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Les vecteurs du plan

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

Pour représenter un déplacement, il faut donner sa direction, son sens et sa longueur de parcours. Pour cela, on va utiliser un nouvel objet mathématique : le vecteur.
Les vecteurs ont de nombreuses applications en sciences physiques et particulièrement en mécanique (pour parler de forces, de vitesses ou de déplacements).

Ainsi dans ce chapitre nous allons étudier ce que représente un vecteur du plan, sa notation et son symbole.

Notation vectorielle

Vecteur et translation

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Définition

Vecteur :

Un vecteur AB\overrightarrow{AB\,} est défini par trois éléments caractéristiques :

  • Sa direction : celle de la droite (AB)(AB),
  • Son sens : de AA vers BB,
  • Sa longueur ou norme : la distance entre AA et BB, notée ABAB ou AB||\overrightarrow{AB\,}|| .

On représente un vecteur par une flèche. Ci-dessous une représentation du vecteur AB\overrightarrow{AB\,} :

Représentation d’un vecteur Représentation d’un vecteur

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Exemple

Soit la translation qui envoie MM sur MM^\prime. Le couple de points (M;M)(M ; M^\prime) est ainsi le représentant d’un vecteur caractérisé par :

  • une direction : celle de la droite (MM)(MM^\prime) ;
  • un sens : de MM vers MM^\prime ;
  • une norme : la longueur MMMM^\prime.

Le vecteur MM\overrightarrow{M M^\prime\,} est représenté par une flèche dont l’origine est le point MM et l’extrémité le point MM^\prime.

Seconde réforme mathématiques vecteurs

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Attention

La confusion entre sens et direction est courante.
Une direction est une droite, comme la ligne de chemin de fer entre Metz et Nancy, mais il y a deux sens : de Metz à Nancy et de Nancy à Metz.

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À retenir

  • On note plus généralement un vecteur u\vec u, v\vec v ou encore w\vec w, indépendamment des points d’application.
  • Si AA est confondu avec BB alors AB\overrightarrow{AB\,} est le vecteur nul et on note AB=0\overrightarrow{AB\,}=\vec 0.
  • Le vecteur nul 0\vec 0 n’a pas de direction, ni de sens et sa norme est nulle.
  • Le vecteur AB\overrightarrow{AB\,} a pour vecteur opposé AB\overrightarrow{-AB\,}. Ils ont la même direction et la même norme mais ont des sens opposés.

Égalité de deux vecteurs

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Définition

Vecteurs égaux :

On dit que deux vecteurs AB\overrightarrow{AB\,} et DC\overrightarrow{DC\,} sont égaux (AB=DC)(\overrightarrow{AB\,}=\overrightarrow{DC\,}) si et seulement si ils sont associés à la même translation : celle qui transforme AA en BB et DD en CC. Ils ont alors la même direction, le même sens et la même longueur.

Égalité de deux vecteurs Égalité de deux vecteurs

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À retenir

  • AB=DCAB=DC et (AB)//(DC)(AB)//(DC) : la translation qui transforme AA en BB transforme aussi DD en CC. Les vecteurs AB\overrightarrow{AB\,} et CD\overrightarrow{CD\,} sont donc égaux. Dans ce cas, le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
  • Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
  • Cas particulier : si le point II est le milieu du segment [EF][EF] alors EI=IF\overrightarrow{EI\,}=\overrightarrow{IF\,}. La réciproque est vraie : si EI=IF\overrightarrow{EI\,}=\overrightarrow{IF\,} , alors II est le milieu de [EF][EF].

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Exemples de représentations de vecteurs

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Exemple

La direction, le sens et l’intensité du vent au-dessus de la Manche peuvent être illustrés par des vecteurs. On peut remarquer que plus l’intensité du vent est grande, plus la norme du vecteur qui le représente sur la carte est grande.

Direction, sens et intensité du vent au-dessus de la Manche Direction, sens et intensité du vent au-dessus de la Manche

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Exemple

En sciences physiques, une force est représentée par un vecteur : on voit ci-dessous la représentation de la force exercée par un cheval sur une charrue.

Alt texte Force du cheval sur la charrue

Coordonnées et norme d’un vecteur

Coordonnées d’un vecteur

On considère dans cette partie un repère orthonormé (O,i,j)(O,\vec i, \vec j ).

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Définition

Coordonnées de vecteur :

Les coordonnées d’un vecteur AB\overrightarrow{AB\,} correspondent aux coordonnées du point MM tel que OM=AB\overrightarrow{OM\,} =\overrightarrow{AB\,}. Si le point MM a pour coordonnées (x;y)(x ; y) alors on dit que le vecteur AB\overrightarrow{AB\,} a pour coordonnées (xy)\begin{pmatrix} x\ y\end{pmatrix} ou encore que AB=xi+yj\overrightarrow{AB\,}=\overrightarrow{xi\,} +\overrightarrow{yj\,}.

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Exemple

Le point MM a pour coordonnées (4;1)(4 ; 1) : ainsi le vecteur AB\overrightarrow{AB\,} a pour coordonnées (41)\begin{pmatrix} 4\ 1\end{pmatrix}.

Coordonnées de vecteur Coordonnées de vecteur

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Astuce

Le vecteur AB\overrightarrow{AB\,} s’obtient en effectuant une translation de xi\overrightarrow{xi\,} en abscisse et de yj\overrightarrow{yj\,} en ordonnée.

Calcul des coordonnées d’un vecteur à partir de celles de ses extrémités

Si un vecteur AB\overrightarrow{AB\,} est défini par les points A(xA;yA)A(xA ; yA) et B(xB;yB)B(xB ; yB) alors :

  • l’abscisse du vecteur correspond à la différence des abscisses des points AA et BB ;
  • l’ordonnée du vecteur correspond à la différence des ordonnées des points AA et BB. Ainsi, on obtient AB (xBxAyByA)\overrightarrow{AB\ } \begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \end{pmatrix}.
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À retenir

  • Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées :

Si u(ab)\vec u\begin{pmatrix} a\ b\end{pmatrix} et v(ab)\vec v\begin{pmatrix} a^\prime \ b^\prime\end{pmatrix}, u=v\vec u=\vec v si et seulement si {a=ab=b\begin{cases} a=a^\prime \ b=b^\prime \end{cases}

  • Deux vecteurs sont opposés si et seulement si leurs coordonnées sont opposées :

Si u(ab)\vec u\begin{pmatrix} a\ b\end{pmatrix} et v(ab)\vec v\begin{pmatrix} a^\prime \ b^\prime\end{pmatrix}, $\vec u=\overrightarrow{-v,}$ si et seulement si $\begin{cases} a=-a^\prime \\ b=-b^\prime \end{cases}$

  • Le vecteur nul $\vec 0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$.
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Exemple

Alt texte

Le vecteur $\overrightarrow{AC\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-1\end{pmatrix}$, soit $\begin{pmatrix} -3\\ 4\end{pmatrix}$. On peut également dire que $\overrightarrow{AC\,}=\overrightarrow{-3i \,}+\overrightarrow{4j\,}$ .

Le vecteur AB\overrightarrow{AB\,} a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 5-5 \\ 3-(-1)\end{pmatrix}$, soit $\begin{pmatrix} 0\\ 4\end{pmatrix}$. On peut également dire que $\overrightarrow{AB\,}=\overrightarrow{4j\,}$.

Le vecteur $\overrightarrow{-AC\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ -4\end{pmatrix}$. On peut également dire que $\overrightarrow{-AC\,}=\overrightarrow{-3i \,}-\overrightarrow{4j\,}$.

Le vecteur $\overrightarrow{DE\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -3 \\ 4\end{pmatrix}$ ; ainsi $\overrightarrow{DE\,}=\overrightarrow{AC\,}$.

Norme d’un vecteur

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Définition

Norme d’un vecteur :

Si un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ est défini dans un repère orthonormé par les points A(xA;yA)A(xA ; yA) et B(xB;yB)B(xB ; yB) alors la norme du vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ ou la distance entre le point AA et le point BB est donnée par :

AB=AB=(xBxA)2+(yByA)2||\overrightarrow{AB\,}||=AB=\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}

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Attention

Aucune simplification n’est possible dans cette formule entre la racine et les carrés !

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Exemple

AC=AC||\overrightarrow{AC\,}||=AC

=(xAxC)2+(yAyC)2=\sqrt{(xA-xC)^2+(yA-yC)^2}

=(41)2+(12)2=\sqrt{(4-1)^2+(-1-2)^2}

=(32+32)=18=\sqrt{(3^2+3^2)}=\sqrt{18}

Alt texte

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À retenir

Une norme ou distance est toujours positive.

Coordonnées du milieu d’un segment

Soit, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. Le milieu MM du segment [AB][AB] a pour coordonnées(xM;yM)(xM ; yM) où :

xM=(xA+xB)2xM=\dfrac{(xA+xB)}{2} et yM=(yA+yB)2yM=\dfrac{(yA+yB)}{2}

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Exemple

Soit les points A(1;0,5)A (-1 ; 0,5) et B(2;2)B (2 ; 2) : alors les coordonnées du point MM milieu de [AB][AB] a pour coordonnées xM=(1+2)2=0,5xM=\dfrac{(-1+2)}{2}=0,5 et yM=(0,5+2)2=1,25yM=\dfrac{(0,5+2)}{2}=1,25 ainsi M(0,5;1,25)M(0,5 ; 1,25).

Alt texte

Conclusion :

Nous avons vu dans ce chapitre qu’un vecteur est la représentation sous forme de flèche d’une translation d’un point en un autre point. Le début de la flèche représente l’origine de la translation et la pointe représente son point d’arrivée, c’est-à-dire l’image du point de départ par la translation.

Si l’on représente ce déplacement dans un repère orthonormé par un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$, on peut alors calculer les coordonnées et la norme (distance entre AA et BB) du vecteur correspondant à la translation qui transforme $A$ en $B$ (sens du vecteur).