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Les vecteurs du plan

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Notation vectorielle

  • Un vecteur AB\overrightarrow{AB\,} est défini par trois éléments caractéristiques :
  • Sa direction : celle de la droite (AB)(AB)
  • Son sens : de AA vers BB
  • Sa longueur ou norme : la distance entre AA et BB, notée ABAB ou AB\big \vert \big \vert \overrightarrow{AB\,} \big \vert \big \vert

Alt texte

  • La confusion entre sens et direction est courante. Une direction est une droite, comme la ligne de chemin de fer entre Metz et Nancy, mais il y a deux sens : de Metz à Nancy et de Nancy à Metz.
  • On note plus généralement un vecteur u\vec{u}, v\vec{v} ou encore w\vec{w}, indépendamment des points d’application.
  • Si AA est confondu avec BB alors AB\overrightarrow{AB\,} est le vecteur nul et on note AB=0\overrightarrow{AB\,} = \vec{0}
  • Le vecteur nul 0\vec{0} n’a pas de direction, ni de sens et sa norme est nulle.
  • Le vecteur AB\overrightarrow{AB\,} a pour vecteur opposé AB\overrightarrow{-AB\,} : ils ont la même direction et la même norme mais ont des sens opposés.
  • Deux vecteurs AB\overrightarrow{AB\,} et CD\overrightarrow{CD\,} sont égaux (AB=CD\overrightarrow{AB\,} = \overrightarrow{CD\,}) seulement s’ils sont associés à la même translation : celle qui transforme AA en BB et CC en DD.
  • Ils ont alors la même direction, le même sens et la même longueur.

Alt texte Légende

Coordonnées et norme d’un vecteur

  • Les coordonnées d’un vecteur AB\overrightarrow{AB\,} correspondent aux coordonnées du point MM tel que OM=AB\overrightarrow{OM\,}= \overrightarrow{AB\,}. Si le point MM a pour coordonnées (x ;y)(x \ ; y) alors on dit que le vecteur AB\overrightarrow{AB\,} a pour coordonnées (xy)\binom {x}{y} ou encore que AB=xı+yȷ\overrightarrow{AB\,}=x\vec\imath+y\vec\jmath

Alt texte

  • Si un vecteur AB\overrightarrow{AB\,} est défini par les points AA (xA ;yA)(x{\tiny {A}} \ ; y{\tiny {A}}) et BB (xB ;yB)(x{\tiny {B}} \ ; y{\tiny {B}}) alors :
  • l’abscisse du vecteur correspond à la différence des abscisses des points AA et BB ;
  • l’ordonnée du vecteur correspond à la différence des ordonnées des points AA et BB.
  • Ainsi, on obtient AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB\,} \dbinom{x{\tiny {B}} - x{\tiny {A}}}{y{\tiny {B}} - y{\tiny {A}}}
  • Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées :
  • Si u(ab)\vec{u} \binom{a}{b} et v(ab)\vec{v} \binom{a \prime}{b \prime}, u=v\vec{u} = \vec{v} si et seulement si {a=ab=b\small \begin{cases}a = a \prime \ b = b \prime \end{cases}
  • Deux vecteurs sont opposés si, et seulement si, leurs coordonnées sont opposées :
  • Si u(ab)\vec{u} \binom{a}{b} et v(ab)\vec{v} \binom{a \prime}{b \prime}, u=v\vec{u} = -v si et seulement si {a=ab=b\small \begin{cases}a = -a \prime \ b = -b \prime \end{cases}
  • Le vecteur nul 0\vec{0} a pour coordonnées (00)\binom{0}{0}
  • Si un vecteur AB\overrightarrow{AB\,} est défini dans un repère orthonormé par les points AA (xA;yA)(x {\tiny {A}} ; y {\tiny {A}}) et BB (xB;yB)(x {\tiny {B}} ; y {\tiny {B}}) alors la norme du vecteur AB\overrightarrow{AB} ou la distance entre le point A et le point B est donnée par : AB=AB=(xBxA)2+(yByA)2\big \vert \big \vert \overrightarrow{AB} \big \vert \big \vert = AB = \sqrt{(x{\tiny {B}}-x{\tiny {A}})^{2} + {(y{\tiny {B}}-y{\tiny {A}})}^{2}}
  • Une norme ou distance est toujours positive.