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Vecteurs du plan et opérations

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Les vecteurs

  • À une translation qui transforme un point MM en un point MM^{\prime}, on associe un vecteur, qu’on note MM \overrightarrow{MM^{\prime}\ }, représenté graphiquement par une flèche d’origine MM et d’extrémité MM^{\prime}, et caractérisé par :
  • sa direction : celle de la droite (MM)(MM^{\prime}) ;
  • son sens : de MM vers MM^{\prime} ;
  • sa longueur, ou norme : la distance entre MM et MM^{\prime}, notée MMMM^{\prime} ou MM\Vert \overrightarrow{MM^{\prime}}\Vert.

Seconde mathématiques vecteurs

  • Le vecteur associé à une translation qui transforme un point en lui-même est appelé vecteur nul et est noté 0\vec 0. Il n’a ni direction ni sens, et sa norme est nulle.
  • Pour tout point MM du plan : MM =0\overrightarrow{MM\ }=\vec 0.
  • Deux points AA et BB du plan sont confondus si et seulement si : AB =0\overrightarrow{AB\ }=\vec 0.
  • Deux vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur : AB =CD \overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }.
  • Nous pouvons poser le vecteur u\vec u, tel que : u=AB =CD \vec u=\overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{CD\ }.

Seconde mathématiques vecteurs

  • AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont des représentants du vecteur u\vec u.

Propriétés

Deux vecteurs AB \overrightarrow{\red A\green B\ } et CD \overrightarrow{\purple C\blue D\ } sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC\red A\green B\blue D\purple C est un parallélogramme (qui peut être aplati).

Seconde mathématiques vecteurs

II est le milieu du segment [AB][AB] si et seulement si les vecteurs AI \overrightarrow{AI\ } et IB \overrightarrow{IB\ } sont égaux.

Seconde mathématiques vecteurs

  • Soit u\vec u un vecteur non nul du plan. L’opposé de u\vec u est le vecteur qui a la même direction et la même norme que u\vec u, mais qui est de sens contraire à celui de u\vec u.
  • On le note u-\vec u.
  • L’opposé du vecteur nul est le vecteur nul.
  • Pour tous points AA et BB du plan, nous avons : AB =BA \overrightarrow{AB\ }=-\overrightarrow{BA\ }.

Somme de vecteurs

  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs du plan.
  • La somme de deux vecteurs u\vec u et v\vec v est le vecteur w\vec w associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur u\vec u et de vecteur v\vec v. On note : w=u+v\vec w=\vec u+\vec v.
  • La différence du vecteur u\vec u et du vecteur v\vec v est notée uv\vec u - \vec v et elle est égale à la somme du vecteur u\vec u et du vecteur opposé de v\vec v, soit v-\vec v : uv=u+(v)\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v).
  • Pour construire une somme de vecteurs, il faut construire leurs représentants en les mettant « bout à bout ». L’ordre dans lequel nous les mettons « bout à bout » n’est pas important.

Seconde mathématiques vecteurs

  • Les deux tableaux suivants donnent les propriétés de la somme de vecteurs à retenir :

Pour tous vecteurs u\vec u, v\vec v et w\vec w
Commutativité : u+v=v+u\vec u +\vec v=\vec v +\vec u
Associativité : (u+v)+w=u+(v+w)(\vec u +\vec v)+\vec w = \vec u +(\vec v +\vec w)
u+0=u\vec u +\vec 0=\vec u
uu=0\vec u - \vec u =\vec 0

Relations de Chasles Quels que soient les points AA, BB et CC du plan : AB +BC =AC \overrightarrow{A\red B\ }+\overrightarrow{\red BC\ }=\overrightarrow{AC\ }.
Règle du parallélogramme Un quadrilatère ABCD\red A\green B\blue C\purple D est un parallélogramme si et seulement si AC =AB +AD \overrightarrow{\red A\blue C\ }=\overrightarrow{\red A\green B\ }+\overrightarrow{\red A\purple D\ }.

Produit d’un vecteur par un réel et colinéarité

  • Soit u\vec u un vecteur non nul du plan et kk un réel non nul. Le produit du vecteur u\vec u par le réel kk est le vecteur noté kuk\vec u :
  • de même direction que u\vec u ;
  • de même sens que u\vec u si kk est strictement positif, de sens contraire à u\vec u si kk est strictement négatif ;
  • de norme égale à k×u\vert k\vert \times \Vert \vec u \Vert.
  • Pour tout réel kk : k0=0k\vec 0=\vec 0.
  • Pour tout vecteur u\vec u du plan, 0u=00\vec u=\vec 0.
  • Le tableau suivant donne les propriétés du produit d’un vecteur par un réel à retenir :

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs du plan, et kk et kk^{\prime} deux réels
(k+k)u=ku+ku(k+k^{\prime})\vec u=k\vec u+k^{\prime}\vec u
k(ku)=(kk)uk(k^{\prime}\vec u)=(kk^{\prime})\vec u
k(u+v)=ku+kvk(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v
  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls du plan.
    Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk tel que : u=kv\vec u=k\vec v.
  • u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.
  • Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

Propriétés

Parallélisme Soit AA, BB, CC et DD quatre points du plan, avec, d’une part, AA et BB distincts et, d’autre part, CC et DD distincts. Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont colinéaires.
Alignement Soit AA, BB et CC trois points du plan. Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et AC \overrightarrow{AC\ } sont colinéaires.