Le triangle rectangle : théorème de Pythagore et cosinus d'un angle aigu

Le triangle ci-dessous est rectangle en $A$.

Connaissant la longueur des deux côtés, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de l’hypoténuse.

Voici un exemple de rédaction.

Données :
Nous savons, d’après le schéma, que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ;

• $[AB]$ mesure $4\ \text{cm}$ ;
• $[AC]$ mesure $3\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. On a alors :

$$BC^2=AB^2+AC^2$$

Calcul :
On utilise les longueurs connues :

$$\begin{aligned} BC^2&=4^2+3^2 \\ &=16+9 \\ &=25 \end{aligned}$$

On obtient donc, en reconnaissant en $25$ un carré parfait :

$$BC=\sqrt{25}=5$$

Conclusion :
La longueur de l’hypoténuse du triangle $ABC$ est de $5\ \text{cm}$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Connaissant la longueur de $[AB]$ et $[AC]$, il est possible d’utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la longueur de $[BC]$.

Données :
On sait, d’après l’énoncé, que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et que $[AB]$ est l’hypoténuse de $ABC$ ;

• $AB=13\ \text{cm}$ ;
• $AC=12\ \text{cm}$.

Application du théorème :
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. On a alors :

$$AB^2=AC^2+BC^2$$

Calcul :
On utilise les longueurs connues :

$$\begin{aligned} 13^2&=12^2+BC^2 \\ 169&=144+BC^2 \\ BC^2&=169-144 \\ BC^2&=25 \end{aligned}$$

On obtient donc, toujours en reconnaissant en $25$ un carré parfait :

$$BC=\sqrt{25}=5$$

Conclusion :
La longueur du côté $[BC]$ est de $5\ \text{cm}$.

Soit le triangle $ABC$ tel que :

$$\begin{aligned} AB&=15\ \text{cm} \\ BC&=17\ \text{cm} \\ AC&=8\ \text{cm} \end{aligned}$$

Ce triangle est-il rectangle ?

Nous avons vu plus haut que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long.
Ainsi, si $ABC$ est rectangle, alors son hypoténuse est $[BC]$ (car $BC > AB > AC$) et il est rectangle en $A$.

• Donc, nous calculons d’une part le carré de la longueur de $[BC]$ :

$$\begin{aligned} BC^2&=17^2 \\ &=\green{289} \end{aligned}$$

• Et, d’autre part, nous calculons la somme des carrés des longueurs de $[AB]$ et $[AC]$ :

$$\begin{aligned} AB^2+AC^2&=15^2+8^2 \\ &=225+64 \\ &=\green{289} \end{aligned}$$

• Nous trouvons donc :

$$BC^2=AB^2+AC^2=\green{289}$$

• D’après la réciproque du théorème de Pythagore, nous pouvons conclure : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Soit le triangle $DEF$ tel que :

$$\begin{aligned} DE&=30\ \text{cm} \\ EF&=20\ \text{cm} \\ DF&=21\ \text{cm} \end{aligned}$$

Ce triangle est-il rectangle ?

Toujours parce que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long, si $DEF$ était rectangle, alors son hypoténuse serait $[DE]$ (car $DE> DF> EF$) et il serait rectangle en $F$.

• Donc, nous calculons d’une part le carré de la longueur de $[DE]$ :

$$\begin{aligned} DE^2&=30^2 \\ &=\green{900} \end{aligned}$$

• Et, d’autre part, nous calculons la somme des carrés des longueurs de $[EF]$ et $[DF]$ :

$$\begin{aligned} EF^2+DF^2&=20^2+21^2 \\ &=400+441 \\ &=\red{841} \end{aligned}$$

• Nous voyons donc que $DE^2=\green{900}$ est différent de $EF^2+DF^2=\red{841}$.
• Les longueurs des côtés du triangle $DEF$ ne vérifient pas l’égalité de Pythagore, nous pouvons donc conclure : $DEF$ n’est pas un triangle rectangle.

On considère le triangle $OHR$ rectangle en $H$, représenté ci-dessous, avec deux longueurs connues :

On cherche à déterminer les mesures des angles $\widehat O$ et $\widehat R$, arrondis au degré près.

Du triangle $OHR$, on connaît la longueur de l’hypoténuse, $[OR]$, et du côté $[HO]$, adjacent à l’angle $\widehat O$. On sait donc calculer le cosinus de $\widehat O$ :

$$\cos \widehat O=\dfrac{HO}{OR}=\dfrac 69=\dfrac 23$$

On utilise la calculatrice en tapant : $\purple{\arccos(2\div 3)}$.

• Celle-ci retourne, arrondie au degré près :

$$\widehat O\approx \boxed{48\degree}$$

L’angle $\widehat O$ mesure environ $48\degree$.

Pour $\widehat R$, le plus simple est de se souvenir que les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

• On trouve alors :

$$\widehat R=90\degree-\widehat O\approx 90\degree-48\degree\approx \boxed{42\degree}$$

L’angle $\widehat R$ mesure environ $42\degree$.