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Les vecteurs : définition et résolution
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons voir une nouvelle notion souvent utilisée en mathématiques mais aussi en physique. Comme toute nouvelle notion, il faut s’approprier vocabulaire et notations appropriés avant de se pencher sur les méthodes de travail et les subtilités suivant les données de l’énoncé.
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
Vocabulaire et notation
Un vecteur a un sens, une direction et une longueur.
Pour les vecteurs, les mathématiques ont une écriture et un vocabulaire spécifiques.
Il ne faut pas confondre direction et sens. Par exemple, le mouvement d’un ascenseur a une direction : la verticale ; et deux sens : la montée et la descente.
Définitions
Vecteurs égaux :
Soient , , et quatre points du plan tels que et d’une part et et d’autre part soient distincts. Dire que les vecteurs et sont égaux signifie qu’ils ont la même direction, le même sens, et que les longueurs et sont égales.
Vecteur nul :
Lorsque deux points et sont confondus, on dit que le vecteur est un vecteur nul et on note ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n’a ni direction, ni sens.
Norme d’un vecteur :
Soit un vecteur. On appelle norme du vecteur la longueur notée .
Résolution graphique
Égalité de vecteurs
Graphiquement, deux vecteurs sont égaux s’ils ont le même sens, la même direction et la même norme.
Inversement, si deux vecteurs ont le même sens, la même direction et la même norme, alors ils sont égaux.
Une égalité de vecteurs permet aussi de montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
Si on reprend les vecteurs et de la figure précédente, on peut conclure que est un parallélogramme car et sont égaux.
Il faut prendre garde à l’ordre des lettres lorsqu’on nomme le parallélogramme : ici c’est , et non !
Si , alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Additionner des vecteurs
On peut déplacer des vecteurs où on veut à condition qu’ils aient même direction, le même sens et la même norme.
Pour additionner deux vecteurs graphiquement, on déplace un vecteur si besoin de manière à ce que l’extrémité du premier vecteur soit confondue avec l’origine du deuxième vecteur.
Somme de vecteurs :
Soit et deux vecteurs du plan. On appelle somme des vecteurs et le vecteur noté .
Somme de deux vecteurs
Pour tout vecteur et du plan, .
Placer un point
Il est aussi possible de placer un point à l’aide de vecteurs.
On peut déduire l’emplacement du point de deux manières :
Résolution avec les coordonnées
On peut placer les vecteurs dans un repère orthonormé.
Cette dernière formule rappelle la formule pour calculer la longueur dans les configurations planes. C’est normal puisque la norme d’un vecteur est en fait la distance entre le point origine et le point extrémité de ce vecteur.
Égalité de vecteurs
Si alors les coordonnées de et les coordonnées de sont égales.
C’est-à-dire que et
Additionner des vecteurs
Soient et deux vecteurs du plan, alors le vecteur a pour coordonnées :
Trouver les coordonnées d’un point
Soient , et trois points du plan tels que . Alors, on peut écrire les égalités suivantes :
C’est-à-dire :
Résolution par le calcul
Égalité de vecteurs
Si , cela implique que l’on peut remplacer le vecteur par le vecteur dans l’expression ou inversement, remplacer le vecteur par le vecteur .
Additionner des vecteurs
Pour additionner deux vecteurs par le calcul, on utilise la relation de Chasles.
Relation de Chasles :
Autrement dit, on peut additionner deux vecteurs à condition que l’extrémité du premier vecteur soit identique à l’origine du second vecteur.
On peut aussi utiliser la relation de Chasles dans l’autre sens, c’est-à-dire que parfois, il sera utile de rajouter une ou plusieurs lettres dans un vecteur, ou de décomposer un vecteur :
La relation de Chasles ouvre donc plein de possibilités de calcul. Pour ne pas s’y perdre, il faut garder en tête le résultat cherché lorsque l’on décompose les vecteurs.
La différence des vecteurs et est la somme du vecteur et de
Trouver un point
On peut être amené à utiliser des calculs pour pouvoir placer un point graphiquement.
Placer le point tel que , et soient trois points du plan et .
Il s’agit d’utiliser les règles de calcul vues plus haut pour exprimer un vecteur ayant pour extrémité le point cherché en fonction d’un ou plusieurs vecteurs connus, c’est-à-dire sans le point qu’on cherche.