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Les vecteurs : définition et résolution

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​Introduction :

Dans ce cours, nous allons voir une nouvelle notion souvent utilisée en mathématiques mais aussi en physique. Comme toute nouvelle notion, il faut s’approprier vocabulaire et notations appropriés avant de se pencher sur les méthodes de travail et les subtilités suivant les données de l’énoncé.

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Vocabulaire et notation

Un vecteur a un sens, une direction et une longueur.

Pour les vecteurs, les mathématiques ont une écriture et un vocabulaire spécifiques.

  • Un vecteur est noté AB\overrightarrow{AB} ou u\overrightarrow{u}.
  • La norme d’un vecteur, notée AB||\overrightarrow{AB}|| est la longueur du vecteur AB\overrightarrow{AB} ou, autrement dit, la distance entre les points AA et BB.
  • Le point origine du vecteur AB\overrightarrow{AB} (ici le point AA) est le point de départ qui en caractérise le sens.
  • Le point extrémité de AB\overrightarrow{AB} (ici le point BB) est le point d’arrivée qui en caractérise le sens.
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Attention

Il ne faut pas confondre direction et sens. Par exemple, le mouvement d’un ascenseur a une direction : la verticale ; et deux sens : la montée et la descente.

  • Le vecteur nul, noté 0\overrightarrow{0} ou AA\overrightarrow{AA} est un vecteur qui a le point origine et le point extrémité confondus.
  • Le vecteur opposé du vecteur AB\overrightarrow{AB} est noté BA\overrightarrow{BA} ou alors AB-\overrightarrow{AB}. Son sens est contraire à celui du vecteur AB\overrightarrow{AB}.

Définitions

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Définition

Vecteurs égaux :

Soient AA, BB, CC et DD quatre points du plan tels que AA et BB d’une part et CC et DD d’autre part soient distincts. Dire que les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont égaux signifie qu’ils ont la même direction, le même sens, et que les longueurs ABAB et CDCD sont égales.

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Définition

Vecteur nul :

Lorsque deux points AA et BB sont confondus, on dit que le vecteur AB\overrightarrow{AB} est un vecteur nul et on note 0\overrightarrow{0} ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n’a ni direction, ni sens.

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Définition

Norme d’un vecteur :

Soit AB\overrightarrow{AB} un vecteur. On appelle norme du vecteur AB\overrightarrow{AB} la longueur ABAB notée AB||\overrightarrow{AB}||.

Résolution graphique

Égalité de vecteurs

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À retenir

Graphiquement, deux vecteurs sont égaux s’ils ont le même sens, la même direction et la même norme.

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Exemple

  • Si on sait que les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont égaux, alors les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, les longueurs ABAB et CDCD sont égales et les sens sont identiques, donc les flèches sont identiques :

AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}

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À retenir

Inversement, si deux vecteurs ont le même sens, la même direction et la même norme, alors ils sont égaux.

Une égalité de vecteurs permet aussi de montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

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Exemple

Si on reprend les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} de la figure précédente, on peut conclure que ABDCABDC est un parallélogramme car AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont égaux.

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Attention

Il faut prendre garde à l’ordre des lettres lorsqu’on nomme le parallélogramme : ici c’est ABDCABDC, et non ABCDABCD !

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Propriété

Si AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, alors le quadrilatère ABDCABDC est un parallélogramme.

Additionner des vecteurs

On peut déplacer des vecteurs où on veut à condition qu’ils aient même direction, le même sens et la même norme.

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À retenir

Pour additionner deux vecteurs graphiquement, on déplace un vecteur si besoin de manière à ce que l’extrémité du premier vecteur soit confondue avec l’origine du deuxième vecteur.

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Définition

Somme de vecteurs :

Soit u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs du plan. On appelle somme des vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} le vecteur noté u+v\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.

Somme de deux vecteurs

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Propriété

Pour tout vecteur u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} du plan, u+v=v+u\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.

Placer un point

Il est aussi possible de placer un point à l’aide de vecteurs.

  • Soient AA, BB et CC tels que AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.

On peut déduire l’emplacement du point DD de deux manières :

  • en en déduisant que ABDCABDC est un parallélogramme ;
  • en déplaçant le vecteur AB\overrightarrow{AB} de manière à avoir les points AA et CC confondus. Le point DD est alors à l’extrémité de la flèche.

Résolution avec les coordonnées

On peut placer les vecteurs dans un repère orthonormé.

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Propriété

  • Soient A(xA ;yA)A(xA\ ;y\text{A}) et B(xB ;yB)B(xB\ ;yB) deux points du plan.
  • Le vecteur AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xBxA ; yByA)(xB-xA\ ;\ yB-yA) .
  • Le vecteur nul a pour coordonnées 0(0 ;0)\overrightarrow{0}(0\ ;0).
  • La norme AB||\overrightarrow{AB}|| du vecteur AB\overrightarrow{AB} est, pour tous points A(xA ;yA)A(xA\ ;yA) et B(xB ;yB)B(xB\ ;yB) :

AB=(xBxA)2+(yByA)2||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}

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Astuce

Cette dernière formule rappelle la formule pour calculer la longueur ABAB dans les configurations planes. C’est normal puisque la norme d’un vecteur est en fait la distance entre le point origine et le point extrémité de ce vecteur.

Égalité de vecteurs

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Propriété

Si AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} alors les coordonnées de AB(xAB;yAB)\overrightarrow{AB}(x{\overrightarrow{AB}} ;y{\overrightarrow{AB}}) et les coordonnées de CD ( xCD ; yCD)\overrightarrow{CD}\ (\ x{\overrightarrow{CD}}\ ;\ y{\overrightarrow{CD}}) sont égales.

C’est-à-dire que xAB=xCDx{\overrightarrow{AB}}=x{\overrightarrow{CD}} et yAB=yCDy{\overrightarrow{AB}}=y{\overrightarrow{CD}}

Additionner des vecteurs

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Propriété

Soient u (xu ; yu)\overrightarrow{u}\ (x{\overrightarrow{u}}\ ;\ y{\overrightarrow{u}}) et v (xv;yv)\overrightarrow{v}\ (x{\overrightarrow{v}}; y{\overrightarrow{v}}) deux vecteurs du plan, alors le vecteur u+v\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées :

(xu+xv ; yu+yv)(x{\overrightarrow{u}}+x{\overrightarrow{v}}\ ;\ y{\overrightarrow{u}}+y{\overrightarrow{v}})

Trouver les coordonnées d’un point

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Propriété

Soient A(xA ;yA)A(xA\ ;yA), B(xB ;yB)B(xB\ ;yB) et C(xC ;yC)C(xC\ ;yC) trois points du plan tels que AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. Alors, on peut écrire les égalités suivantes :

{xBxA=xDxCyByA=yDyC\bigg\lbrace \begin{array}{rcr} xB-xA&=&xD-xC \ yB-yA&=&yD-yC \end{array}

C’est-à-dire :

{xD=xBxA+xCyD=yByA+yC\bigg\lbrace \begin{array}{rcr} xD&=&xB-xA+xC \ yD&=&yB-yA+yC\end{array}

Résolution par le calcul

Égalité de vecteurs

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À retenir

Si AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, cela implique que l’on peut remplacer le vecteur AB\overrightarrow{AB} par le vecteur CD\overrightarrow{CD} dans l’expression ou inversement, remplacer le vecteur CD\overrightarrow{CD} par le vecteur AB\overrightarrow{AB}.

Additionner des vecteurs

Pour additionner deux vecteurs par le calcul, on utilise la relation de Chasles.

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Définition

Relation de Chasles :

AC+CB=AB\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}

Autrement dit, on peut additionner deux vecteurs à condition que l’extrémité du premier vecteur soit identique à l’origine du second vecteur.

Alt texte

On peut aussi utiliser la relation de Chasles dans l’autre sens, c’est-à-dire que parfois, il sera utile de rajouter une ou plusieurs lettres dans un vecteur, ou de décomposer un vecteur :

MF=MC+CD+DF\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}

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Astuce

La relation de Chasles ouvre donc plein de possibilités de calcul. Pour ne pas s’y perdre, il faut garder en tête le résultat cherché lorsque l’on décompose les vecteurs.

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À retenir

La différence des vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} est la somme du vecteur u\overrightarrow{u} et de v:-\overrightarrow{v}:

uv=u+(v)\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})

Trouver un point

On peut être amené à utiliser des calculs pour pouvoir placer un point graphiquement.

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Exemple

Placer le point MM tel que AA, BB et CC soient trois points du plan et MAAB+CM=0-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}.

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Astuce

Il s’agit d’utiliser les règles de calcul vues plus haut pour exprimer un vecteur ayant pour extrémité le point cherché en fonction d’un ou plusieurs vecteurs connus, c’est-à-dire sans le point qu’on cherche.

MAAB+CM=0AM+CM=ABAM+CA+AM=ABAM+AM=ABCA2AM=AB+ACAM=12(AB+AC)\begin{aligned} -\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}&=\overrightarrow{0} \ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}&=\overrightarrow{AB} \ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB} \ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA} \ 2\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \ \overrightarrow{AM}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) \end{aligned}

  • À partir de cette relation, on peut placer le point MM ou trouver ses coordonnées.