Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Les racines carrées

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Une racine carré ne peut parfois ni s'écrire sous la forme d’une écriture décimale exacte ni sous la forme d’une écriture fractionnaire. La calculatrice ne peut en donner qu’une valeur arrondie. Ces nombres sont dits « irrationnels ». On doit par conséquent les manipuler sous forme de racine carrée. C’est ce que nous allons voir dans ce cours. Nous commencerons par un rappel de ce que sont les carrés parfaits, puis nous étudierons les racines carrées de nombres positifs. Enfin, nous verrons comment calculer avec des racines carrées.

Rappel

Il sera utile pour ce cours de connaître par cœur la liste des carrés parfaits.

$1^2=1\times1=1$
$2^2=2\times2=4$
$3^2=3\times3=9$
$4^2=4\times4=16$
$5^2=5\times5=25$
$6^2=6\times6=36$

$7^2=7\times7=49$
$8^2=8\times8=64$
$9^2=9\times9=81$
$10^2=10\times10=100$
$11^2=11\times11=121$
$12^2=12\times12=144$

bannière definition

Définition

Carré parfait :

Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.

Racine carrée d’un nombre positif

bannière definition

Définition

Racine carrée :

Soit $a$ un nombre positif. On appelle racine carrée de $a$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On note ce nombre $\sqrt{a}$ et on le lit « racine carrée de $a$ ». Le symbole « $\sqrt{\ }$ » est appelé radical.
Autrement dit : $\sqrt a\geq0$ et $\left(\sqrt a\right)^2=a$

bannière attention

Attention

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

bannière exemple

Exemple

$4$ est un nombre positif et $4^2=16$ donc $\sqrt{16}=4$

$\dfrac{2}{3}$ est un nombre positif et $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$ donc $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$

$2,1$ est un nombre positif et $(2,1)^2=4,41$ donc $\sqrt{4,41}=2,1$

$\sqrt7$ est un nombre irrationnel. On conserve cette écriture dans les calculs, mais on peut cependant donner une valeur arrondie de ce nombre : $\sqrt7\approx2,65$ (valeur arrondie au centième).

bannière astuce

Astuce

Cas particuliers :

  • $\sqrt0=0$
  • $\sqrt1=1$
bannière propriete

Propriété

Pour tout nombre positif $a$ : $$\left(\sqrt a\right)^2=a$$ $$\sqrt {a^2}= a$$

bannière exemple

Exemple

$\left(\sqrt 3\right)^2=3$ et $\sqrt {3^2}=3$

$\left(\sqrt {4,51}\right)^2=4,51$ et $\sqrt {4,51^2}=4,51$

$\left(\sqrt {\dfrac73}\right)^2=\dfrac73$ et $\sqrt {\left(\dfrac73\right)^2}=\dfrac73$

bannière attention

Attention

$\sqrt{(-3)^2}\neq(-3)$
En effet, $(-3)$ n’est pas un nombre positif.
Comme $(-3)^2=3^2$, alors $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3$

Calculs avec les racines carrées

Racine carrée d’un produit

bannière propriete

Propriété

Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres.
Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ :

$$\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$$

bannière exemple

Exemple

$\sqrt 2\times\sqrt 8= \sqrt {2\times8}=\sqrt {16}=4$

$\sqrt {9\times25}=\sqrt 9\times\sqrt {25}=3\times5=15$

$\sqrt {12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt 4\times\sqrt 3=2\times\sqrt 3=2\sqrt 3$ (le signe $\times$ est sous-entendu).

$\sqrt {45}=\sqrt {9\times5}=\sqrt 9\times\sqrt 5=3\times \sqrt 5=3\sqrt 5$ (le signe $\times$ est sous-entendu).

Racine carrée d’un quotient

bannière propriete

Propriété

Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres.
Ainsi, pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ avec $b \neq 0$ on a : $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$

bannière exemple

Exemple

$\dfrac{\sqrt {18}}{\sqrt 2}= \sqrt {\dfrac{18}{2}}=\sqrt 9=3$

$\sqrt {\dfrac {64}{49}}=\dfrac{\sqrt {64}}{\sqrt {49}}=\dfrac87$

$\dfrac{\sqrt {2}}{\sqrt 8}= \sqrt {\dfrac{2}{8}}=\sqrt {\dfrac14}=\dfrac{\sqrt {1}}{\sqrt 4}=\dfrac12$

Racine carrée d’une addition

bannière attention

Attention

Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées.
En général : $$\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt {a+b}$$

bannière exemple

Exemple

$\sqrt {64}+\sqrt {36}=8+6=14$

et $\sqrt {64+36}=\sqrt {100}=10$

donc $\sqrt{64}+\sqrt{36}\neq\sqrt{64+36}$

Utilisation des propriétés des racines carrées

Écrire un nombre sous la forme $a\sqrt b$

Écrivons $C=\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ et $b$ entiers positifs et $b$ le plus petit possible.

  • On écrit $75$ sous la forme d’un produit dont l’un des facteur est un carré parfait, le plus grand possible.

$$C=\sqrt{25\times3}$$

  • On utilise la propriété selon laquelle $\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$

$$C=\sqrt{25}\times\sqrt3$$

  • On remplace $\sqrt{25}$ par sa valeur $5$.

$$C=5\times\sqrt3=5\sqrt3$$

  • Le signe $\times$ est sous-entendu.

Écrire une somme de racines sous la forme $a\sqrt b$

Écrivons $D=\sqrt{72}-\sqrt{200}+7\sqrt8$ sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ entier relatif et $b$ entier positif le plus petit possible.

  • On écrit $72$, $200$ et $8$ sous la forme de produits dont l’un des facteurs est un carré parfait, le plus grand possible.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}$$ $$\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}$$ $$\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}$$

  • On utilise la propriété selon laquelle $\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$

$$\sqrt{72}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}$$ $$\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}$$ $$\sqrt{8}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}$$

  • On remplace $\sqrt{36}$ par sa valeur $6$, $\sqrt{100}$ par sa valeur $10$ et $\sqrt{4}$ par sa valeur $2$.

$$\sqrt{72}=6\times \sqrt2=6 \sqrt2$$ $$\sqrt{200}=10\times \sqrt2=10\sqrt2$$ $$\sqrt{8}=2\times \sqrt2=2\sqrt2$$

  • On peut maintenant calculer $D$.

$$\begin {aligned} D&=6\sqrt2-10\sqrt2+7\times2\sqrt2\\ D&=6\sqrt2-10\sqrt2+14\sqrt2\\ D&=10\sqrt2 \end {aligned}$$

Conclusion :

La découverte des racines carrées a permis de résoudre de nombreux problèmes dans des domaines variés tels que la géométrie, l’architecture, la physique, mais aussi la musique, l’imprimerie…

Cette écriture des nombres avec des radicaux permet d’effectuer certains calculs tout en obtenant des valeurs exactes pour les résultats.