Les vecteurs du plan : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Pour représenter un déplacement, il faut donner sa direction, son sens et sa longueur de parcours. Pour cela, on va utiliser un nouvel objet mathématique : le vecteur.
Les vecteurs ont de nombreuses applications en sciences physiques et particulièrement en mécanique (pour parler de forces, de vitesses ou de déplacements).

Ainsi dans ce chapitre nous allons étudier ce que représente un vecteur du plan, sa notation et son symbole.

Notation vectorielle

Vecteur et translation

Définition

Vecteur :

Un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ est défini par trois éléments caractéristiques :

Sa direction : celle de la droite $(AB)$ ,
Son sens : de $A$ vers $B$ ,
Sa longueur ou norme : la distance entre $A$ et $B$ , notée $AB$ ou $||\overrightarrow{AB\,}||$ .

On représente un vecteur par une flèche. Ci-dessous une représentation du vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ :

$Représentation d’un vecteur$ Représentation d’un vecteur

Exemple

Soit la translation qui envoie $M$ sur $M^\prime$ . Le couple de points $(M ; M^\prime)$ est ainsi le représentant d’un vecteur caractérisé par :

une direction : celle de la droite $(MM^\prime)$ ;
un sens : de $M$ vers $M^\prime$ ;
une norme : la longueur $MM^\prime$ .

Le vecteur $\overrightarrow{M M^\prime\,}$ est représenté par une flèche dont l’origine est le point $M$ et l’extrémité le point $M^\prime$ .

$Seconde réforme mathématiques vecteurs$

Attention

La confusion entre sens et direction est courante.
Une direction est une droite, comme la ligne de chemin de fer entre Metz et Nancy, mais il y a deux sens : de Metz à Nancy et de Nancy à Metz.

À retenir

On note plus généralement un vecteur $\vec u$ , $\vec v$ ou encore $\vec w$ , indépendamment des points d’application.
Si $A$ est confondu avec $B$ alors $\overrightarrow{AB\,}$ est le vecteur nul et on note $\overrightarrow{AB\,}=\vec 0$ .
Le vecteur nul $\vec 0$ n’a pas de direction, ni de sens et sa norme est nulle.
Le vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ a pour vecteur opposé $\overrightarrow{-AB\,}$ . Ils ont la même direction et la même norme mais ont des sens opposés.

Égalité de deux vecteurs

Définition

Vecteurs égaux :

On dit que deux vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{DC\,}$ sont égaux $(\overrightarrow{AB\,}=\overrightarrow{DC\,})$ si et seulement si ils sont associés à la même translation : celle qui transforme $A$ en $B$ et $D$ en $C$ . Ils ont alors la même direction, le même sens et la même longueur.

$Égalité de deux vecteurs$ Égalité de deux vecteurs

À retenir

$AB=DC$ et $(AB)//(DC)$ : la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme aussi $D$ en $C$ . Les vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{CD\,}$ sont donc égaux. Dans ce cas, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Cas particulier : si le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$ alors $\overrightarrow{EI\,}=\overrightarrow{IF\,}$ . La réciproque est vraie : si $\overrightarrow{EI\,}=\overrightarrow{IF\,}$ , alors $I$ est le milieu de $[EF]$ .

$Alt texte$

Exemples de représentations de vecteurs

Exemple

La direction, le sens et l’intensité du vent au-dessus de la Manche peuvent être illustrés par des vecteurs. On peut remarquer que plus l’intensité du vent est grande, plus la norme du vecteur qui le représente sur la carte est grande.

$Direction, sens et intensité du vent au-dessus de la Manche$ Direction, sens et intensité du vent au-dessus de la Manche

Exemple

En sciences physiques, une force est représentée par un vecteur : on voit ci-dessous la représentation de la force exercée par un cheval sur une charrue.

$Alt texte$ Force du cheval sur la charrue

Coordonnées et norme d’un vecteur

Coordonnées d’un vecteur

On considère dans cette partie un repère orthonormé $(O,\vec i, \vec j )$ .

Définition

Coordonnées de vecteur :

Les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ correspondent aux coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{OM\,} =\overrightarrow{AB\,}$ . Si le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y)$ alors on dit que le vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x\ y\end{pmatrix}$ ou encore que $\overrightarrow{AB\,}=\overrightarrow{xi\,} +\overrightarrow{yj\,}$ .

Exemple

Le point $M$ a pour coordonnées $(4 ; 1)$ : ainsi le vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\ 1\end{pmatrix}$ .

$Coordonnées de vecteur$ Coordonnées de vecteur

Astuce

Le vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ s’obtient en effectuant une translation de $\overrightarrow{xi\,}$ en abscisse et de $\overrightarrow{yj\,}$ en ordonnée.

Calcul des coordonnées d’un vecteur à partir de celles de ses extrémités

Si un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ est défini par les points $A(x$ et $B(x$ alors :

l’abscisse du vecteur correspond à la différence des abscisses des points $A$ et $B$ ;
l’ordonnée du vecteur correspond à la différence des ordonnées des points $A$ et $B$ . Ainsi, on obtient $\overrightarrow{AB\ } \begin{pmatrix} x$ .

À retenir

Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées :

Si $\vec u\begin{pmatrix} a\ b\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} a^\prime \ b^\prime\end{pmatrix}$ , $\vec u=\vec v$ si et seulement si $\begin{cases} a=a^\prime \ b=b^\prime \end{cases}$

Deux vecteurs sont opposés si et seulement si leurs coordonnées sont opposées :

Si $\vec u\begin{pmatrix} a\ b\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} a^\prime \ b^\prime\end{pmatrix}$ , $\vec u=\overrightarrow{-v,}$ si et seulement si $\begin{cases} a=-a^\prime \\ b=-b^\prime \end{cases}$

Le vecteur nul $\vec 0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$.

Exemple

$Alt texte$

Le vecteur $\overrightarrow{AC\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-1\end{pmatrix}$, soit $\begin{pmatrix} -3\\ 4\end{pmatrix}$. On peut également dire que $\overrightarrow{AC\,}=\overrightarrow{-3i \,}+\overrightarrow{4j\,}$ .

Le vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 5-5 \\ 3-(-1)\end{pmatrix}$, soit $\begin{pmatrix} 0\\ 4\end{pmatrix}$. On peut également dire que $\overrightarrow{AB\,}=\overrightarrow{4j\,}$.

Le vecteur $\overrightarrow{-AC\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ -4\end{pmatrix}$. On peut également dire que $\overrightarrow{-AC\,}=\overrightarrow{-3i \,}-\overrightarrow{4j\,}$.

Le vecteur $\overrightarrow{DE\,}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -3 \\ 4\end{pmatrix}$ ; ainsi $\overrightarrow{DE\,}=\overrightarrow{AC\,}$.

Norme d’un vecteur

Définition

Norme d’un vecteur :

Si un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ est défini dans un repère orthonormé par les points $A(x$ et $B(x$ alors la norme du vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ ou la distance entre le point $A$ et le point $B$ est donnée par :

$||\overrightarrow{AB\,}||=AB=\sqrt{(x$

Attention

Aucune simplification n’est possible dans cette formule entre la racine et les carrés !

Exemple

$||\overrightarrow{AC\,}||=AC$

$=\sqrt{(x$

$=\sqrt{(4-1)^2+(-1-2)^2}$

$=\sqrt{(3^2+3^2)}=\sqrt{18}$

$Alt texte$

À retenir

Une norme ou distance est toujours positive.

Coordonnées du milieu d’un segment

Soit, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $(x$ où :

$x$ et $y$ M=\dfrac{(yA+yB)}{2} $y_{M} = \frac{( y _{A} + y _{B} )}{2}$

Exemple

Soit les points $A (-1 ; 0,5)$ et $B (2 ; 2)$ : alors les coordonnées du point $M$ milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $x$ et $y$ M=\dfrac{(0,5+2)}{2}=1,25 $y_{M} = \frac{( 0 , 5 + 2 )}{2} = 1, 25$ ainsi $M(0,5 ; 1,25)$ .

$Alt texte$

Conclusion :

Nous avons vu dans ce chapitre qu’un vecteur est la représentation sous forme de flèche d’une translation d’un point en un autre point. Le début de la flèche représente l’origine de la translation et la pointe représente son point d’arrivée, c’est-à-dire l’image du point de départ par la translation.

Si l’on représente ce déplacement dans un repère orthonormé par un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$, on peut alors calculer les coordonnées et la norme (distance entre $A$ et $B$ ) du vecteur correspondant à la translation qui transforme $A$ en $B$ (sens du vecteur).