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Limites de fonctions

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Épisode 1

1. Limite infinie, infinie en un point et asymptote verticale

Épisode 2

2. Opérations sur les limites

Épisode 3

3. Limites et comparaison

Limites infinies à l’infini

Limites +∞+∞+∞ en +∞+∞+∞

Soit a∈Ra∈Ra∈R et fff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+∞[]a;+∞[]a;+∞[.

fff a pour image +∞+\infty+∞ en +∞+\infty+∞ si les images f(x)f(x)f(x) sont plus grandes que n’importe quel AAA donné à condition de prendre un xxx assez grand.

On note alors : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to + \infty} { {f(x)} }= +\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞

Limites −∞-\infty−∞ en +∞+\infty+∞

Soit a∈Ra∈Ra∈R et fff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+∞[]a;+∞[]a;+∞[.

fff a pour image −∞-∞−∞ en +∞+∞+∞ si les images f(x)f(x)f(x) sont plus petites que n’importe quel AAA donné à condition de prendre un xxx assez grand.

On note alors lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty x→+∞lim​f(x)=−∞

Asymptotes

Asymptote horizontale et limite finie à l’infini

Définitions : limite finie à l’infini

Soit fff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+∞[]a;+∞[]a;+∞[ .

Dire que fff a pour limite le réel lll quand xxx tend vers +∞+\infty+∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant lll contient toutes les images f(x)f(x)f(x) pour xxx suffisamment grand.

On note alors : lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=l x→+∞lim​f(x)=l

  • On dit, dans ce cas, que la droite d’équation y=ly=ly=l est asymptote horizontale au voisinage de +∞+\infty+∞ à la courbe représentative de fff.
  • On définit de même une asymptote horizontale d’équation y=ly=ly=l au voisinage de −∞-∞−∞ lorsque lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty}f(x)=l x→−∞lim​f(x)=l

Méthode : Déterminer la position relative d’une courbe et de son asymptote.

Pour déterminer la position relative de la courbe CfCfCf par rapport à une asymptote d’équation y=ly=ly=l il faut étudier le signe de la différence f(x)−lf(x)-lf(x)−l :

  • Si f(x)−l>0f(x)-l >0f(x)−l>0 alors f(x)>lf(x)>lf(x)>l et la courbe CfC_fCf​ est au dessus de l’asymptote.
  • Si f(x)−l<0f(x)-l <0f(x)−l<0 alors f(x)<lf(x) < lf(x)<l et la courbe CfC_fCf​ est au dessus de l’asymptote.

Asymptote verticale et limite infinie en un point

Définition : limite infinie en un point

Soit aaa un réel et hhh un réel positif non nul ;

Soit fff une fonction définie sur une partie de R\mathbb{R}R contenant un intervalle ]a−h;a[]a-h;a[]a−h;a[ ou ]a;a+h[]a;a+h[]a;a+h[.

  • fff a pour limite +∞+\infty+∞ quand xxx tend vers aaa si f(x)f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut à condition de prendre xxx suffisamment proche de aaa.

On note alors : lim⁡x→af(x)=+∞\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= +\inftyx→alim​f(x)=+∞.

  • fff a pour limite −∞-\infty−∞ quand xxx tend vers aaa si f(x)f(x)f(x) est aussi petit que l’on veut à condition de prendre xxx suffisamment proche de aaa.

On note alors : lim⁡x→af(x)=−∞\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= -\inftyx→alim​f(x)=−∞.

  • On dit dans ces cas que la droite d'équation x=ax=ax=a est asymptote verticale à la courbe représentative de fff.

Limites à gauche et limite à droite

On parle de limite à gauche en aaa lorsque xxx tend vers aaa par valeurs inférieures à aaa.

On note :

  • lim⁡x→ax<af(x)=+∞\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}x<ax→a​lim​f(x)=+∞​
  • lim⁡x→ax<af(x)=−∞\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}x<ax→a​lim​f(x)=−∞​

On parle de limite à droite en aaa lorsque xxx tend vers aaa par valeurs supérieures à aaa.

On note :

  • lim⁡x→ax<af(x)=+∞\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}x<ax→a​lim​f(x)=+∞​
  • lim⁡x→ax<af(x)=−∞\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}x<ax→a​lim​f(x)=−∞​

Méthode pour définir une asymptote

  • Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer la limite à l’infini. Et inversement si une limite en l’infini a été calculée et que l'on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote horizontale.
  • Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer la limite en un point de l’axe des abscisses. Et inversement, si une limite en un réel aaa a déjà été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote verticale.

Opérations sur les limites

Limites des fonctions usuelles

Fonctions de type xnx^nxn :

Pour tout entier n≥1n≥1n≥1,

  • lim⁡x→+∞xn=+∞\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty} x^n= +\inftyx→+∞lim​xn=+∞
  • lim⁡x→−∞xn=+∞\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= +\inftyx→−∞lim​xn=+∞ si nnn est pair et
  • lim⁡x→−∞xn=−∞\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= -\inftyx→−∞lim​xn=−∞ si nnn est impair.

Fonction inverse :

  • lim⁡oux→−∞x→+∞1x=0\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} { \dfrac{1}{x} }= 0\end{aligned}x→−∞ou​x→+∞​lim​x1​=0​
  • lim⁡x→0x>01x=+∞\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 } { \dfrac{1}{x} }= +\infty\end{aligned}x>0x→0​lim​x1​=+∞​
  • lim⁡x→0x<01x=−∞\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0 } { \dfrac{1}{x} }= - \infty\end{aligned}x<0x→0​lim​x1​=−∞​

Fonction constante f(x)=kf(x)=kf(x)=k

avec k réel,

  • lim⁡oux→−∞x→+∞k=k\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} {k }= k\end{aligned}x→−∞ou​x→+∞​lim​k=k​

Fonction racine carrée :

  • lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} { \sqrt x }= +\inftyx→+∞lim​x​=+∞

Opérations sur les limites

  • Pour lever une forme indéterminée, il suffit très souvent de factoriser l'expression de la fonction.

Limites et comparaisons

Théorème de comparaison:

Soit fff et ggg deux fonctions sur un intervalle [a;+∞[[a; +\infty[[a;+∞[ telles que :

  • si f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x)f(x)≥g(x)
  • et si lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= +\inftyx→+∞lim​g(x)=+∞
  • Alors lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞

Soit fff et ggg deux fonctions sur un intervalle [a;+∞[[a; +\infty[[a;+∞[ telles que :

  • si f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x)f(x)≤g(x)
  • et si lim⁡x→+∞g(x)=−∞\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= -\inftyx→+∞lim​g(x)=−∞
  • Alors lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= -\inftyx→+∞lim​f(x)=−∞
  • Ces deux propriétés s’étendent aux limites en −∞-\infty−∞ en changeant l’intervalle [a;+∞[[a; +\infty[[a;+∞[ en ]−∞;a]]-\infty; a]]−∞;a].

Théorème des gendarmes :

Soit fff, ggg et hhh trois fonctions et lll un nombre réel tels que :

  • f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)\leq g(x) \leq h(x)f(x)≤g(x)≤h(x) sur un intervalle [a;+∞[[a; +\infty[[a;+∞[
  • lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= lx→+∞lim​f(x)=l et lim⁡x→+∞h(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} {h( x) }= lx→+∞lim​h(x)=l
  • Alors lim⁡x→+∞g(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }=lx→+∞lim​g(x)=l.

Ce théorème s’étend aux limites en −∞-\infty−∞ en changeant l’intervalle [a;+∞[[a; +\infty[[a;+∞[ en ]−∞;a]]-\infty; a]]−∞;a].

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Cette fiche de révision fait appel aux contenus suivants

Courbe représentative

Définition

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Fonction inverse

Définition

Icone MatièreMathématiques

Fonction racine carrée

Définition

Icone MatièreMathématiques

Factoriser

Définition

Icone MatièreMathématiques

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