Fiche de révision : Les vecteurs du plan

Notation vectorielle

• Un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ est défini par trois éléments caractéristiques :
• Sa direction : celle de la droite $(AB)$
• Son sens : de $A$ vers $B$
• Sa longueur ou norme : la distance entre $A$ et $B$, notée $AB$ ou $\big \vert \big \vert \overrightarrow{AB\,} \big \vert \big \vert$

• La confusion entre sens et direction est courante. Une direction est une droite, comme la ligne de chemin de fer entre Metz et Nancy, mais il y a deux sens : de Metz à Nancy et de Nancy à Metz.
• On note plus généralement un vecteur $\vec{u}$, $\vec{v}$ ou encore $\vec{w}$, indépendamment des points d’application.
• Si $A$ est confondu avec $B$ alors $\overrightarrow{AB\,}$ est le vecteur nul et on note $\overrightarrow{AB\,} = \vec{0}$
• Le vecteur nul $\vec{0}$ n’a pas de direction, ni de sens et sa norme est nulle.
• Le vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ a pour vecteur opposé $\overrightarrow{-AB\,}$ : ils ont la même direction et la même norme mais ont des sens opposés.
• Deux vecteurs $\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{CD\,}$ sont égaux ($\overrightarrow{AB\,} = \overrightarrow{CD\,}$) seulement s’ils sont associés à la même translation : celle qui transforme $A$ en $B$ et $C$ en $D$.
• Ils ont alors la même direction, le même sens et la même longueur.

Coordonnées et norme d’un vecteur

• Les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ correspondent aux coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{OM\,}= \overrightarrow{AB\,}$. Si le point $M$ a pour coordonnées $(x \ ; y)$ alors on dit que le vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ a pour coordonnées $\binom {x}{y}$ ou encore que $\overrightarrow{AB\,}=x\vec\imath+y\vec\jmath$

• Si un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ est défini par les points $A$ $(x{\tiny {A}} \ ; y{\tiny {A}})$ et $B$ $(x{\tiny {B}} \ ; y{\tiny {B}})$ alors :
• l’abscisse du vecteur correspond à la différence des abscisses des points $A$ et $B$ ;
• l’ordonnée du vecteur correspond à la différence des ordonnées des points $A$ et $B$.
• Ainsi, on obtient $\overrightarrow{AB\,} \dbinom{x{\tiny {B}} - x{\tiny {A}}}{y{\tiny {B}} - y{\tiny {A}}}$
• Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées :
• Si $\vec{u} \binom{a}{b}$ et $\vec{v} \binom{a \prime}{b \prime}$, $\vec{u} = \vec{v}$ si et seulement si $\small \begin{cases}a = a \prime \ b = b \prime \end{cases}$
• Deux vecteurs sont opposés si, et seulement si, leurs coordonnées sont opposées :
• Si $\vec{u} \binom{a}{b}$ et $\vec{v} \binom{a \prime}{b \prime}$, $\vec{u} = -v$ si et seulement si $\small \begin{cases}a = -a \prime \ b = -b \prime \end{cases}$
• Le vecteur nul $\vec{0}$ a pour coordonnées $\binom{0}{0}$
• Si un vecteur $\overrightarrow{AB\,}$ est défini dans un repère orthonormé par les points $A$ $(x {\tiny {A}} ; y {\tiny {A}})$ et $B$ $(x {\tiny {B}} ; y {\tiny {B}})$ alors la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ou la distance entre le point A et le point B est donnée par : $\big \vert \big \vert \overrightarrow{AB} \big \vert \big \vert = AB = \sqrt{(x{\tiny {B}}-x{\tiny {A}})^{2} + {(y{\tiny {B}}-y{\tiny {A}})}^{2}}$
• Une norme ou distance est toujours positive.