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Épreuve de Bernoulli et loi Binomiale

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Épreuve et schéma de Bernouilli

Épreuve de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre pp toute expérience admettant deux issues exactement :

  • l’une appelée « succès » notée S dont la probabilité est pp ;
  • l’autre appelée « échec » notée S\overline{S} dont la probabilité est 1p1-p.

Schéma de Bernoulli

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp avec nn entier naturel non nul et pp réel compris entre 00 et 11, toute expérience aléatoire consistant à répéter nn fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre pp.

Coefficients binomiaux

Définition

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. kk est un entier tel que 0kn0 \leq k\leq n. On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à kk succès sur l’arbre représentant cette expérience. Ce nombre se note (nk)\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix} et se lit « kk parmi nn  ».

Les propriétés des coefficients binomiaux

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp.

kk est un entier tel que 0kn0 \leq k \leq n.

On a les résultats suivants :

(00)=1\begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}=1

(n0)=1\begin{pmatrix}n\0\end{pmatrix}=1

(nn)=1\begin{pmatrix}n\n\end{pmatrix}=1

(n1)=n\begin{pmatrix}n\1\end{pmatrix}=n

(nnk)=(nk)\begin{pmatrix}n\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}

(n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\begin{pmatrix}n+1\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\k+1\end{pmatrix}

Loi binomiale

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp (avec nn entier naturel non nul et pp un réel compris entre 00 et 11) et XX la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.

On dit alors que XX suit la loi binomiale de paramètres nn et pp que l’on note B(n;p)B (n ;p) La loi de la variable aléatoire XX est donnée, pour tout entier compris entre 00 et nn par :

  • p(X=k)=(nk) pk(1p)nkp(X=k)=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}\ p^k (1-p)^{n-k}
  • E(X)=npE(X)=np
  • V(X)=np(1p)V(X)=np(1-p)
  • σ(X)=np(1p)\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}