Cours : Connaître et utiliser le théorème de Pythagore

Le triangle ci-dessous est rectangle en $A$.

Connaissant la longueur des deux côtés, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de l’hypoténuse.

Voici un exemple de rédaction :

Données :
Nous savons, d’après le schéma, que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ;

• $[AB]$ mesure $4\ \text{cm}$ ;
• $[AC]$ mesure $3\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$. Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit : $BC^2=AB^2+AC^2$.

Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit : $BC^2=4^2+3^2$.

On développe :
$\begin {aligned}BC^2&=16+9\\ BC^2&=25\end{aligned}$

En résolvant, on se rend compte que $BC$ est la racine carrée de $BC^2$.
Soit : $\sqrt {BC^2}=\sqrt{25}$.

À retenir

Lorsqu’on effectue une opération d’un côté de l’égalité, on l’effectue également de l’autre côté.

$BC=5$

Conclusion :
La longueur de l’hypoténuse du triangle $ABC$ est de $5\ \text{cm}$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Connaissant la longueur de $[AB]$ et $[AC]$, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de $[BC]$.

Données :
On sait que, d’après l’énoncé, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et que $[AB]$ est l’hypoténuse de $ABC$ ;

• $AB=13\ \text{cm}$ ;
• $AC=12\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit : $AB^2=AC^2+BC^2$.

Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit : $13^2=12^2+BC^2$.

On isole l’inconnue : $13^2-12^2=12^2+BC^2-12^2$

• On veut isoler $BC^2$, il faut donc enlever le $+12^2$. Pour cela il faut faire une soustraction : $-12^2$ du côté droit de l’égalité.
  Or, dans une égalité, l’opération qu’on effectue d’un côté, on l’effectue de l’autre. On fait donc la soustraction $-12^2$ également du côté gauche de l’égalité.

Soit : $13^2-12^2=BC^2$

On développe :
$169-144=BC^2$
$BC^2=25$
Une égalité est vraie dans les deux sens.
En résolvant, on se rend compte que $BC$ est la racine carrée de $BC^2$
Soit $\sqrt{BC^2}=\sqrt{25}$
Donc $BC=5$

Conclusion :
La longueur du petit côté $[BC]$ du triangle $ABC$ est de $5\ \text{cm}$.

Soit le triangle $ABC$ tel que :

$$\begin{aligned} AB&=15\ \text{cm} \\ BC&=17\ \text{cm} \\ AC&=8\ \text{cm} \end{aligned}$$

Ce triangle est-il rectangle ?

Nous avons vu plus haut que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long.
Ainsi, si $ABC$ est rectangle, alors son hypoténuse est $[BC]$ (car $BC > AB > AC$) et il est rectangle en $A$.

• Donc, nous calculons d’une part le carré de la longueur de $[BC]$ :

$$\begin{aligned} BC^2&=17^2 \\ &=\green{289} \end{aligned}$$

• Et, d’autre part, nous calculons la somme des carrés des longueurs de $[AB]$ et $[AC]$ :

$$\begin{aligned} AB^2+AC^2&=15^2+8^2 \\ &=225+64 \\ &=\green{289} \end{aligned}$$

• Nous trouvons donc :

$$BC^2=AB^2+AC^2=\green{289}$$

• D’après la réciproque du théorème de Pythagore, nous pouvons conclure : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Soit le triangle $DEF$ tel que :

$$\begin{aligned} DE&=30\ \text{cm} \\ EF&=20\ \text{cm} \\ DF&=21\ \text{cm} \end{aligned}$$

Ce triangle est-il rectangle ?

Toujours parce que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long, si $DEF$ était rectangle, alors son hypoténuse serait $[DE]$ (car $DE> DF> EF$) et il serait rectangle en $F$.

• Donc, nous calculons d’une part le carré de la longueur de $[DE]$ :

$$\begin{aligned} DE^2&=30^2 \\ &=\green{900} \end{aligned}$$

• Et, d’autre part, nous calculons la somme des carrés des longueurs de $[EF]$ et $[DF]$ :

$$\begin{aligned} EF^2+DF^2&=20^2+21^2 \\ &=400+441 \\ &=\red{841} \end{aligned}$$

• Nous voyons donc que $DE^2=\green{900}$ est différent de $EF^2+DF^2=\red{841}$.
• Les longueurs des côtés du triangle $DEF$ ne vérifient pas l’égalité de Pythagore, nous pouvons donc conclure : $DEF$ n’est pas un triangle rectangle.