Limites de fonctions

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Épisode 1

1. Limite infinie, infinie en un point et asymptote verticale

Épisode 2

2. Opérations sur les limites

Épisode 3

3. Limites et comparaison

Limites infinies à l’infini

Limites $+∞$ en $+∞$

Soit $a∈R$ et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+∞[$ .

$f$ a pour image $+\infty$ en $+\infty$ si les images $f(x)$ sont plus grandes que n’importe quel $A$ donné à condition de prendre un $x$ assez grand.

On note alors : $\lim\limits_{x \to + \infty} { {f(x)} }= +\infty$

Limites $-\infty$ en $+\infty$

Soit $a∈R$ et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+∞[$ .

$f$ a pour image $-∞$ en $+∞$ si les images $f(x)$ sont plus petites que n’importe quel $A$ donné à condition de prendre un $x$ assez grand.

On note alors $\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty$

Asymptotes

Asymptote horizontale et limite finie à l’infini

Définitions : limite finie à l’infini

Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a;+∞[$ .

Dire que $f$ a pour limite le réel $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note alors : $\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=l$

On dit, dans ce cas, que la droite d’équation $y=l$ est asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ à la courbe représentative de $f$ .
On définit de même une asymptote horizontale d’équation $y=l$ au voisinage de $-∞$ lorsque $\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty}f(x)=l$

Méthode : Déterminer la position relative d’une courbe et de son asymptote.

Pour déterminer la position relative de la courbe $Cf$ par rapport à une asymptote d’équation $y=l$ il faut étudier le signe de la différence $f(x)-l$ :

Si $f(x)-l >0$ alors $f(x)>l$ et la courbe $C_f$ est au dessus de l’asymptote.
Si $f(x)-l <0$ alors $f(x) < l$ et la courbe $C_f$ est au dessus de l’asymptote.

Asymptote verticale et limite infinie en un point

Définition : limite infinie en un point

Soit $a$ un réel et $h$ un réel positif non nul ;

Soit $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $]a-h;a[$ ou $]a;a+h[$ .

$f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi grand que l’on veut à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a$ .

On note alors : $\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= +\infty$ .

$f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ est aussi petit que l’on veut à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a$ .

On note alors : $\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= -\infty$ .

On dit dans ces cas que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ .

Limites à gauche et limite à droite

On parle de limite à gauche en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$ .

On note :

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}$
$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}$

On parle de limite à droite en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$ .

On note :

$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}$
$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}$

Méthode pour définir une asymptote

Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer la limite à l’infini. Et inversement si une limite en l’infini a été calculée et que l'on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote horizontale.
Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer la limite en un point de l’axe des abscisses. Et inversement, si une limite en un réel $a$ a déjà été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote verticale.

Opérations sur les limites

Limites des fonctions usuelles

Fonctions de type $x^n$ :

Pour tout entier $n≥1$ ,

$\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty} x^n= +\infty$
$\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= +\infty$ si $n$ est pair et
$\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= -\infty$ si $n$ est impair.

Fonction inverse :

$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} { \dfrac{1}{x} }= 0\end{aligned}$
$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 } { \dfrac{1}{x} }= +\infty\end{aligned}$
$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0 } { \dfrac{1}{x} }= - \infty\end{aligned}$

Fonction constante $f(x)=k$

avec k réel,

$\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} {k }= k\end{aligned}$

Fonction racine carrée :

$\lim\limits_{x \to +\infty} { \sqrt x }= +\infty$

Opérations sur les limites

Pour lever une forme indéterminée, il suffit très souvent de factoriser l'expression de la fonction.

Limites et comparaisons

Théorème de comparaison:

Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :

si $f(x)\geq g(x)$
et si $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= +\infty$
Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\infty$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :

si $f(x)\leq g(x)$
et si $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= -\infty$
Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= -\infty$
Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$ .

Théorème des gendarmes :

Soit $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que :

$f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
$\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= l$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} {h( x) }= l$
Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }=l$ .

Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$ .

Cette fiche de révision fait appel aux contenus suivants

Courbe représentative

Définition

Mathématiques

Fonction inverse

Définition

Mathématiques

Fonction racine carrée

Définition

Mathématiques

Factoriser

Définition

Mathématiques

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Limites infinies à l’infini

Limites +∞+∞+∞ en +∞+∞+∞

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Asymptotes

Asymptote horizontale et limite finie à l’infini

Asymptote verticale et limite infinie en un point

Méthode pour définir une asymptote

Opérations sur les limites

Limites des fonctions usuelles

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Limites $-\infty$ en $+\infty$