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Vecteurs du plan et opérations

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons découvrir une toute nouvelle notion : les vecteurs.
Nous introduirons cette notion de vecteur en l’associant à une translation, transformation géométrique que nous avons vue au collège.

Les vecteurs sont très importants, pour effectuer des démonstrations en géométrie ou des modélisations en physique, comme vous le découvrirez dès cette année.

Les vecteurs

Translation et vecteur

Au collège, nous avons appris ce qu’est une translation.

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Ici, par exemple, la translation qui transforme MM en MM^{\prime} est caractérisée par une direction : la droite (MM)(MM^{\prime}), un sens : de MM vers MM^{\prime}, et une longueur : MMMM^{\prime}.

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Définition

Vecteur :

À une telle translation, on associe un vecteur, qu’on note MM \overrightarrow{MM^{\prime}\ }, représenté graphiquement par la même flèche d’origine MM et d’extrémité MM^{\prime}.

  • Ainsi, ce vecteur est caractérisé par :
  • sa direction : celle de la droite (MM)(MM^{\prime}) ;
  • son sens : de MM vers MM^{\prime} ;
  • sa longueur, ou norme : la distance entre MM et MM^{\prime}, notée MMMM^{\prime} ou MM\Vert \overrightarrow{MM^{\prime}}\Vert.
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À retenir

Le vecteur associé à une translation qui transforme un point en lui-même est appelé vecteur nul et est noté 0\vec 0. Il n’a ni direction ni sens, et sa norme est nulle.

  • Ainsi, pour tout point MM du plan :

MM =0\overrightarrow{MM\ }=\vec 0

  • Autrement dit, les points AA et BB sont confondus si et seulement si :

AB =0\overrightarrow{AB\ }=\vec 0

Égalité de deux vecteurs

Considérons la translation qui transforme AA en AA^{\prime}, BB en BB^{\prime} et CC en CC^{\prime} :

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Les vecteurs AA \overrightarrow{AA^{\prime}\ }, BB \overrightarrow{BB^{\prime}\ } et CC \overrightarrow{CC^{\prime}\ } sont associés à la même translation.
Ils ont donc la même direction, le même sens et sont de même longueur.

  • Les trois vecteurs sont alors égaux.
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Définition

Vecteurs égaux :

Deux vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

  • On note :

AB =CD \overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }

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À retenir

Soit AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } deux vecteurs non nuls égaux.

Nous pouvons alors poser le vecteur u\vec u, tel que :

u=AB =CD \vec u=\overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

  • On dit que les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont des représentants du vecteur u\vec u.

Vient alors la propriété du parallélogramme suivante.

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Propriété

Deux vecteurs AB \overrightarrow{\red A\green B\ } et CD \overrightarrow{\purple C\blue D\ } sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC\red A\green B\blue D\purple C est un parallélogramme (qui peut être aplati).

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Il vient aussi une propriété sur le milieu d’un segment.

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Propriété

II est le milieu du segment [AB][AB] si et seulement si les vecteurs AI \overrightarrow{AI\ } et IB \overrightarrow{IB\ } sont égaux :

AI =IB \overrightarrow{AI\ }=\overrightarrow{IB\ }

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Vecteurs opposés

Attention, il ne faut pas confondre direction et sens.
En effet, la translation qui transforme le point AA en un point BB (AA et BB non confondus) n’est évidemment pas la même que celle qui transforme BB en AA : elles sont caractérisées par des déplacements qui ont la même direction et la même longueur, mais leurs sens sont contraires !

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

  • On dit que les vecteurs associés à ces deux translations, AB \overrightarrow{AB\ } et BA \overrightarrow{BA\ }, sont des vecteurs opposés.
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Définition

Opposé d’un vecteur :

Soit u\vec u un vecteur non nul du plan.
L’opposé de u\vec u est le vecteur qui a la même direction et la même norme que u\vec u, mais qui est de sens contraire à celui de u\vec u.

  • On le note u-\vec u.

L’opposé du vecteur nul est le vecteur nul.

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À retenir

Pour tous points AA et BB du plan, nous avons :

AB =BA \overrightarrow{AB\ }=-\overrightarrow{BA\ }

Exemples de modélisation par des vecteurs

  • En physique, une force est représentée par un vecteur : on voit ci-dessous la représentation de la force exercée par un cheval sur une charrue.

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

  • La vitesse est aussi représentée par des vecteurs en physique. Par exemple, la direction, le sens et la force (vitesse) du vent, en plusieurs points de l’espace, peuvent être illustrés par des vecteurs.
  • Plus le vent est fort, c’est-à-dire rapide, plus la norme du vecteur est grande.

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Somme de vecteurs

Somme et différence de vecteurs

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs et MM un point du plan.
La translation de vecteur u\vec u transforme MM en NN. La translation de vecteur v\vec v transforme NN en PP.

  • Enchaîner ces deux translations transforme MM en PP, cela revient à faire une translation, de vecteur w\vec w.
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Définition

Somme de deux vecteurs :

La somme de deux vecteurs u\vec u et v\vec v est le vecteur w\vec w associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur u\vec u et de vecteur v\vec v.

  • On note : w=u+v\vec w=\vec u+\vec v.

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Nous pouvons maintenant définir la différence de deux vecteurs.

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Définition

Différence de deux vecteurs :

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs du plan.
La différence du vecteur u\vec u et du vecteur v\vec v est notée uv\vec u - \vec v et elle est égale à la somme du vecteur u\vec u et du vecteur opposé de v\vec v, soit v-\vec v :

uv=u+(v)\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

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Propriété

Pour tous vecteurs u\vec u, v\vec v et w\vec w, on a :

  • u+v=v+u\vec u +\vec v=\vec v +\vec u ;
  • (u+v)+w=u+(v+w)(\vec u +\vec v)+\vec w = \vec u +(\vec v +\vec w) ;
  • u+0=u\vec u +\vec 0=\vec u ;
  • uu=0\vec u - \vec u =\vec 0.
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Astuce

  • La propriété 1 est appelée commutativité : on peut intervertir les termes sans changer le résultat.
  • La propriété 2 est appelée associativité : on peut grouper les éléments de différentes manières sans changer le résultat.
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À retenir

Pour construire une somme de vecteurs, il faut construire leurs représentants en les mettant « bout à bout ».

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Remarquons que l’ordre dans lequel nous mettons « bout à bout » les vecteurs n’est pas important, nous arriverons au même résultat (conséquence de la propriété de commutativité).

Relation de Chasles et règle du parallélogramme

Nous allons maintenant donner explicitement une relation très importante, que nous avons illustrée dans le paragraphe précédent avec l’enchaînement de deux translations, et dont vous vous servirez très souvent dans les niveaux supérieurs : la relation de Chasles.

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Propriété

Relation de Chasles :

Quels que soient les points AA, BB et CC du plan, nous avons :

AB +BC =AC \overrightarrow{A\red B\ }+\overrightarrow{\red BC\ }=\overrightarrow{AC\ }

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

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Astuce

Si nous avons la somme de deux vecteurs tels qu’un même point est l’extrémité de l’un et l’origine de l’autre, alors nous pouvons, en quelque sorte, faire « disparaître » ce point.

Ce n’est pas au programme directement, mais nous pouvons tout de même déjà voir comment se servir de cette relation de Chasles.

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Exemple

Soit AA, BB, CC et DD quatre points du plan.

  • Nous cherchons à simplifier l’écriture du vecteur AC +DA \overrightarrow{AC\ }+\overrightarrow{DA\ } :

AC +DA =DA +AC  [par commutativiteˊ]=DC  [par la relation de Chasles]\begin{aligned} \overrightarrow{AC\ }+\overrightarrow{DA\ }&=\overrightarrow{D\red A\ }+\overrightarrow{\red AC\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par commutativité]}}}\ &=\overrightarrow{DC\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par la relation de Chasles]}}} \end{aligned}

  • Nous cherchons à simplifier l’écriture du vecteur AB DC +BC \overrightarrow{AB\ }-\overrightarrow{DC\ }+\overrightarrow{BC\ } :

AB DC +BC =AB +BC DC  [par commutativiteˊ]=AC DC  [par la relation de Chasles]=AC +(DC ) [par deˊfinition de la diffeˊrence]=AC +CD  [car DC =CD ]=AD  [toujours par la relation de Chasles]\begin{aligned} \overrightarrow{AB\ }-\overrightarrow{DC\ }+\overrightarrow{BC\ }&=\overrightarrow{A\red B\ }+\overrightarrow{\red BC\ }-\overrightarrow{DC\ }\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par commutativité]}}} \ &=\overrightarrow{AC\ }-\overrightarrow{DC\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par la relation de Chasles]}}} \ &=\overrightarrow{AC\ }+(-\overrightarrow{DC\ }) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par définition de la différence]}}} \ &=\overrightarrow{A\red C\ }+\overrightarrow{\red CD\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $-\overrightarrow{DC\ }=\overrightarrow{CD\ }$]}}} \ &=\overrightarrow{AD\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [toujours par la relation de Chasles]}}} \end{aligned}

Comme conséquence de la relation de Chasles, nous avons la propriété suivante, caractéristique du parallélogramme, que nous admettons.

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Propriété

Règle du parallélogramme :

Un quadrilatère ABCD\red A\green B\blue C\purple D est un parallélogramme si et seulement si AC =AB +AD \overrightarrow{\red A\blue C\ }=\overrightarrow{\red A\green B\ }+\overrightarrow{\red A\purple D\ }.

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Produit d’un vecteur par un réel et colinéarité

Produit d’un vecteur par un nombre réel

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Définition

Produit d’un vecteur par un réel :

Soit u\vec u un vecteur non nul du plan et kk un réel non nul.
Le produit du vecteur u\vec u par le réel kk est le vecteur noté kuk\vec u :

  • de même direction que u\vec u ;
  • de même sens que u\vec u si kk est strictement positif, de sens contraire à u\vec u si kk est strictement négatif ;
  • de norme égale à k×u\vert k\vert \times \Vert \vec u \Vert.
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À retenir

Nous avons par ailleurs :

  • pour tout réel kk : k0=0k\vec 0=\vec 0 ;
  • pour tout vecteur u\vec u du plan, 0u=00\vec u=\vec 0.
  • ku=0k\vec u=\vec 0 signifie que : k=0k=0 ou u=0\vec u=\vec 0.
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Propriété

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs du plan, et kk et kk^{\prime} deux réels.
Nous avons alors :

  • (k+k)u=ku+ku(k+k^{\prime})\vec u=k\vec u+k^{\prime}\vec u ;
  • k(ku)=(kk)uk(k^{\prime}\vec u)=(kk^{\prime})\vec u ;
  • k(u+v)=ku+kvk(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v.

Prenons deux exemples pour bien comprendre ce produit.

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Exemple

Soit u\vec u un vecteur du plan.

  • Le vecteur 3u3\vec u est le vecteur qui a :
  • la même direction que u\vec u ;
  • le même sens que u\vec u, puisque 3>03 > 0 ;
  • pour norme 33 fois celle de u\vec u, car :

3u=3×u=3×u\Vert 3\vec u \Vert=\vert 3\vert \times \Vert \vec u\Vert=3\times \Vert \vec u\Vert

Remarquons qu’une translation de vecteur 3u3\vec u revient à appliquer 33 fois successivement la translation de vecteur u\vec u :

3u=u+u+u3\vec u=\vec u+\vec u+\vec u

  • Le vecteur 12u-\frac 12\vec u est le vecteur qui a :
  • la même direction que u\vec u ;
  • le sens contraire de u\vec u, puisque 12<0-\frac 12 < 0 ;
  • pour norme la moitié de celle de u\vec u, car :

12u=12×u=12×u\left \Vert -\dfrac 12\vec u \right\Vert=\left\vert -\dfrac 12\right\vert \times \Vert \vec u\Vert=\dfrac 12\times \Vert \vec u\Vert

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Vecteurs colinéaires

Le produit d’un vecteur par un réel nous permet de définir une nouvelle notion : la colinéarité de deux vecteurs.

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Définition

Vecteurs colinéaires :

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls du plan.
Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk tel que :

u=kv\vec u=k\vec v

  • Autrement dit, u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Nous avons vu plus haut que, pour tout vecteur u\vec u du plan, 0u=00\vec u=\vec 0. Nous admettons donc que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

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Propriété

  • Soit AA, BB, CC et DD quatre points du plan, avec, d’une part, AA et BB distincts et, d’autre part, CC et DD distincts.
  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont colinéaires.

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

  • Soit AA, BB et CC trois points du plan.
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et AC \overrightarrow{AC\ } sont colinéaires.

Mathématiques seconde géométrie vecteurs

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons donc appris ce qu’était un vecteur, ainsi que plusieurs définitions et propriétés.
Dans le prochain, nous allons continuer à manipuler les vecteurs, mais dans un repère.