Loi binomiale

Épreuve et schéma de Bernouilli

Épreuve de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ toute expérience admettant deux issues exactement :

• l’une appelée « succès » notée S dont la probabilité est $p$ ;
• l’autre appelée « échec » notée $\overline{S}$ dont la probabilité est $1-p$.

Schéma de Bernoulli

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ avec $n$ entier naturel non nul et $p$ réel compris entre $0$ et $1$, toute expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Coefficients binomiaux

Définition

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. $k$ est un entier tel que $0 \leq k\leq n$. On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à $k$ succès sur l’arbre représentant cette expérience. Ce nombre se note $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ et se lit « $k$ parmi $n$ ».

Les propriétés des coefficients binomiaux

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

$k$ est un entier tel que $0 \leq k \leq n$.

On a les résultats suivants :

$\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=1$

$\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$

$\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$

$\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n$

$\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}$

Loi binomiale

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ (avec $n$ entier naturel non nul et $p$ un réel compris entre $0$ et $1$) et $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ que l’on note $B (n ;p)$ La loi de la variable aléatoire $X$ est donnée, pour tout entier compris entre $0$ et $n$ par :

• $p(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\ p^k (1-p)^{n-k}$
• $E(X)=np$
• $V(X)=np(1-p)$
• $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$