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Les vecteurs : définition et résolution

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Vocabulaire

Définitions

Définition 1 : vecteurs égaux

Soient A,B,C,DA, B, C, D quatre points du plan tels que AA et BB d’une part et CC et DD d’autre part soient distincts.

Dire que les vecteurs AB\overrightarrow {AB} et CD\overrightarrow{CD} sont égaux signifie qu’ils ont la même direction, le même sens, et que les longueurs ABAB et CDCD sont égales.

Définition 2 : vecteur nul

Lorsque deux points AA et BB sont confondus, on dit que le vecteur AB\overrightarrow {AB} est le vecteur nul et on note 0\vec 0 ce vecteur.

Le vecteur nul a une longueur égale à 00, mais n’a ni direction, ni sens.

Définition 3 : norme d’un vecteur

Soit AB\overrightarrow {AB} un vecteur. On appelle norme du vecteur AB\overrightarrow{AB} la longueur ABAB notée AB||\overrightarrow{AB}||.

Calcul de la norme d’un vecteur

Soient A(xA ;yA)A (xA\ ; yA) et B(xB ;yB)B(xB\ ; yB) deux points du plan. Le vecteur AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées : AB(xBxA ;yByA)\overrightarrow{AB} (xB - xA\ ; yB-yA)

La norme du vecteur AB\overrightarrow{AB} est la longueur ABAB :

AB=AB=(xBxA)2+(yByA)2\begin{aligned} \parallel \overrightarrow{AB}\parallel&=AB \ &= \sqrt{(xB-xA )^2 + (yB-yA )^2 } \end{aligned}

Égalité de vecteurs

Si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont égaux, alors :

  • ils ont la même direction, le même sens et la même norme ;
  • ils ont les mêmes coordonnées ;
  • ABDCABDC est un parallélogramme.

Additionner des vecteurs

Pour additionner des vecteurs, on peut :

  • déplacer si besoin un vecteur graphiquement ;
  • additionner les abscisses entre elles et les ordonnées si l’on a les coordonnées des vecteurs :

Soient u(xu;yu\vec u (x{\vec u}; y{\vec u}) et v(xv;yv)\vec v (x{\vec v}; y{\vec v}) deux vecteurs du plan, alors le vecteur u+v\vec u+ \vec v a pour coordonnées (xu+xv ;yu+yv)(x{\vec u} +x{\vec v}\ ; y{\vec u} +y{\vec v})

AC+CB=AB\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB}