Fiche de révision : Les vecteurs : définition et résolution

Vocabulaire

• Un vecteur est défini par un sens, une direction et une longueur.

Définitions

Définition 1 : vecteurs égaux

Soient $A, B, C, D$ quatre points du plan tels que $A$ et $B$ d’une part et $C$ et $D$ d’autre part soient distincts.

Dire que les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux signifie qu’ils ont la même direction, le même sens, et que les longueurs $AB$ et $CD$ sont égales.

Calcul de la norme d’un vecteur

Soient $A (x_A\ ; y_A)$ et $B(x_B\ ; y_B)$ deux points du plan. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $$\overrightarrow{AB} (x_B - x_A\ ; y_B-y_A)$$

La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est la longueur $AB$ :

$$\begin{aligned} \parallel \overrightarrow{AB}\parallel&=AB \\ &= \sqrt{(x_B-x_A )^2 + (y_B-y_A )^2 } \end{aligned}$$

Égalité de vecteurs

Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux, alors :

• ils ont la même direction, le même sens et la même norme ;
• ils ont les mêmes coordonnées ;
• $ABDC$ est un parallélogramme.

Additionner des vecteurs

Pour additionner des vecteurs, on peut :

• déplacer si besoin un vecteur graphiquement ;
• additionner les abscisses entre elles et les ordonnées si l’on a les coordonnées des vecteurs :

Soient $\vec u (x_{\vec u}; y_{\vec u}$) et $\vec v (x_{\vec v}; y_{\vec v})$ deux vecteurs du plan, alors le vecteur $\vec u+ \vec v$ a pour coordonnées $(x_{\vec u} +x_{\vec v}\ ; y_{\vec u} +y_{\vec v})$

• on peut aussi utiliser la relation de Chasles :

$$\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB}$$