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Marianne

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Limites de fonctions

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Limites infinies à l’infini

Limites ++∞ en ++∞

Soit aRa∈R et ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+[]a;+∞[.

ff a pour image ++\infty en ++\infty si les images f(x)f(x) sont plus grandes que n’importe quel AA donné à condition de prendre un xx assez grand.

On note alors : lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to + \infty} { {f(x)} }= +\infty

Limites -\infty en ++\infty

Soit aRa∈R et ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+[]a;+∞[.

ff a pour image -∞ en ++∞ si les images f(x)f(x) sont plus petites que n’importe quel AA donné à condition de prendre un xx assez grand.

On note alors limx+f(x)=\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty

Asymptotes

Asymptote horizontale et limite finie à l’infini

Définitions : limite finie à l’infini

Soit ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a;+[]a;+∞[ .

Dire que ff a pour limite le réel ll quand xx tend vers ++\infty signifie que tout intervalle ouvert contenant ll contient toutes les images f(x)f(x) pour xx suffisamment grand.

On note alors : limx+f(x)=l\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty}f(x)=l

  • On dit, dans ce cas, que la droite d’équation y=ly=l est asymptote horizontale au voisinage de ++\infty à la courbe représentative de ff.
  • On définit de même une asymptote horizontale d’équation y=ly=l au voisinage de -∞ lorsque limxf(x)=l\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty}f(x)=l

Méthode : Déterminer la position relative d’une courbe et de son asymptote.

Pour déterminer la position relative de la courbe CfCf par rapport à une asymptote d’équation y=ly=l il faut étudier le signe de la différence f(x)lf(x)-l :

  • Si f(x)l<mo

0f(x)-l >0 alors f(x)>lf(x)>l et la courbe CfC_f est au dessus de l’asymptote.

  • Si f(x)l<0f(x)-l <0 alors f(x)<lf(x) < l et la courbe CfC_f est au dessus de l’asymptote.

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Asymptote verticale et limite infinie en un point

Définition : limite infinie en un point

Soit aa un réel et hh un réel positif non nul ;

Soit ff une fonction définie sur une partie de R\mathbb{R} contenant un intervalle ]ah;a[]a-h;a[ ou ]a;a+h[]a;a+h[.

  • ff a pour limite ++\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut à condition de prendre xx suffisamment proche de aa.

On note alors : lim{xa}f(x)=+\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= +\infty.

  • ff a pour limite -\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi petit que l’on veut à condition de prendre xx suffisamment proche de aa.

On note alors : lim{xa}f(x)=\lim\limits_{x \to a} { f(x) }= -\infty.

  • On dit dans ces cas que la droite d'équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe représentative de ff.

Limites à gauche et limite à droite

On parle de limite à gauche en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs inférieures à aa.

On note :

  • lim{xax<a}f(x)=+\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}
  • lim{xax<a}f(x)=\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x < a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}

On parle de limite à droite en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs supérieures à aa.

On note :

  • lim{xax<mo

a}f(x)=+\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= +\infty\end{aligned}

  • lim{xax>a}f(x)=\begin{aligned}\lim\limits_{x \to a \atop x > a} { f(x) }= -\infty\end{aligned}

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Méthode pour définir une asymptote

  • Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer la limite à l’infini. Et inversement si une limite en l’infini a été calculée et que l'on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote horizontale.
  • Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer la limite en un point de l’axe des abscisses. Et inversement, si une limite en un réel aa a déjà été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, il faut parler d’asymptote verticale.

Opérations sur les limites

Limites des fonctions usuelles

Fonctions de type xnx^n :

Pour tout entier n1n≥1,

  • limx+xn=+\lim\limits_{{x}\rightarrow+\infty} x^n= +\infty
  • limxxn=+\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= +\infty si nn est pair et
  • limxxn=\lim\limits_{{x}\rightarrow-\infty} x^n= -\infty si nn est impair.

Fonction inverse :

  • $\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} { \dfrac{1}{x} }= 0\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0 } { \dfrac{1}{x} }= +\infty\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0 } { \dfrac{1}{x} }= - \infty\end{aligned}$

Fonction constante $f(x)=k$

avec k réel,

  • $\begin{aligned}\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{\text{ou} \atop x\to -\infty}} {k }= k\end{aligned}$

Fonction racine carrée :

  • $\lim\limits_{x \to +\infty} { \sqrt x }= +\infty$

Opérations sur les limites

  • Pour lever une forme indéterminée, il suffit très souvent de factoriser l'expression de la fonction.

Limites et comparaisons

Théorème de comparaison:

Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :

  • si $f(x)\geq g(x)$
  • et si $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= +\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= +\infty$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions sur un intervalle $[a; +\infty[$ telles que :

  • si $f(x)\leq g(x)$
  • et si $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }= -\infty$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= -\infty$
  • Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.

Théorème des gendarmes :

Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que :

  • $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a; +\infty[$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} {f( x) }= l$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} {h( x) }= l$
  • Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} {g( x) }=l$.

Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$ en changeant l’intervalle $[a; +\infty[$ en $]-\infty; a]$.