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Introduction :
Le théorème de Pythagore nous permet de travailler sur les triangles rectangles, et plus particulièrement de calculer les longueurs des différents côtés.
Nous allons commencer par effectuer des rappels. Nous allons ensuite faire une activité d’introduction afin de comprendre et définir ce théorème. Enfin, nous verrons quelques exemples mettant en application le théorème.
Rappel
Triangle rectangle :
Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.
Le triangle rectangle possède donc deux côtés dessinant l’angle droit (représentés en bleu) et un troisième côté (représenté en rouge) de longueur supérieure à celle de chacun des deux autres.
Le plus grand des côtés du triangle rectangle (en rouge sur le schéma) se nomme l’hypoténuse.
Activité d’introduction et énoncé du théorème de Pythagore
Activité d’introduction
Traduisons cette activité en langage mathématique :
Théorème de Pythagore
D’après notre activité nous obtenons donc :
soit ce qui est l’égalité de Pythagore.
Nous pouvons définir le théorème de la manière suivante :
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Application
Le triangle ci-dessous est rectangle en .
Connaissant la longueur des deux côtés, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de l’hypoténuse.
Voici un exemple de rédaction :
Données :
Nous savons, d’après le schéma, que le triangle est rectangle en ;
Application du théorème :
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en .
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit
Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit
On développe :
En résolvant, on se rend compte que est la racine carrée de
Soit
Lorsqu’on effectue une opération d’un côté de l’égalité, on l’effectue également de l’autre côté.
Conclusion :
La longueur de l’hypoténuse du triangle est de .
Le triangle est rectangle en .
Connaissant la longueur de et , il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur .
Données :
On sait que, d’après l’énoncé, le triangle est rectangle en et que est l’hypoténuse de ;
Application du théorème :
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en .
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Soit
Calcul :
On remplace les lettres par les valeurs numériques :
Soit
On isole l’inconnue :
Soit :
On développe :
Une égalité est vraie dans les deux sens.
En résolvant, on se rend compte que est la racine carrée de
Soit
Donc
Conclusion :
La longueur du petit côté du triangle est de .
Conclusion :
Le théorème de Pythagore s’applique au triangle rectangle seulement et permet de calculer un côté de celui-ci lorsque l’on connaît les deux autres.
Ce théorème s’exprime de la manière suivante :
Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.