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Les vecteurs : définition et résolution

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​Introduction :

Dans ce cours, nous allons voir une nouvelle notion souvent utilisée en mathématiques mais aussi en physique. Comme toute nouvelle notion, il faut s’approprier vocabulaire et notations appropriés avant de se pencher sur les méthodes de travail et les subtilités suivant les données de l’énoncé.

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Vocabulaire et notation

Un vecteur a un sens, une direction et une longueur.

Pour les vecteurs, les mathématiques ont une écriture et un vocabulaire spécifiques.

  • Un vecteur est noté $\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{u}$.
  • La norme d’un vecteur, notée $||\overrightarrow{AB}||$ est la longueur du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ou, autrement dit, la distance entre les points $A$ et $B$.
  • Le point origine du vecteur $\overrightarrow{AB}$ (ici le point $A$) est le point de départ qui en caractérise le sens.
  • Le point extrémité de $\overrightarrow{AB}$ (ici le point $B$) est le point d’arrivée qui en caractérise le sens.
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Attention

Il ne faut pas confondre direction et sens. Par exemple, le mouvement d’un ascenseur a une direction : la verticale ; et deux sens : la montée et la descente.

  • Le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{AA}$ est un vecteur qui a le point origine et le point extrémité confondus.
  • Le vecteur opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est noté $\overrightarrow{BA}$ ou alors $-\overrightarrow{AB}$. Son sens est contraire à celui du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Définitions

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Définition

Vecteurs égaux :

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan tels que $A$ et $B$ d’une part et $C$ et $D$ d’autre part soient distincts. Dire que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux signifie qu’ils ont la même direction, le même sens, et que les longueurs $AB$ et $CD$ sont égales.

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Définition

Vecteur nul :

Lorsque deux points $A$ et $B$ sont confondus, on dit que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur nul et on note $\overrightarrow{0}$ ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n’a ni direction, ni sens.

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Définition

Norme d’un vecteur :

Soit $\overrightarrow{AB}$ un vecteur. On appelle norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ la longueur $AB$ notée $||\overrightarrow{AB}||$.

Résolution graphique

Égalité de vecteurs

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À retenir

Graphiquement, deux vecteurs sont égaux s’ils ont le même sens, la même direction et la même norme.

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Exemple

  • Si on sait que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, les longueurs $AB$ et $CD$ sont égales et les sens sont identiques, donc les flèches sont identiques :

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

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À retenir

Inversement, si deux vecteurs ont le même sens, la même direction et la même norme, alors ils sont égaux.

Une égalité de vecteurs permet aussi de montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

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Exemple

Si on reprend les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ de la figure précédente, on peut conclure que $ABDC$ est un parallélogramme car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux.

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Attention

Il faut prendre garde à l’ordre des lettres lorsqu’on nomme le parallélogramme : ici c’est $ABDC$, et non $ABCD$ !

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Propriété

Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, alors le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Additionner des vecteurs

On peut déplacer des vecteurs où on veut à condition qu’ils aient même direction, le même sens et la même norme.

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À retenir

Pour additionner deux vecteurs graphiquement, on déplace un vecteur si besoin de manière à ce que l’extrémité du premier vecteur soit confondue avec l’origine du deuxième vecteur.

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Définition

Somme de vecteurs :

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. On appelle somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ le vecteur noté $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Somme de deux vecteurs

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Propriété

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ du plan, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$.

Placer un point

Il est aussi possible de placer un point à l’aide de vecteurs.

  • Soient $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

On peut déduire l’emplacement du point $D$ de deux manières :

  • en en déduisant que $ABDC$ est un parallélogramme ;
  • en déplaçant le vecteur $\overrightarrow{AB}$ de manière à avoir les points $A$ et $C$ confondus. Le point $D$ est alors à l’extrémité de la flèche.

Résolution avec les coordonnées

On peut placer les vecteurs dans un repère orthonormé.

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Propriété

  • Soient $A(x_A\ ;y_\text{A})$ et $B(x_B\ ;y_B)$ deux points du plan.
  • Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A) $.
  • Le vecteur nul a pour coordonnées $\overrightarrow{0}(0\ ;0)$.
  • La norme $||\overrightarrow{AB}||$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est, pour tous points $A(x_A\ ;y_A)$ et $B(x_B\ ;y_B)$ :

$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

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Astuce

Cette dernière formule rappelle la formule pour calculer la longueur $AB$ dans les configurations planes. C’est normal puisque la norme d’un vecteur est en fait la distance entre le point origine et le point extrémité de ce vecteur.

Égalité de vecteurs

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Propriété

Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ alors les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(x_{\overrightarrow{AB}} ;y_{\overrightarrow{AB}})$ et les coordonnées de $\overrightarrow{CD}\ (\ x_{\overrightarrow{CD}}\ ;\ y_{\overrightarrow{CD}})$ sont égales.

C’est-à-dire que $x_{\overrightarrow{AB}}=x_{\overrightarrow{CD}}$ et $y_{\overrightarrow{AB}}=y_{\overrightarrow{CD}}$

Additionner des vecteurs

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Propriété

Soient $\overrightarrow{u}\ (x_{\overrightarrow{u}}\ ;\ y_{\overrightarrow{u}})$ et $\overrightarrow{v}\ (x_{\overrightarrow{v}}; y_{\overrightarrow{v}})$ deux vecteurs du plan, alors le vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées :

$(x_{\overrightarrow{u}}+x_{\overrightarrow{v}}\ ;\ y_{\overrightarrow{u}}+y_{\overrightarrow{v}})$

Trouver les coordonnées d’un point

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Propriété

Soient $A(x_A\ ;y_A)$, $B(x_B\ ;y_B)$ et $C(x_C\ ;y_C)$ trois points du plan tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Alors, on peut écrire les égalités suivantes :

$\bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x_B-x_A&=&x_D-x_C \\ y_B-y_A&=&y_D-y_C \end{array}$

C’est-à-dire :

$\bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x_D&=&x_B-x_A+x_C \\ y_D&=&y_B-y_A+y_C\end{array}$

Résolution par le calcul

Égalité de vecteurs

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À retenir

Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, cela implique que l’on peut remplacer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ par le vecteur $\overrightarrow{CD}$ dans l’expression ou inversement, remplacer le vecteur $\overrightarrow{CD}$ par le vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Additionner des vecteurs

Pour additionner deux vecteurs par le calcul, on utilise la relation de Chasles.

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Définition

Relation de Chasles :

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$

Autrement dit, on peut additionner deux vecteurs à condition que l’extrémité du premier vecteur soit identique à l’origine du second vecteur.

Alt texte

On peut aussi utiliser la relation de Chasles dans l’autre sens, c’est-à-dire que parfois, il sera utile de rajouter une ou plusieurs lettres dans un vecteur, ou de décomposer un vecteur :

$$\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$$

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Astuce

La relation de Chasles ouvre donc plein de possibilités de calcul. Pour ne pas s’y perdre, il faut garder en tête le résultat cherché lorsque l’on décompose les vecteurs.

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À retenir

La différence des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est la somme du vecteur $\overrightarrow{u}$ et de $-\overrightarrow{v}:$

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})$$

Trouver un point

On peut être amené à utiliser des calculs pour pouvoir placer un point graphiquement.

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Exemple

Placer le point $M$ tel que $A$, $B$ et $C$ soient trois points du plan et $-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.

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Astuce

Il s’agit d’utiliser les règles de calcul vues plus haut pour exprimer un vecteur ayant pour extrémité le point cherché en fonction d’un ou plusieurs vecteurs connus, c’est-à-dire sans le point qu’on cherche.

$\begin{aligned} -\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}&=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}&=\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA} \\ 2\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AM}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) \end{aligned}$

  • À partir de cette relation, on peut placer le point $M$ ou trouver ses coordonnées.