Vecteurs du plan et opérations

Les vecteurs

• À une translation qui transforme un point $M$ en un point $M^{\prime}$, on associe un vecteur, qu’on note $\overrightarrow{MM^{\prime}\ }$, représenté graphiquement par une flèche d’origine $M$ et d’extrémité $M^{\prime}$, et caractérisé par :
• sa direction : celle de la droite $(MM^{\prime})$ ;
• son sens : de $M$ vers $M^{\prime}$ ;
• sa longueur, ou norme : la distance entre $M$ et $M^{\prime}$, notée $MM^{\prime}$ ou $\Vert \overrightarrow{MM^{\prime}}\Vert$.

• Le vecteur associé à une translation qui transforme un point en lui-même est appelé vecteur nul et est noté $\vec 0$. Il n’a ni direction ni sens, et sa norme est nulle.
• Pour tout point $M$ du plan : $\overrightarrow{MM\ }=\vec 0$.
• Deux points $A$ et $B$ du plan sont confondus si et seulement si : $\overrightarrow{AB\ }=\vec 0$.
• Deux vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur : $\overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }$.
• Nous pouvons poser le vecteur $\vec u$, tel que : $\vec u=\overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }$.

• $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont des représentants du vecteur $\vec u$.

• Soit $\vec u$ un vecteur non nul du plan. L’opposé de $\vec u$ est le vecteur qui a la même direction et la même norme que $\vec u$, mais qui est de sens contraire à celui de $\vec u$.
• On le note $-\vec u$.
• L’opposé du vecteur nul est le vecteur nul.
• Pour tous points $A$ et $B$ du plan, nous avons : $\overrightarrow{AB\ }=-\overrightarrow{BA\ }$.

Somme de vecteurs

• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan.
• La somme de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur $\vec w$ associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur $\vec u$ et de vecteur $\vec v$. On note : $\vec w=\vec u+\vec v$.
• La différence du vecteur $\vec u$ et du vecteur $\vec v$ est notée $\vec u - \vec v$ et elle est égale à la somme du vecteur $\vec u$ et du vecteur opposé de $\vec v$, soit $-\vec v$ : $\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)$.
• Pour construire une somme de vecteurs, il faut construire leurs représentants en les mettant « bout à bout ». L’ordre dans lequel nous les mettons « bout à bout » n’est pas important.

• Les deux tableaux suivants donnent les propriétés de la somme de vecteurs à retenir :

Produit d’un vecteur par un réel et colinéarité

• Soit $\vec u$ un vecteur non nul du plan et $k$ un réel non nul. Le produit du vecteur $\vec u$ par le réel $k$ est le vecteur noté $k\vec u$ :
• de même direction que $\vec u$ ;
• de même sens que $\vec u$ si $k$ est strictement positif, de sens contraire à $\vec u$ si $k$ est strictement négatif ;
• de norme égale à $\vert k\vert \times \Vert \vec u \Vert$.
• Pour tout réel $k$ : $k\vec 0=\vec 0$.
• Pour tout vecteur $\vec u$ du plan, $0\vec u=\vec 0$.
• Le tableau suivant donne les propriétés du produit d’un vecteur par un réel à retenir :

• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls du plan.
  Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que : $\vec u=k\vec v$.
• $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.