Un vecteur AB est défini par trois éléments caractéristiques :
Sa direction : celle de la droite (AB)
Son sens : de A vers B
Sa longueur ou norme : la distance entre A et B, notée AB ou ∣∣∣∣AB∣∣∣∣
La confusion entre sens et direction est courante. Une direction est une droite, comme la ligne de chemin de fer entre Metz et Nancy, mais il y a deux sens : de Metz à Nancy et de Nancy à Metz.
On note plus généralement un vecteur u, v ou encore w, indépendamment des points d’application.
Si A est confondu avec B alors AB est le vecteur nul et on note AB=0
Le vecteur nul 0 n’a pas de direction, ni de sens et sa norme est nulle.
Le vecteur AB a pour vecteur opposé −AB : ils ont la même direction et la même norme mais ont des sens opposés.
Deux vecteurs AB et CD sont égaux (AB=CD) seulement s’ils sont associés à la même translation : celle qui transforme A en B et C en D.
Ils ont alors la même direction, le même sens et la même longueur.
Légende
Coordonnées et norme d’un vecteur
Les coordonnées d’un vecteur AB correspondent aux coordonnées du point M tel que OM=AB. Si le point M a pour coordonnées (x;y) alors on dit que le vecteur AB a pour coordonnées (yx) ou encore que AB=xı+yȷ
Si un vecteur AB est défini par les points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors :
l’abscisse du vecteur correspond à la différence des abscisses des points A et B ;
l’ordonnée du vecteur correspond à la différence des ordonnées des points A et B.
Ainsi, on obtient AB(yB−yAxB−xA)
Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées :
Si u(ba) et v(b′a′),
u=v si et seulement si {a=a′b=b′
Deux vecteurs sont opposés si, et seulement si, leurs coordonnées sont opposées :
Si u(ba) et v(b′a′), u=−v si et seulement si {a=−a′b=−b′
Le vecteur nul 0 a pour coordonnées (00)
Si un vecteur AB est défini dans un repère orthonormé par les points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors la norme du vecteur AB ou la distance entre le point A et le point B est donnée par : ∣∣∣∣AB∣∣∣∣=AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2