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Limites de fonctions
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Limites infinies à l’infini
Limites en
Soit et une fonction définie au moins sur un intervalle .
a pour image en si les images sont plus grandes que n’importe quel donné à condition de prendre un assez grand.
On note alors :
Limites en
Soit et une fonction définie au moins sur un intervalle .
a pour image en si les images sont plus petites que n’importe quel donné à condition de prendre un assez grand.
On note alors
Asymptotes
Asymptote horizontale et limite finie à l’infini
Définitions : limite finie à l’infini
Soit une fonction définie au moins sur un intervalle .
Dire que a pour limite le réel quand tend vers signifie que tout intervalle ouvert contenant contient toutes les images pour suffisamment grand.
On note alors :
Méthode : Déterminer la position relative d’une courbe et de son asymptote.
Pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à une asymptote d’équation il faut étudier le signe de la différence :
>
Asymptote verticale et limite infinie en un point
Définition : limite infinie en un point
Soit un réel et un réel positif non nul ;
Soit une fonction définie sur une partie de contenant un intervalle ou .
On note alors : .
On note alors : .
Limites à gauche et limite à droite
On parle de limite à gauche en lorsque tend vers par valeurs inférieures à .
On note :
On parle de limite à droite en lorsque tend vers par valeurs supérieures à .
On note :
>
Méthode pour définir une asymptote
Opérations sur les limites
Limites des fonctions usuelles
Fonctions de type :
Pour tout entier ,
Fonction constante $f(x)=k$
avec k réel,
Opérations sur les limites
Limites et comparaisons
Théorème de comparaison:
Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :
Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :
Théorème des gendarmes :
Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que :
Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.