant la division de 6060 par 100100 :

60÷100=0,660 \div 100 = 0,6

  • Le coefficent de proportionnalité est de 0,60,6.

Pour compléter ce tableau, on peut donc multiplier les nombres de la première ligne par 0,60,6 pour obtenir les valeurs de la deuxième ligne ou bien effectuer des produits en croix.

Masse de confiture (en grammes) 100100 110110 200200 5050 250250
Masse de sucre (en grammes) 6060 6666 120120 3030 150150

Pourcentages particuliers

Pourcentage Fraction en centième Fraction simplifiée Nombre décimal Nom d’usage
10 %10\ \% 10100\frac{10}{100} 110\frac{1}{10} 0,10,1 le dixième
25 %25\ \% 25100\frac{25}{100} 14\frac{1}{4} 0,250,25 le quart
50 %50\ \% 50100\frac{50}{100} 12\frac{1}{2} 0,500,50 le demi
75 %75\ \% 75100\frac{75}{100} 34\frac{3}{4} 0,750,75 les trois quarts

Appliquer et déterminer un taux de pourcentage

Appliquer un taux de pourcentage

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Propriété

Pour calculer %\text{x}\ \% d’une quantité, il faut multiplier cette quantité par x100\dfrac{\text{x}}{100}.

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Exemple

Dans un sac de 8080 jetons, 35 %35\ \% des jetons sont rouges.

Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?

On doit ici calculer 35 %35\ \% de 8080.

80×35 %=80×35100=80×0,35=28\begin{aligned}80\times35\ \% &=80\times\frac{35}{100} \&=80\times 0,35\ &=28\end{aligned}

  • Le sac contient donc 2828 jetons rouges.

En France, la masse moyenne des déchets ménagers est de 375 kg375\text{ kg} par habitant et par an. 14 %14\ \% de ces déchets sont des papiers.

Quelle est la masse de papiers jetés en une année dans les déchets ménagers par habitant ?

On cherche ici à calculer 14 %14\ \% de 375375.

375×14 %=375×14100=375×0,14=52,5\begin{aligned}375\times14\ \%&=375 \times \frac{14}{100}\ &=375 \times 0,14\&=52,5\end{aligned}

  • Chaque habitant jette 52,5 kg52,5\text{ kg} de papiers par an.

La population de la France est estimée au 1er janvier 2013 à 65 586 00065\ 586\ 000 habitants (source : INSEE).
Les jeunes de moins de 20 ans représentent 24,6 %24,6\ \% de cette population.

Combien y a-t-il de français de moins de 20 ans ?

On cherche ici à calculer 24,6 %24,6\ \% de 65 586 00065\ 586\ 000.

65 586 000×24,6 %=65 586 000×24,6100=65 586 000×0,246=16 134 156\begin{aligned}65\ 586\ 000\times24,6\ \%&=65\ 586\ 000 \times \frac{24,6}{100}\ &= 65\ 586\ 000 \times 0,246\&=16\ 134\ 156\end{aligned}

  • Au 1er janvier 2013, il y a 16 134 15616\ 134\ 156 jeunes de moins de 20 ans en France.

Déterminer un pourcentage

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Propriété

Déterminer un pourcentage revient à calculer un coefficient de proportionnalité sous la forme x100\frac{\text{x}}{100}.

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Exemple

Dans un club de sport de 250250 licenciés, il y a 110110 filles.

Quel est le pourcentage de filles dans ce club ?

Il y a 110250\frac{110}{250} filles dans ce club. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est 100100.

110250=110×4250×4=4401000=440÷101000÷10=44100\dfrac{110}{250}=\dfrac{110\times 4}{250\times 4}=\dfrac{440}{1000}=\dfrac{440\div 10}{1000\div 10}=\dfrac{44}{100}

  • Il y a 44 %44\ \% de filles dans ce club de sport.

Dans une classe de 2828 élèves, 77 élèves sont gauchers.

Quel est le pourcentage de gauchers dans cette classe ?

Il y a 728\frac{7}{28} élèves gauchers dans cette classe. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est 100100.

728=7÷428÷4=14=0,25=25100\dfrac{7}{28}=\dfrac{7\div 4}{28\div 4}=\dfrac{1}{4}=0,25=\dfrac{25}{100}

  • 25 %25\ \% des élèves sont gauchers dans cette classe.

La classe de 5e B a voté pour l’élection des délégués de classe. La classe comporte 2424 élèves et Claire a obtenu 1515 voix.

Quel est le pourcentage de voix obtenu par Claire ?

Claire a obtenu 1524\frac{15}{24} voix. On cherche ici à obtenir un pourcentage, donc une fraction dont le dénominateur est 100100.

1524=0,625=62,5100\dfrac{15}{24}=0,625=\dfrac{62,5}{100}

  • 62,5 %62,5\ \% des élèves de 5e B ont voté pour Claire.

Augmentation, diminution

Augmentation

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Propriété

Augmenter un nombre de %\text{x}\ \%, c’est multiplier ce nombre par (1+%)(1+\text{x}~\%) soit 1+x1001+\frac{\text x}{100}.

Ainsi, :

  • augmenter un nombre de 5 %5~\%, c’est multiplier ce nombre par (1+5100)\left(1+\frac{5}{100}\right), c’est-à-dire multiplier ce nombre par 1,051,05 ;
  • augmenter un nombre de 40 %40~\%, c’est multiplier ce nombre par (1+40100)\left(1+\frac{40}{100}\right), c’est-à-dire multiplier ce nombre par 1,41,4.
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Exemple

Chez un pépiniériste, un mimosa coûte 2525 €.
Son prix augmente de 20 %20~\% chaque année.
Quel sera le prix de ce mimosa l’année suivante ?

  • 1re méthode

On calcule le montant de l’augmentation :

25×20 %=25×0,2=525\times20~\%=25\times 0,2 =5

Le prix du mimosa augmentera de 55 €.

On calcule le prix après augmentation :

25+5=3025+5=30

Le mimosa coûtera 3030 € l’année suivante.

  • 2e méthode

25×(1+20100)=25×(1+0,2)=25×1,2=3025\times\left(1+\frac{20}{100}\right)=25\times(1+0,2)=25\times1,2=30

Le mimosa coûtera 3030 € l’année suivante.

Diminution

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Propriété

Diminuer un nombre de %\text{x}\ \%, c’est multiplier ce nombre par (1%)(1-\text{x}\ \%), soit 1x1001-\frac{\text x}{100}.

Ainsi :

  • diminuer un nombre de 5 %5~\%, c’est multiplier ce nombre par (15100)\left(1-\frac{5}{100}\right), c’est-à-dire multiplier ce nombre par 0,950,95 ;
  • diminuer un nombre de 40 %40~\%, c’est multiplier ce nombre par (140100)\left(1-\frac{40}{100}\right), c’est-à-dire multiplier ce nombre par 0,60,6.
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Exemple

Pendant les soldes,le prix d’un manteau de 160160 € subit une remise de 30 %30~\%.

Quel est le prix soldé de ce manteau ?

  • 1re méthode

On calcule le montant de la remise :

160×30 %=160×0,3=48160\times30~\%=160\times 0,3=48

La remise est de 4848 €.

On calcule le prix soldé :

16048=112160-48=112

Le prix soldé du manteau est 112112 €.

  • 2e méthode

160×(130100)=160×(10,3)=160×0,7=112160\times\left(1-\frac{30}{100}\right)=160\times(1-0,3)=160\times0,7=112

Le prix soldé du manteau est 112112 €.

Application

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Attention

Une augmentation de 20 %20~\% suivie d’une diminution de 20 %20~\% ne ramène pas à la valeur initiale.

Ainsi, si on augmente 8080 de 20 %20\ \% :
80×1,2=9680\times 1,2 = 96

Puis, on diminue de 20 %20\ \% :
96×0,8=76,896\times 0,8=76,8

On n’obtient donc pas 8080, à savoir la valeur de départ.

De même, lorsqu’on applique une augmentation de 10 %10~\% sur un prix puis une nouvelle augmentation de 10 %10~\% sur le nouveau prix, cela ne revient pas à une augmentation de 20 %20~\%.

Pourcentage relatif à la réunion de deux groupes

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Exemple

Une rencontre sportive réunit les classes de Marie et Élise.

Dans la classe de Marie, il y a 2020 élèves dont 40 %40~\% de filles.
Dans la classe d’Élise, il y a 3030 élèves dont 60 %60~\% de filles.

Marie dit : « Il y aura 50 %50~\% de filles à la rencontre. »
Élise répond : « Mais pas du tout ! Il y en aura 52 %52~\%. »

Qui a raison ?

  • On calcule le nombre de filles dans la classe de Marie :

20×40 %=20×0,4=820\times40~\%=20\times 0,4=8

  • On calcule le nombre de filles dans la classe d’Élise :

30×60 %=30×0,6=1830\times60~\%=30\times 0,6=18

  • On calcule le nombre total de filles à la rencontre :

8+18=268+18=26

  • On calcule le nombre total d’élèves à la rencontre :

20+30=5020+30=50

  • On calcule le pourcentage de filles à la rencontre :

2650=26×250×2=52100=52 %\dfrac{26}{50}=\dfrac{26\times 2}{50\times 2}=\dfrac{52}{100}=52~\%

  • C’est Élise qui a raison, il y aura 52 %52\ \% de filles à la rencontre.

Conclusion :

Savoir appliquer un taux de pourcentage ou trouver un taux de pourcentage est utile dans des domaines très divers tels que les statistiques, la géographie, la physique, la chimie, le développement durable, la santé ou le commerce.