Cours : Connaître et utiliser le théorème de Pythagore

Connaître et utiliser le théorème de Pythagore

Introduction :

Le théorème de Pythagore nous permet de travailler sur les triangles rectangles, et plus particulièrement de calculer les longueurs des différents côtés.
Nous allons commencer par effectuer des rappels. Nous allons ensuite faire une activité d’introduction afin de comprendre et définir ce théorème. Nous verrons ensuite quelques exemples mettant en application le théorème. Enfin, nous aborderons la réciproque du théorème de Pythagore, avant d’en donner quelques exemples d’application.

Rappel

Définition

Triangle rectangle :

Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.

Le triangle rectangle possède donc deux côtés dessinant l’angle droit (représentés en bleu) et un troisième côté (représenté en rouge) de longueur supérieure à celle de chacun des deux autres.

$Triangle rectangle-Mathématiques-4e$

À retenir

Le plus grand des côtés du triangle rectangle (en rouge sur le schéma) se nomme l’hypoténuse.

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Activité d’introduction

Commençons par dessiner un triangle rectangle :

$Triangle rectangle-Mathématiques-4e$

On dessine ensuite un carré sur chacun des côtés du triangle :

$Des carrés sur les côtés du triangle rectangle-Mathématiques-4e$

On découpe les trois carrés et on met le plus grand de côté.
On remplit le grand carré à l’aide des deux petits en effectuant des découpages :

$Utiliser les carrés pour calculer une aire-Mathématiques-4e$

On remarque que si on additionne l’aire des deux petits carrés, on obtient l’aire du grand carré.

Traduisons cette activité en langage mathématique : l’aire d’un carré s’obtient en calculant le carré de la longueur de ses côtés.

$Alt texte$

L’aire du petit carré ($a^2$) est obtenue en calculant $AC^2$.
L’aire du moyen carré ($b^2$) est obtenue en calculant $AB^2$.
L’aire du grand carré ($c^2$) est obtenue en calculant $BC^2$.

Théorème de Pythagore

D’après notre activité nous obtenons donc :
$c^2=a^2+b^2$, soit : $BC^2=AC^2+AB^2$, ce qui est l’égalité de Pythagore.

Nous pouvons définir le théorème de la manière suivante.

Théorème

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Voyons maintenant quelques exemples d’application de ce théorème.

Exemple

Le triangle ci-dessous est rectangle en $A$.

$Triangle rectangle en A-Mathématiques-4e$

Connaissant la longueur des deux côtés, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de l’hypoténuse.

Voici un exemple de rédaction :

Données :
Nous savons, d’après le schéma, que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ;

$[AB]$ mesure $4\ \text{cm}$ ;
$[AC]$ mesure $3\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$. Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit : $BC^2=AB^2+AC^2$.

Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit : $BC^2=4^2+3^2$.

On développe :
$\begin {aligned}BC^2&=16+9\\ BC^2&=25\end{aligned}$

En résolvant, on se rend compte que $BC$ est la racine carrée de $BC^2$.
Soit : $\sqrt {BC^2}=\sqrt{25}$.

À retenir

Lorsqu’on effectue une opération d’un côté de l’égalité, on l’effectue également de l’autre côté.

$BC=5$

Conclusion :
La longueur de l’hypoténuse du triangle $ABC$ est de $5\ \text{cm}$.

Le théorème de Pythagore peut servir aussi à calculer la longueur d’un des côtés de l’angle droit.

Exemple

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

$Triangle rectangle en C-Mathématiques-4e$

Connaissant la longueur de $[AB]$ et $[AC]$, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de $[BC]$.

Données :
On sait que, d’après l’énoncé, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et que $[AB]$ est l’hypoténuse de $ABC$ ;

$AB=13\ \text{cm}$ ;
$AC=12\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit : $AB^2=AC^2+BC^2$.

Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit : $13^2=12^2+BC^2$.

On isole l’inconnue : $13^2-12^2=12^2+BC^2-12^2$

On veut isoler $BC^2$, il faut donc enlever le $+12^2$. Pour cela il faut faire une soustraction : $-12^2$ du côté droit de l’égalité.
Or, dans une égalité, l’opération qu’on effectue d’un côté, on l’effectue de l’autre. On fait donc la soustraction $-12^2$ également du côté gauche de l’égalité.

Soit : $13^2-12^2=BC^2$

On développe :
$169-144=BC^2$
$BC^2=25$
Une égalité est vraie dans les deux sens.
En résolvant, on se rend compte que $BC$ est la racine carrée de $BC^2$
Soit $\sqrt{BC^2}=\sqrt{25}$
Donc $BC=5$

Conclusion :
La longueur du petit côté $[BC]$ du triangle $ABC$ est de $5\ \text{cm}$.

Savoir si un triangle est rectangle ou non

Nous venons de voir que, si nous savons qu’un triangle est rectangle et que nous connaissons la longueur de deux de ses côtés, nous pouvons calculer la longueur du troisième côté.
Mais nous pouvons aussi, si nous connaissons la longueur de ses trois côtés, montrer qu’un triangle est rectangle.

Pour cela, nous utilisons la réciproque du théorème de Pythagore.

Théorème

Réciproque du théorème de Pythagore :

Si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Attention

Si celle du théorème de Pythagore est vraie, il faut faire attention : la réciproque d’un théorème n’est pas toujours vraie.

Regardons un exemple, pour voir comment montrer qu’un triangle est rectangle.

Exemple

Soit le triangle $ABC$ tel que :

$$\begin{aligned} AB&=15\ \text{cm} \\ BC&=17\ \text{cm} \\ AC&=8\ \text{cm} \end{aligned}$$

Ce triangle est-il rectangle ?

Nous avons vu plus haut que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long.
Ainsi, si $ABC$ est rectangle, alors son hypoténuse est $[BC]$ (car $BC > AB > AC$) et il est rectangle en $A$.

Donc, nous calculons d’une part le carré de la longueur de $[BC]$ :

$$\begin{aligned} BC^2&=17^2 \\ &=\green{289} \end{aligned}$$

Et, d’autre part, nous calculons la somme des carrés des longueurs de $[AB]$ et $[AC]$ :

$$\begin{aligned} AB^2+AC^2&=15^2+8^2 \\ &=225+64 \\ &=\green{289} \end{aligned}$$

Nous trouvons donc :

$$BC^2=AB^2+AC^2=\green{289}$$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, nous pouvons conclure : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Pour terminer ce cours, donnons une méthode pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

Exemple

Soit le triangle $DEF$ tel que :

$$\begin{aligned} DE&=30\ \text{cm} \\ EF&=20\ \text{cm} \\ DF&=21\ \text{cm} \end{aligned}$$

Ce triangle est-il rectangle ?

Toujours parce que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long, si $DEF$ était rectangle, alors son hypoténuse serait $[DE]$ (car $DE> DF> EF$) et il serait rectangle en $F$.

Donc, nous calculons d’une part le carré de la longueur de $[DE]$ :

$$\begin{aligned} DE^2&=30^2 \\ &=\green{900} \end{aligned}$$

Et, d’autre part, nous calculons la somme des carrés des longueurs de $[EF]$ et $[DF]$ :

$$\begin{aligned} EF^2+DF^2&=20^2+21^2 \\ &=400+441 \\ &=\red{841} \end{aligned}$$

Nous voyons donc que $DE^2=\green{900}$ est différent de $EF^2+DF^2=\red{841}$.
Les longueurs des côtés du triangle $DEF$ ne vérifient pas l’égalité de Pythagore, nous pouvons donc conclure : $DEF$ n’est pas un triangle rectangle.

Astuce

Dans ce dernier exemple, nous avons en fait utilisé ce qu’on appelle la contraposée du théorème de Pythagore (contrairement à la réciproque, qui n’est pas toujours vraie, la contraposée d’un théorème, elle, est toujours vraie) :

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce n’est pas un triangle rectangle.

Conclusion :

Le théorème de Pythagore s’applique au triangle rectangle seulement et permet de calculer un côté de celui-ci lorsque l’on connaît les deux autres.
Ce théorème s’exprime de la manière suivante :
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Nous pouvons aussi nous servir de la réciproque du théorème de Pythagore, qui permet de savoir si un triangle est rectangle ou non, quand on connaît la longueur de ses côtés.