Les probabilités
Introduction
En mathématiques, la probabilité permet de mesurer les chances qu'un événement se produise.
Par exemple :
- Quelle est la chance d’obtenir le nombre 4 en lançant un dé ?
- Quelle chance a-t-on de gagner à une tombola ?
Dans ce cours, nous allons apprendre à :
- recenser toutes les issues possibles d’une expérience ;
- déterminer les chances qu’un événement se produise ;
- comparer des probabilités ;
- comprendre ce qui se passe quand on répète une expérience.
Compter les issues possibles
Rappel
N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Les probabilités.
Définition
Expérience aléatoire :
Une expérience aléatoire est une situation où le résultat dépend du hasard.
Exemples : lancer un dé ou tirer une carte.
Issue :
Une issue est un résultat possible d'une expérience aléatoire.
Exemple : obtenir 4 en lançant un dé.
Événement :
Un événement est un ensemble d'issues.
Exemple : obtenir un nombre pair en lançant un dé (trois issues correspondent à cet événement : 2, 4, 6).
Équiprobabilité :
On parle d'équiprobabilité, lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire.
Exemple : quand on lance une pièce de monnaie, il y a deux résultats possibles : pile ou face. Ainsi, chaque issue a la même chance de se produire.
Pour calculer une probabilité dans une situation d’équiprobabilité, on compte :
- le nombre d’issues possibles ;
- le nombre d’issues favorables à l’événement.
On écrit alors : nombre d’issues favorables sur nombre total d’issues possibles soit $$\text{probabilité}=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues possibles}}$$
Astuce
Compter toutes les issues possibles s’appelle le dénombrement.
Exemple
À la fête de l’école, un jeu propose de choisir une carte parmi 10. Certaines cartes permettent de gagner un lot. On choisit une carte retournée avec un numéro inscrit dessus.
Il y a 10 cartes au total, mais seules certaines sont gagnantes, comme indiqué dans le tableau :
Il y a 10 issues au total (les cartes numérotées de 1 à 10), et 6 issues qui permettent de gagner un lot (les cartes : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10)
Il y a donc :
- 10 issues possibles au total ;
- 6 issues favorables à l’événement « gagner un lot ».
On dit alors qu’il y a :
- 6 chances sur 10 de gagner.
Mais si l’on veut gagner que la console vidéo, il n’a plus qu’une issue favorable (carte 2). Il y a donc :
- 1 chance sur 10 d’obtenir la console.
Exemple
Un autre atelier propose directement de gagner la console vidéo, en lançant un dé et une pièce en même temps. Pour gagner, il faut obtenir pile avec la pièce et un nombre pair avec le dé.
Cette fois-ci, les issues sont plus nombreuses et plus difficiles à dénombrer. Pour ne rien oublier, on utilise un tableau à double entrée :
Il y a 2 résultats possibles pour la pièce et 6 résultats possibles pour le dé.
On obtient donc :
- $2\times 6=12$ cases dans le tableau, donc 12 issues possibles à l’expérience aléatoire.
Parmi ces 12 issues, seules 3 permettent de gagner :
- Il y a donc 3 chances sur 12 de gagner la console.
Répéter une expérience : des événements indépendants
Quand on répète une expérience aléatoire, il faut se demander si les résultats sont liés entre eux. Si le premier résultat n’a aucune influence sur le second, on parle d’événements indépendants.
Exemple
Dans un troisième jeu, il faut lancer deux fois de suite une pièce et obtenir deux fois face.
La pièce ne se « souvient » pas du résultat du premier lancer. On dit que les deux lancers sont indépendants. C’est donc comme si l’on lançait deux pièces en même temps.
Pour recenser toutes les possibilités, on utilise à nouveau un tableau à double entrée :
Il y a 2 résultats possibles au premier lancer et 2 résultats possibles au second.
On obtient donc :
- $2\times 2 =4$ cases dans le tableau, donc 4 issues possibles à l’expérience aléatoire.
Parmi ces 4 issues, seule 1 case permet de gagner :
- Il y a donc 1 chance sur 4 de gagner.
À retenir
Deux expériences sont indépendantes lorsque le résultat de la première n’influence pas le résultat de la seconde.
Comparaison de probabilités
Il est parfois nécessaire de comparer deux probabilités pour savoir quel événement est le plus probable. Pour comparer deux probabilités, on peut :
- soit transformer les probabilités pour qu’elles aient le même nombre total d’issues ;
- soit les écrire sous une forme équivalente plus simple.
L’objectif est d’obtenir une écriture qui permet une comparaison claire.
Exemple
Si un enfant veut vraiment gagner une console, à quel jeu devra-t-il jouer ?
- Jeu 1 : 1 chance sur 10.
- Jeu 2 : 3 chances sur 12.
Pour comparer, on a besoin d’avoir un des deux nombres en commun. On transforme 3 chances sur 12 :
3 chances sur 12, c’est pareil que 1 chance sur 4 (car on divise par 3).
On compare donc :
1 chance sur 4 et 1 chance sur 10.
Avoir 1 chance sur 4 de gagner est plus fréquent qu’avoir 1 chance sur 10 de gagner.
Le deuxième jeu est donc plus avantageux.
