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Limites de fonctions
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Introduction :
La notion de fonction est connue depuis le collège. Au début de la classe de terminale, nous maîtrisons les fonctions affines (de la forme ), les fonctions de référence , , et enfin la dérivation d’une fonction et l’étude de ses variations. Ce cours va ajouter la notion de limite de fonction. Ces limites apportent des informations supplémentaires sur les fonctions et elles viendront compléter les tableaux de variations que nous savons déjà construire.
Limite à l’infini
Limite infinie à l’infini
Soit un réel et une fonction définie au moins sur un intervalle :
Limite infinie à l’infini :
a pour limite en si les images sont plus grandes que n’importe quel réel donné, à condition de prendre assez grand. On note alors :.
Limite infinie à l’infini :
a pour limite en si les images sont plus petites que n’importe quel réel donné, à condition de prendre assez grand. On note alors :.
Fonctions ayant pour limite en :
Plus généralement, il faut retenir que pour tout entier :
et si est pair ;
si est impair.
Limite finie à l’infini et asymptote horizontale
Limite finie à l’infini :
Soit une fonction définie au moins sur un intervalle :
Dire que a pour limite le réel quand tend vers signifie que tout intervalle ouvert contenant contient toutes les images pour suffisamment grand.
On note alors :
On dit, dans ce cas, que la droite d’équation est asymptote horizontale au voisinage de à la courbe représentative de .
On définit de même une asymptote horizontale, d’équation , au voisinage de lorsque : .
Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer ce type de limite. Et inversement, si une limite en l’infini a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote horizontale.
Considérons la fonction
On a et . On en déduit que la droite d’équation est asymptote horizontale à la courbe au voisinage de et de .
Pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à une asymptote d’équation et, dans ce cas, il faudra étudier le signe de la différence .
si alors et la courbe est au dessus de l’asymptote.
si alors et la courbe est au dessous de l’asymptote.
Limite infinie en un point et asymptote verticale
Soit un réel et un réel positif non nul ; soit une fonction définie sur une partie de contenant un intervalle ou .
Limite infinie en un point :
On note :
Dans ces quatre cas, la droite d’équation est asymptote verticale à la courbe réprésentative de la fonction .
Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer ce type de limite. Et inversement si une limite en un réel a déjà été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote verticale.
Opérations sur les limites
Limites des fonctions usuelles
et si est pair,
si est impair.
$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty} {\text{ou} \atop x\to -\infty}} { \dfrac{1}{x} }= 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 } { \dfrac{1}{x} }= +\infty\end{aligned}$
$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0 } { \dfrac{1}{x} }= - \infty\end{aligned}$
$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} {k }= k\end{aligned}$
$\lim\limits_{x \to +\infty} { \sqrt x }= +\infty$
Propriétés des opérations sur les limites
Ces tableaux sont à connaître. Il existe donc quatre formes indéterminées : $"+\infty + -\infty\:","0\times \infty\:","\dfrac {\infty}{\infty} \:", "\dfrac {0}{0} \:"$
Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
Déterminer la limite de cette fonction définir sur $\mathbb{R}$ en $+\infty$, $f(x)= x^3 - 2x+5$
$\lim\limits_{x \to +\infty} { {x^3} }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} { - 2x+5 }= -\infty$
Une forme indéterminée apparaît. (Il faut la reconnaître mais il ne faut pas l’écrire sur une copie, ici il s’agit de la forme indéterminée $"+\infty" + "- \infty\:"$)
$\begin{aligned}f(x)&= x^3 - 2x+5 \\ &= x(x^2- 2+\dfrac{5}{x})\end{aligned}$
$\lim\limits_{x \to +\infty} { x^2-2 }= +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x}=0$
par somme $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2-2+\dfrac{5}{x}=+\infty$
de plus $\lim\limits_{x \to +\infty} { x }= +\infty$
donc par produit $\lim\limits_{x \to +\infty} x(x^2-2+\dfrac{5}{x})=+\infty$
Limites et comparaison
Théorème de comparaison :
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que :
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que :
Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.
Théorème des gendarmes :
Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que :
Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.