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Limites de fonctions

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Introduction :

La notion de fonction est connue depuis le collège. Au début de la classe de terminale, nous maîtrisons les fonctions affines (de la forme $x \to ax+b$), les fonctions de référence $x \to x^2$, $x \to \sqrt x$ , $x \to {1\over x}$ et enfin la dérivation d’une fonction et l’étude de ses variations. Ce cours va ajouter la notion de limite de fonction. Ces limites apportent des informations supplémentaires sur les fonctions et elles viendront compléter les tableaux de variations que nous savons déjà construire.

Limite à l’infini

Limite infinie à l’infini

Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+\infty[$ :

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Définition

Limite infinie à l’infini  :

$f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si les images $f(x)$ sont plus grandes que n’importe quel réel $A$ donné, à condition de prendre $x$ assez grand. On note alors :$\lim\limits_{x \to + \infty} { {f(x)} }= +\infty$.

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Définition

Limite infinie à l’infini :

$f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ si les images $f(x)$ sont plus petites que n’importe quel réel $A$ donné, à condition de prendre $x$ assez grand. On note alors :$\lim\limits_{x \to +\infty} { {f(x)} }= - \infty$.

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Exemple

  • Fonctions ayant pour limite $+\infty$ en $+\infty$ :

    $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to +\infty} { {x^2} }&= +\infty\\ \lim\limits_{x \to + \infty} { {\sqrt x} }&= +\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty} { {e^x} }&= +\infty \end{aligned}$

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Exemple

  • Fonctions ayant pour limite $-\infty$ en $+\infty$ :

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to+ \infty} { -{x^2} }&= -\infty\\ \lim\limits_{x \to+ \infty} { -{x^3} }&= -\infty \\ \lim\limits_{x \to+ \infty} { {-e^x} }&= -\infty \end{aligned}$

  • On définit de la même manière les limites infinies en $-\infty$.

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to -\infty} { {x^2} }&= +\infty\\ \lim\limits_{x \to- \infty} { {x^3} }&= -\infty\end{aligned}$

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À retenir

Plus généralement, il faut retenir que pour tout entier $n \geq 1$ :

$\lim\limits_{x \to +\infty} { {x^n} }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} { {x^n} }= +\infty$ si $n$ est pair ;

$\lim\limits_{x \to -\infty} { {x^n} }= -\infty$ si $n$ est impair.

Limite finie à l’infini et asymptote horizontale

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Définition

Limite finie à l’infini :

Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+\infty[$ :

Dire que $f$ a pour limite le réel $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note alors :

$$\lim\limits_{\stackrel{x \to + \infty}{f(x)} }=l$$

On dit, dans ce cas, que la droite d’équation $y=l$ est asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

On définit de même une asymptote horizontale, d’équation $y=l$ , au voisinage de $-\infty$ lorsque :$\lim\limits_{x \to - \infty} { {f(x)} }=l$ .

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Astuce

Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer ce type de limite. Et inversement, si une limite en l’infini a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote horizontale.

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Exemple

Considérons la fonction $f(x) = -{2 \over x}$

On a $\lim\limits_{x \to + \infty} { {f(x)} }=0$ et $\lim\limits_{x \to - \infty} { {f(x)} }=0$. On en déduit que la droite d’équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe $Cf$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$.

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Astuce

Pour déterminer la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à une asymptote d’équation $y=l$ et, dans ce cas, il faudra étudier le signe de la différence $f(x)-l$.

  • si $f(x)-l > 0$ alors $f(x)>l$ et la courbe $C_f$ est au dessus de l’asymptote.

  • si $f(x)-l <0$ alors $f(x)< l$ et la courbe $C_f$ est au dessous de l’asymptote.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

Soit $a$ un réel et $h$ un réel positif non nul ; soit $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $]a-h;a[$ ou $]a;a+h[$.

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Définition

Limite infinie en un point :

  • $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi grand que l’on veut à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a.$On note alors : $\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= +\infty.$
  • $f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi petit que l’on veut à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a$. On note alors : $\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= -\infty.$
  • On parle de limite à gauche en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$.

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}$

  • On parle de limite à droite en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$.

On note :

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= - \infty\end{aligned}$

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À retenir

Dans ces quatre cas, la droite d’équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe réprésentative de la fonction $f$.

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Astuce

Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer ce type de limite. Et inversement si une limite en un réel $a$ a déjà été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote verticale.

Opérations sur les limites

Limites des fonctions usuelles

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À retenir

  • Fonctions de type $x^n$ :

$\lim\limits_{x \to +\infty} { {x^n} }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} { {x^n} }= +\infty$ si $n$ est pair,

$\lim\limits_{x \to -\infty} { {x^n} }= -\infty$ si $n$ est impair.

$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty} {\text{ou} \atop x\to -\infty}} { \dfrac{1}{x} }= 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 } { \dfrac{1}{x} }= +\infty\end{aligned}$

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0 } { \dfrac{1}{x} }= - \infty\end{aligned}$

  • Fonction constante $f(x)=k$ avec k réel :

$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} {k }= k\end{aligned}$

$\lim\limits_{x \to +\infty} { \sqrt x }= +\infty$

Propriétés des opérations sur les limites

Ces tableaux sont à connaître. Il existe donc quatre formes indéterminées : $"+\infty + -\infty\:","0\times \infty\:","\dfrac {\infty}{\infty} \:", "\dfrac {0}{0} \:"$

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Astuce

Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.

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Exemple

Déterminer la limite de cette fonction définir sur $\mathbb{R}$ en $+\infty$, $f(x)= x^3 - 2x+5$

  • Commençons par chercher la limite par somme :

$\lim\limits_{x \to +\infty} { {x^3} }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} { - 2x+5 }= -\infty$

Une forme indéterminée apparaît. (Il faut la reconnaître mais il ne faut pas l’écrire sur une copie, ici il s’agit de la forme indéterminée $"+\infty" + "- \infty\:"$)

  • Pour lever cette indétermination, transformons l’expression de la fonction en la factorisant par $x$ :

$\begin{aligned}f(x)&= x^3 - 2x+5 \\ &= x(x^2- 2+\dfrac{5}{x})\end{aligned}$

  • Calculons la limite de cette nouvelle expression :

$\lim\limits_{x \to +\infty} { x^2-2 }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x}=0$

par somme $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2-2+\dfrac{5}{x}=+\infty$

de plus $\lim\limits_{x \to +\infty} { x }= +\infty$

donc par produit $\lim\limits_{x \to +\infty} x(x^2-2+\dfrac{5}{x})=+\infty$

  • Conclusion : $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\infty$

Limites et comparaison

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Théorème

Théorème de comparaison :

Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que :

  • $f(x)\geq g(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= +\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\infty$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que :

  • $f(x)\leq g(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= -\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= -\infty$

Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.

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Théorème

Théorème des gendarmes :

Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que :

  • $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= l$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} {h( x) }= l$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }=l$.

Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.