Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Les racines carrées

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Une racine carré ne peut parfois ni s'écrire sous la forme d’une écriture décimale exacte ni sous la forme d’une écriture fractionnaire. La calculatrice ne peut en donner qu’une valeur arrondie. Ces nombres sont dits « irrationnels ». On doit par conséquent les manipuler sous forme de racine carrée. C’est ce que nous allons voir dans ce cours. Nous commencerons par un rappel de ce que sont les carrés parfaits, puis nous étudierons les racines carrées de nombres positifs. Enfin, nous verrons comment calculer avec des racines carrées.

Rappel

Il sera utile pour ce cours de connaître par cœur la liste des carrés parfaits.

12=1×1=11^2=1\times1=1
22=2×2=42^2=2\times2=4
32=3×3=93^2=3\times3=9
42=4×4=164^2=4\times4=16
52=5×5=255^2=5\times5=25
62=6×6=366^2=6\times6=36

72=7×7=497^2=7\times7=49
82=8×8=648^2=8\times8=64
92=9×9=819^2=9\times9=81
102=10×10=10010^2=10\times10=100
112=11×11=12111^2=11\times11=121
122=12×12=14412^2=12\times12=144

bannière definition

Définition

Carré parfait :

Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.

Racine carrée d’un nombre positif

bannière definition

Définition

Racine carrée :

Soit aa un nombre positif. On appelle racine carrée de aa le nombre positif dont le carré est égal à aa. On note ce nombre a\sqrt{a} et on le lit « racine carrée de aa ». Le symbole «  \sqrt{\ } » est appelé radical.
Autrement dit : a0\sqrt a\geq0 et (a)2=a\left(\sqrt a\right)^2=a

bannière attention

Attention

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

bannière exemple

Exemple

44 est un nombre positif et 42=164^2=16 donc 16=4\sqrt{16}=4

23\dfrac{2}{3} est un nombre positif et (23)2=49\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9} donc 49=23\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}

2,12,1 est un nombre positif et (2,1)2=4,41(2,1)^2=4,41 donc 4,41=2,1\sqrt{4,41}=2,1

7\sqrt7 est un nombre irrationnel. On conserve cette écriture dans les calculs, mais on peut cependant donner une valeur arrondie de ce nombre : 72,65\sqrt7\approx2,65 (valeur arrondie au centième).

bannière astuce

Astuce

Cas particuliers :

  • 0=0\sqrt0=0
  • 1=1\sqrt1=1
bannière propriete

Propriété

Pour tout nombre positif aa : (a)2=a\left(\sqrt a\right)^2=a a2=a\sqrt {a^2}= a

bannière exemple

Exemple

(3)2=3\left(\sqrt 3\right)^2=3 et 32=3\sqrt {3^2}=3

(4,51)2=4,51\left(\sqrt {4,51}\right)^2=4,51 et 4,512=4,51\sqrt {4,51^2}=4,51

(73)2=73\left(\sqrt {\dfrac73}\right)^2=\dfrac73 et (73)2=73\sqrt {\left(\dfrac73\right)^2}=\dfrac73

bannière attention

Attention

(3)2(3)\sqrt{(-3)^2}\neq(-3)
En effet, (3)(-3) n’est pas un nombre positif.
Comme (3)2=32(-3)^2=3^2, alors (3)2=32=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3

Calculs avec les racines carrées

Racine carrée d’un produit

bannière propriete

Propriété

Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres.
Pour tous les nombres positifs aa et bb :

a×b=a×b\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}

bannière exemple

Exemple

2×8=2×8=16=4\sqrt 2\times\sqrt 8= \sqrt {2\times8}=\sqrt {16}=4

9×25=9×25=3×5=15\sqrt {9\times25}=\sqrt 9\times\sqrt {25}=3\times5=15

12=4×3=4×3=2×3=23\sqrt {12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt 4\times\sqrt 3=2\times\sqrt 3=2\sqrt 3 (le signe ×\times est sous-entendu).

45=9×5=9×5=3×5=35\sqrt {45}=\sqrt {9\times5}=\sqrt 9\times\sqrt 5=3\times \sqrt 5=3\sqrt 5 (le signe ×\times est sous-entendu).

Racine carrée d’un quotient

bannière propriete

Propriété

Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres.
Ainsi, pour tous les nombres positifs aa et bb avec b0b \neq 0 on a : ab=ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}

bannière exemple

Exemple

182=182=9=3\dfrac{\sqrt {18}}{\sqrt 2}= \sqrt {\dfrac{18}{2}}=\sqrt 9=3

6449=6449=87\sqrt {\dfrac {64}{49}}=\dfrac{\sqrt {64}}{\sqrt {49}}=\dfrac87

28=28=14=14=12\dfrac{\sqrt {2}}{\sqrt 8}= \sqrt {\dfrac{2}{8}}=\sqrt {\dfrac14}=\dfrac{\sqrt {1}}{\sqrt 4}=\dfrac12

Racine carrée d’une addition

bannière attention

Attention

Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées.
En général : a+ba+b\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt {a+b}

bannière exemple

Exemple

64+36=8+6=14\sqrt {64}+\sqrt {36}=8+6=14

et 64+36=100=10\sqrt {64+36}=\sqrt {100}=10

donc 64+3664+36\sqrt{64}+\sqrt{36}\neq\sqrt{64+36}

Utilisation des propriétés des racines carrées

/a.

Écrivons C=75C=\sqrt{75} sous la forme aba\sqrt b avec aa et bb entiers positifs et bb le plus petit possible.

  • On écrit 7575 sous la forme d’un produit dont l’un des facteur est un carré parfait, le plus grand possible.

C=25×3C=\sqrt{25\times3}

  • On utilise la propriété selon laquelle a×b=a×b\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}

C=25×3C=\sqrt{25}\times\sqrt3

  • On remplace 25\sqrt{25} par sa valeur 55.

C=5×3=53C=5\times\sqrt3=5\sqrt3

  • Le signe ×\times est sous-entendu.

/b.

Écrivons D=72200+78D=\sqrt{72}-\sqrt{200}+7\sqrt8 sous la forme aba\sqrt b avec aa entier relatif et bb entier positif le plus petit possible.

  • On écrit 7272, 200200 et 88 sous la forme de produits dont l’un des facteurs est un carré parfait, le plus grand possible.

72=36×2\sqrt{72}=\sqrt{36\times2} 200=100×2\sqrt{200}=\sqrt{100\times2} 8=4×2\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}

  • On utilise la propriété selon laquelle a×b=a×b\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}

72=36×2\sqrt{72}=\sqrt{36}\times\sqrt{2} 200=100×2\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2} 8=4×2\sqrt{8}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}

  • On remplace 36\sqrt{36} par sa valeur 66, 100\sqrt{100} par sa valeur 1010 et 4\sqrt{4} par sa valeur 22.

72=6×2=62\sqrt{72}=6\times \sqrt2=6 \sqrt2 200=10×2=102\sqrt{200}=10\times \sqrt2=10\sqrt2 8=2×2=22\sqrt{8}=2\times \sqrt2=2\sqrt2

  • On peut maintenant calculer DD.

D=62102+7×22D=62102+142D=102\begin {aligned} D&=6\sqrt2-10\sqrt2+7\times2\sqrt2\ D&=6\sqrt2-10\sqrt2+14\sqrt2\ D&=10\sqrt2 \end {aligned}

Conclusion :

La découverte des racines carrées a permis de résoudre de nombreux problèmes dans des domaines variés tels que la géométrie, l’architecture, la physique, mais aussi la musique, l’imprimerie…

Cette écriture des nombres avec des radicaux permet d’effectuer certains calculs tout en obtenant des valeurs exactes pour les résultats.