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Marianne

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Limites de fonctions

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Introduction :

La notion de fonction est connue depuis le collège. Au début de la classe de terminale, nous maîtrisons les fonctions affines (de la forme xax+bx \to ax+b), les fonctions de référence xx2x \to x^2, xxx \to \sqrt x , x1xx \to {1\over x} et enfin la dérivation d’une fonction et l’étude de ses variations. Ce cours va ajouter la notion de limite de fonction. Ces limites apportent des informations supplémentaires sur les fonctions et elles viendront compléter les tableaux de variations que nous savons déjà construire.

Limite à l’infini

Limite infinie à l’infini

Soit aa un réel et ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+[]a;+\infty[ :

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Définition

Limite infinie à l’infini  :

ff a pour limite ++\infty en ++\infty si les images f(x)f(x) sont plus grandes que n’importe quel réel AA donné, à condition de prendre xx assez grand. On note alors :lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to + \infty} { {f(x)} }= +\infty.

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Définition

Limite infinie à l’infini :

ff a pour limite -\infty en ++\infty si les images f(x)f(x) sont plus petites que n’importe quel réel AA donné, à condition de prendre xx assez grand. On note alors :lim{x+}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} { {f(x)} }= - \infty.

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Exemple

  • Fonctions ayant pour limite ++\infty en ++\infty :

    lim{x+}x2=+lim{x+}x=+lim{x+}ex=+\begin{aligned}\lim\limits{x \to +\infty} { {x^2} }&= +\infty\ \lim\limits{x \to + \infty} { {\sqrt x} }&= +\infty\ \lim\limits_{x \to +\infty} { {e^x} }&= +\infty \end{aligned}

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Exemple

  • Fonctions ayant pour limite -\infty en ++\infty :

lim{x+}x2=lim{x+}x3=lim{x+}ex=\begin{aligned}\lim\limits{x \to+ \infty} { -{x^2} }&= -\infty\ \lim\limits{x \to+ \infty} { -{x^3} }&= -\infty \ \lim\limits_{x \to+ \infty} { {-e^x} }&= -\infty \end{aligned}

  • On définit de la même manière les limites infinies en -\infty.

lim{x}x2=+lim{x}x3=\begin{aligned}\lim\limits{x \to -\infty} { {x^2} }&= +\infty\ \lim\limits{x \to- \infty} { {x^3} }&= -\infty\end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Plus généralement, il faut retenir que pour tout entier n1n \geq 1 :

lim{x+}xn=+\lim\limits{x \to +\infty} { {x^n} }= +\infty et lim{x}xn=+\lim\limits{x \to -\infty} { {x^n} }= +\infty si nn est pair ;

lim{x}xn=\lim\limits_{x \to -\infty} { {x^n} }= -\infty si nn est impair.

Limite finie à l’infini et asymptote horizontale

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Définition

Limite finie à l’infini :

Soit ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+[]a;+\infty[ :

Dire que ff a pour limite le réel ll quand xx tend vers ++\infty signifie que tout intervalle ouvert contenant ll contient toutes les images f(x)f(x) pour xx suffisamment grand.

On note alors :

limf(x)x+=l\lim\limits_{\stackrel{x \to + \infty}{f(x)} }=l

On dit, dans ce cas, que la droite d’équation y=ly=l est asymptote horizontale au voisinage de ++\infty à la courbe représentative de ff.

On définit de même une asymptote horizontale, d’équation y=ly=l , au voisinage de -\infty lorsque :lim{x}f(x)=l\lim\limits_{x \to - \infty} { {f(x)} }=l .

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Astuce

Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer ce type de limite. Et inversement, si une limite en l’infini a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote horizontale.

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Exemple

Considérons la fonction f(x)=2xf(x) = -{2 \over x}

On a lim{x+}f(x)=0\lim\limits{x \to + \infty} { {f(x)} }=0 et lim{x}f(x)=0\lim\limits{x \to - \infty} { {f(x)} }=0. On en déduit que la droite d’équation y=0y=0 est asymptote horizontale à la courbe CfCf au voisinage de ++\infty et de -\infty.

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Astuce

Pour déterminer la position relative de la courbe CfC_f par rapport à une asymptote d’équation y=ly=l et, dans ce cas, il faudra étudier le signe de la différence f(x)lf(x)-l.

  • si f(x)l>0f(x)-l > 0 alors f(x)>lf(x)>l et la courbe CfC_f est au dessus de l’asymptote.

  • si f(x)l<0f(x)-l <0 alors f(x)<lf(x)< l et la courbe CfC_f est au dessous de l’asymptote.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

Soit aa un réel et hh un réel positif non nul ; soit ff une fonction définie sur une partie de R\mathbb{R} contenant un intervalle ]ah;a[]a-h;a[ ou ]a;a+h[]a;a+h[.

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Définition

Limite infinie en un point :

  • ff a pour limite ++\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut à condition de prendre xx suffisamment proche de a.a.On note alors : lim{xa}f(x)=+.\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= +\infty.
  • ff a pour limite -\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi petit que l’on veut à condition de prendre xx suffisamment proche de aa. On note alors : lim{xa}f(x)=.\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= -\infty.
  • On parle de limite à gauche en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs inférieures à aa.

lim{xax<a}f(x)=+\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}

lim{xax<a}f(x)=\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}

  • On parle de limite à droite en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs supérieures à aa.

On note :

lim{xax>a}f(x)=+\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}

lim{xax>a}f(x)=\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= - \infty\end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Dans ces quatre cas, la droite d’équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe réprésentative de la fonction ff.

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Astuce

Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer ce type de limite. Et inversement si une limite en un réel aa a déjà été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote verticale.

Opérations sur les limites

Limites des fonctions usuelles

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À retenir

  • Fonctions de type xnx^n :

lim{x+}xn=+\lim\limits{x \to +\infty} { {x^n} }= +\infty et lim{x}xn=+\lim\limits{x \to -\infty} { {x^n} }= +\infty si nn est pair,

lim{x}xn=\lim\limits_{x \to -\infty} { {x^n} }= -\infty si nn est impair.

$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty} {\text{ou} \atop x\to -\infty}} { \dfrac{1}{x} }= 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 } { \dfrac{1}{x} }= +\infty\end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0 } { \dfrac{1}{x} }= - \infty\end{aligned}$

  • Fonction constante $f(x)=k$ avec k réel :

$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} {k }= k\end{aligned}$

$\lim\limits_{x \to +\infty} { \sqrt x }= +\infty$

Propriétés des opérations sur les limites

Ces tableaux sont à connaître. Il existe donc quatre formes indéterminées : $"+\infty + -\infty\:","0\times \infty\:","\dfrac {\infty}{\infty} \:", "\dfrac {0}{0} \:"$

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Astuce

Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.

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Exemple

Déterminer la limite de cette fonction définir sur $\mathbb{R}$ en $+\infty$, $f(x)= x^3 - 2x+5$

  • Commençons par chercher la limite par somme :

$\lim\limits_{x \to +\infty} { {x^3} }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} { - 2x+5 }= -\infty$

Une forme indéterminée apparaît. (Il faut la reconnaître mais il ne faut pas l’écrire sur une copie, ici il s’agit de la forme indéterminée $"+\infty" + "- \infty\:"$)

  • Pour lever cette indétermination, transformons l’expression de la fonction en la factorisant par $x$ :

$\begin{aligned}f(x)&= x^3 - 2x+5 \\ &= x(x^2- 2+\dfrac{5}{x})\end{aligned}$

  • Calculons la limite de cette nouvelle expression :

$\lim\limits_{x \to +\infty} { x^2-2 }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x}=0$

par somme $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2-2+\dfrac{5}{x}=+\infty$

de plus $\lim\limits_{x \to +\infty} { x }= +\infty$

donc par produit $\lim\limits_{x \to +\infty} x(x^2-2+\dfrac{5}{x})=+\infty$

  • Conclusion : $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\infty$

Limites et comparaison

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Théorème

Théorème de comparaison :

Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que :

  • $f(x)\geq g(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= +\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\infty$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que :

  • $f(x)\leq g(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= -\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= -\infty$

Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.

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Théorème

Théorème des gendarmes :

Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que :

  • $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= l$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} {h( x) }= l$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }=l$.

Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.