Cours : Les racines carrées

Rappel

Il sera utile pour ce cours de connaître par cœur la liste des carrés parfaits.

Définition

Carré parfait :

Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.

Racine carrée d’un nombre positif

Définition

Racine carrée :

Soit $a$ un nombre positif. On appelle racine carrée de $a$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On note ce nombre $\sqrt{a}$ et on le lit « racine carrée de $a$ ». Le symbole « $\sqrt{\ }$ » est appelé radical.
Autrement dit : $\sqrt a\geq0$ et $\left(\sqrt a\right)^2=a$

Attention

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

Exemple

$4$ est un nombre positif et $4^2=16$ donc $\sqrt{16}=4$

$\dfrac{2}{3}$ est un nombre positif et $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$ donc $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$

$2,1$ est un nombre positif et $(2,1)^2=4,41$ donc $\sqrt{4,41}=2,1$

$\sqrt7$ est un nombre irrationnel. On conserve cette écriture dans les calculs, mais on peut cependant donner une valeur arrondie de ce nombre : $\sqrt7\approx2,65$ (valeur arrondie au centième).

Astuce

Cas particuliers :

• $\sqrt0=0$
• $\sqrt1=1$

Propriété

Pour tout nombre positif $a$ : $$\left(\sqrt a\right)^2=a$$ $$\sqrt {a^2}= a$$

Exemple

$\left(\sqrt 3\right)^2=3$ et $\sqrt {3^2}=3$

$\left(\sqrt {4,51}\right)^2=4,51$ et $\sqrt {4,51^2}=4,51$

$\left(\sqrt {\dfrac73}\right)^2=\dfrac73$ et $\sqrt {\left(\dfrac73\right)^2}=\dfrac73$

Attention

$\sqrt{(-3)^2}\neq(-3)$
En effet, $(-3)$ n’est pas un nombre positif.
Comme $(-3)^2=3^2$, alors $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3$

Calculs avec les racines carrées

Racine carrée d’un produit

Propriété

Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres.
Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ :

$$\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$$

Exemple

$\sqrt 2\times\sqrt 8= \sqrt {2\times8}=\sqrt {16}=4$

$\sqrt {9\times25}=\sqrt 9\times\sqrt {25}=3\times5=15$

$\sqrt {12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt 4\times\sqrt 3=2\times\sqrt 3=2\sqrt 3$ (le signe $\times$ est sous-entendu).

$\sqrt {45}=\sqrt {9\times5}=\sqrt 9\times\sqrt 5=3\times \sqrt 5=3\sqrt 5$ (le signe $\times$ est sous-entendu).

Racine carrée d’un quotient

Propriété

Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres.
Ainsi, pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ avec $b \neq 0$ on a : $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$

Exemple

$\dfrac{\sqrt {18}}{\sqrt 2}= \sqrt {\dfrac{18}{2}}=\sqrt 9=3$

$\sqrt {\dfrac {64}{49}}=\dfrac{\sqrt {64}}{\sqrt {49}}=\dfrac87$

$\dfrac{\sqrt {2}}{\sqrt 8}= \sqrt {\dfrac{2}{8}}=\sqrt {\dfrac14}=\dfrac{\sqrt {1}}{\sqrt 4}=\dfrac12$

Racine carrée d’une addition

Attention

Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées.
En général : $$\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt {a+b}$$

Exemple

$\sqrt {64}+\sqrt {36}=8+6=14$

et $\sqrt {64+36}=\sqrt {100}=10$

donc $\sqrt{64}+\sqrt{36}\neq\sqrt{64+36}$

Utilisation des propriétés des racines carrées

Écrire un nombre sous la forme $a\sqrt b$

Écrivons $C=\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ et $b$ entiers positifs et $b$ le plus petit possible.

• On écrit $75$ sous la forme d’un produit dont l’un des facteurs est un carré parfait, le plus grand possible.

$$C=\sqrt{25\times3}$$

• On utilise la propriété selon laquelle $\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$

$$C=\sqrt{25}\times\sqrt3$$

• On remplace $\sqrt{25}$ par sa valeur $5$.

$$C=5\times\sqrt3=5\sqrt3$$

• Le signe $\times$ est sous-entendu.

Écrire une somme de racines sous la forme $a\sqrt b$

Écrivons $D=\sqrt{72}-\sqrt{200}+7\sqrt8$ sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ entier relatif et $b$ entier positif le plus petit possible.

• On écrit $72$, $200$ et $8$ sous la forme de produits dont l’un des facteurs est un carré parfait, le plus grand possible.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}$$ $$\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}$$ $$\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}$$

• On utilise la propriété selon laquelle $\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$

$$\sqrt{72}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}$$ $$\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}$$ $$\sqrt{8}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}$$

• On remplace $\sqrt{36}$ par sa valeur $6$, $\sqrt{100}$ par sa valeur $10$ et $\sqrt{4}$ par sa valeur $2$.

$$\sqrt{72}=6\times \sqrt2=6 \sqrt2$$ $$\sqrt{200}=10\times \sqrt2=10\sqrt2$$ $$\sqrt{8}=2\times \sqrt2=2\sqrt2$$

• On peut maintenant calculer $D$.

$$\begin {aligned} D&=6\sqrt2-10\sqrt2+7\times2\sqrt2\\ D&=6\sqrt2-10\sqrt2+14\sqrt2\\ D&=10\sqrt2 \end {aligned}$$