Connaître et utiliser le théorème de Pythagore : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Le théorème de Pythagore nous permet de travailler sur les triangles rectangles, et plus particulièrement de calculer les longueurs des différents côtés.
Nous allons commencer par effectuer des rappels. Nous allons ensuite faire une activité d’introduction afin de comprendre et définir ce théorème. Enfin, nous verrons quelques exemples mettant en application le théorème.

Rappel

Définition

Triangle rectangle :

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.

Le triangle rectangle possède donc deux côtés dessinant l’angle droit (représentés en bleu) et un troisième côté (représenté en rouge) de longueur supérieure à celle de chacun des deux autres.

$Triangle rectangle-Mathématiques-4e$

À retenir

Le plus grand des côtés du triangle rectangle (en rouge sur le schéma) se nomme l’hypoténuse.

Activité d’introduction et énoncé du théorème de Pythagore

Activité d’introduction

Commençons par dessiner un triangle rectangle :

$Triangle rectangle-Mathématiques-4e$

On dessine ensuite un carré sur chacun des côtés du triangle :

$Des carrés sur les côtés du triangle rectangle-Mathématiques-4e$

On découpe les trois carrés et on met le plus grand de côté.
On remplit le grand carré à l’aide des deux petits en effectuant des découpages :

$Utiliser les carrés pour calculer une aire-Mathématiques-4e$

On remarque que si on additionne l’aire des deux petits carrés, on obtient l’aire du grand carré.

Traduisons cette activité en langage mathématique :

l’aire d’un carré s’obtient en calculant la longueur de son côté au carré.

$Alt texte$

L’aire du petit carré ($a^2$) est obtenue en calculant $AC^2$.
L’aire du moyen carré ($b^2$) est obtenue en calculant $AB^2$.
L’aire du grand carré ($c^2$) est obtenue en calculant $BC^2$.

Théorème de Pythagore

D’après notre activité nous obtenons donc :
$c^2=a^2+b^2$ soit $BC^2=AC^2+AB^2$ ce qui est l’égalité de Pythagore.

Nous pouvons définir le théorème de la manière suivante :

Théorème

Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Application

Exemple

Le triangle ci-dessous est rectangle en $A$.

$Triangle rectangle en A-Mathématiques-4e$

Connaissant la longueur des deux côtés, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de l’hypoténuse.

Voici un exemple de rédaction :

Données :
Nous savons, d’après le schéma, que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ;

$[AB]$ mesure $4\ \text{cm}$ ;
$[AC]$ mesure $3\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$. Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit $BC^2=AB^2+AC^2$

Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit $BC^2=4^2+3^2$

On développe :
$\begin {aligned}BC^2&=16+9\\ BC^2&=25\end{aligned}$

En résolvant, on se rend compte que $BC$ est la racine carrée de $BC^2$
Soit $\sqrt {BC^2}=\sqrt{25}$

À retenir

Lorsqu’on effectue une opération d’un côté de l’égalité, on l’effectue également de l’autre côté.

$BC=5$

Conclusion :
La longueur de l’hypoténuse du triangle $ABC$ est de $5\ \text{cm}$.

Le théorème de Pythagore peut servir aussi à calculer la longueur d’un des côtés de l’angle droit.

Exemple

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

$Triangle rectangle en C-Mathématiques-4e$

Connaissant la longueur de $[AB]$ et $[AC]$, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur $[BC]$.

Données :
On sait que, d’après l’énoncé, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et que $[AB]$ est l’hypoténuse de $ABC$ ;

$AB=13\ \text{cm}$ ;
$AC=12\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit $AB^2=AC^2+BC^2$

Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit $13^2=12^2+BC^2$

On isole l’inconnue : $13^2-12^2=12^2+BC^2-12^2$

On veut isoler $BC^2$, il faut donc enlever le $+12^2$. Pour cela il faut faire une soustraction : $-12^2$ du côté droit de l’égalité.
Or dans une égalité, l’opération qu’on effectue d’un côté, on l’effectue de l’autre. On fait donc la soustraction $-12^2$ également du côté gauche de l’égalité.

Soit : $13^2-12^2=BC^2$

On développe :
$169-144=BC^2$
$BC^2=25$
Une égalité est vraie dans les deux sens.
En résolvant, on se rend compte que $BC$ est la racine carrée de $BC^2$
Soit $\sqrt{BC^2}=\sqrt{25}$
Donc $BC=5$

Conclusion :
La longueur du petit côté $[BC]$ du triangle $ABC$ est de $5\ \text{cm}$.

Conclusion :

Le théorème de Pythagore s’applique au triangle rectangle seulement et permet de calculer un côté de celui-ci lorsque l’on connaît les deux autres.
Ce théorème s’exprime de la manière suivante :
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Connaître et utiliser le théorème de Pythagore

Rappel

Activité d’introduction et énoncé du théorème de Pythagore

Activité d’introduction

Théorème de Pythagore

Application

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