Épisode 1
1. Limite infinie, infinie en un point et asymptote verticale
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Épisode 1
1. Limite infinie, infinie en un point et asymptote verticale
Épisode 2
2. Opérations sur les limites
Épisode 3
3. Limites et comparaison
Limites infinies à l’infini
Limites +∞ en +∞
Soit a∈R et f une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+∞[.
f a pour image +∞ en +∞ si les images f(x) sont plus grandes que n’importe quel A donné à condition de prendre un x assez grand.
On note alors : x→+∞limf(x)=+∞
Limites −∞ en +∞
Soit a∈R et f une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+∞[.
f a pour image −∞ en +∞ si les images f(x) sont plus petites que n’importe quel A donné à condition de prendre un x assez grand.
On note alors x→+∞limf(x)=−∞
Asymptotes
Asymptote horizontale et limite finie à l’infini
Définitions : limite finie à l’infini
Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+∞[ .
Dire que f a pour limite le réel l quand x tend vers +∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les images f(x) pour x suffisamment grand.
On note alors : x→+∞limf(x)=l
Méthode : Déterminer la position relative d’une courbe et de son asymptote.
Pour déterminer la position relative de la courbe Cf par rapport à une asymptote d’équation y=l il faut étudier le signe de la différence f(x)−l :
Asymptote verticale et limite infinie en un point
Définition : limite infinie en un point
Soit a un réel et h un réel positif non nul ;
Soit f une fonction définie sur une partie de R contenant un intervalle ]a−h;a[ ou ]a;a+h[.
On note alors : x→alimf(x)=+∞.
On note alors : x→alimf(x)=−∞.
Limites à gauche et limite à droite
On parle de limite à gauche en a lorsque x tend vers a par valeurs inférieures à a.
On note :
On parle de limite à droite en a lorsque x tend vers a par valeurs supérieures à a.
On note :
Méthode pour définir une asymptote
Opérations sur les limites
Limites des fonctions usuelles
Fonctions de type xn :
Pour tout entier n≥1,
Fonction constante f(x)=k
avec k réel,
Opérations sur les limites
Limites et comparaisons
Théorème de comparaison:
Soit f et g deux fonctions sur un intervalle [a;+∞[ telles que :
Soit f et g deux fonctions sur un intervalle [a;+∞[ telles que :
Théorème des gendarmes :
Soit f, g et h trois fonctions et l un nombre réel tels que :
Ce théorème s’étend aux limites en −∞ en changeant l’intervalle [a;+∞[ en ]−∞;a].
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