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Vecteurs du plan et opérations
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons découvrir une toute nouvelle notion : les vecteurs.
Nous introduirons cette notion de vecteur en l’associant à une translation, transformation géométrique que nous avons vue au collège.
Les vecteurs sont très importants, pour effectuer des démonstrations en géométrie ou des modélisations en physique, comme vous le découvrirez dès cette année.
Les vecteurs
Translation et vecteur
Au collège, nous avons appris ce qu’est une translation.
Ici, par exemple, la translation qui transforme en est caractérisée par une direction : la droite , un sens : de vers , et une longueur : .
Vecteur :
À une telle translation, on associe un vecteur, qu’on note , représenté graphiquement par la même flèche d’origine et d’extrémité .
Le vecteur associé à une translation qui transforme un point en lui-même est appelé vecteur nul et est noté . Il n’a ni direction ni sens, et sa norme est nulle.
Égalité de deux vecteurs
Considérons la translation qui transforme en , en et en :
Les vecteurs , et sont associés à la même translation.
Ils ont donc la même direction, le même sens et sont de même longueur.
Vecteurs égaux :
Deux vecteurs et sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Soit et deux vecteurs non nuls égaux.
Nous pouvons alors poser le vecteur , tel que :
Vient alors la propriété du parallélogramme suivante.
Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère est un parallélogramme (qui peut être aplati).
Il vient aussi une propriété sur le milieu d’un segment.
est le milieu du segment si et seulement si les vecteurs et sont égaux :
Vecteurs opposés
Attention, il ne faut pas confondre direction et sens.
En effet, la translation qui transforme le point en un point ( et non confondus) n’est évidemment pas la même que celle qui transforme en : elles sont caractérisées par des déplacements qui ont la même direction et la même longueur, mais leurs sens sont contraires !
Opposé d’un vecteur :
Soit un vecteur non nul du plan.
L’opposé de est le vecteur qui a la même direction et la même norme que , mais qui est de sens contraire à celui de .
L’opposé du vecteur nul est le vecteur nul.
Pour tous points et du plan, nous avons :
Exemples de modélisation par des vecteurs
Somme de vecteurs
Somme et différence de vecteurs
Soit et deux vecteurs et un point du plan.
La translation de vecteur transforme en . La translation de vecteur transforme en .
Somme de deux vecteurs :
La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur et de vecteur .
Nous pouvons maintenant définir la différence de deux vecteurs.
Différence de deux vecteurs :
Soit et deux vecteurs du plan.
La différence du vecteur et du vecteur est notée et elle est égale à la somme du vecteur et du vecteur opposé de , soit :
Pour tous vecteurs , et , on a :
Pour construire une somme de vecteurs, il faut construire leurs représentants en les mettant « bout à bout ».
Remarquons que l’ordre dans lequel nous mettons « bout à bout » les vecteurs n’est pas important, nous arriverons au même résultat (conséquence de la propriété de commutativité).
Relation de Chasles et règle du parallélogramme
Nous allons maintenant donner explicitement une relation très importante, que nous avons illustrée dans le paragraphe précédent avec l’enchaînement de deux translations, et dont vous vous servirez très souvent dans les niveaux supérieurs : la relation de Chasles.
Relation de Chasles :
Quels que soient les points , et du plan, nous avons :
Si nous avons la somme de deux vecteurs tels qu’un même point est l’extrémité de l’un et l’origine de l’autre, alors nous pouvons, en quelque sorte, faire « disparaître » ce point.
Ce n’est pas au programme directement, mais nous pouvons tout de même déjà voir comment se servir de cette relation de Chasles.
Soit , , et quatre points du plan.
Comme conséquence de la relation de Chasles, nous avons la propriété suivante, caractéristique du parallélogramme, que nous admettons.
Règle du parallélogramme :
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si .
Produit d’un vecteur par un réel et colinéarité
Produit d’un vecteur par un nombre réel
Produit d’un vecteur par un réel :
Soit un vecteur non nul du plan et un réel non nul.
Le produit du vecteur par le réel est le vecteur noté :
Nous avons par ailleurs :
Soit et deux vecteurs du plan, et et deux réels.
Nous avons alors :
Prenons deux exemples pour bien comprendre ce produit.
Soit un vecteur du plan.
Remarquons qu’une translation de vecteur revient à appliquer fois successivement la translation de vecteur :
Vecteurs colinéaires
Le produit d’un vecteur par un réel nous permet de définir une nouvelle notion : la colinéarité de deux vecteurs.
Vecteurs colinéaires :
Soit et deux vecteurs non nuls du plan.
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel tel que :
Nous avons vu plus haut que, pour tout vecteur du plan, . Nous admettons donc que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons donc appris ce qu’était un vecteur, ainsi que plusieurs définitions et propriétés.
Dans le prochain, nous allons continuer à manipuler les vecteurs, mais dans un repère.