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Épreuve de Bernoulli et loi Binomiale

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Introduction :

Ce cours est fortement en lien avec celui sur les probabilités et notamment avec la partie sur la répétition d’expériences identiques et indépendantes, tu peux donc, si besoin, revoir la vidéo correspondante.

Nous commencerons cette leçon avec les définitions d’une épreuve et d’un schéma de Bernoulli puis nous parlerons des coefficients binomiaux et du triangle de Pascal, enfin, nous terminerons par la définition et les propriétés de la loi binomiale.

Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

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Définition

Épreuve de Bernoulli :

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre pp, toute expérience admettant deux issues exactement :

  • l’une appelée « succès » notée SS, dont la probabilité est pp ;
  • l’autre appelée « échec » notée Sˉ\bar S, dont la probabilité est 1p1-p.

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Exemple

On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse au succès « obtenir un 6 ». Alors la probabilité du succès est p(S)=16p(S)=\dfrac16 et la probabilité de l’échec est p(Sˉ)=56p(\bar S )=\dfrac56.

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Propriété

On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre pp (pp est un réel compris entre 0 et 1. La variable aléatoire XX, prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, suit la loi donnée dans le tableau suivant et appelée loi de Bernoulli de paramètre pp.

xix_ii 0 1
p(X=xi)p(X=x_i)i) 1p1-p pp
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Propriété

  • Son espérance est : E(X)=pE(X)=p
  • Sa variance est : V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p)

Ces propriétés concernant l’espérance et la variance de la loi de Bernoulli se démontrent facilement à l’aide du cours sur les probabilités et des formules générales d’espérance et de variance.

Schéma de Bernoulli

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Définition

Schéma de Bernoulli :

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp, avec nn entier naturel non nul et pp réel compris entre 0 et 1, toute expérience aléatoire consistant à répéter nn fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre pp.

Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de nn issues SS ou Sˉ\bar S.

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Exemple

« On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues. »

  • Un tirage représente une épreuve de Bernoulli de paramètre p=710p=\dfrac7{10}puisqu’à chaque tirage on a 7 chances sur 10 de tirer une boule blanche, le tirage s’effectuant avec remise.

  • En répétant 3 fois cette même épreuve de façon indépendante, on obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres n=3 et p=710n=3\text{ et }p=\dfrac{7}{10}.
  • On peut appeler YY le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors YY prend ses valeurs dans l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3}\big\lbrace0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\big\rbrace

Alt texte

Coefficients binomiaux

Définition

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Définition

Coefficient binomial :

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. kk est un entier tel que 0kn0≤k≤n.

On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à kk succès sur l’arbre représentant cette expérience.

Ce nombre se note (nk)\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix} et se lit « kk parmi nn ».

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À retenir

Par convention, on pose (00)=1\begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}=1.

On peut obtenir ces nombres très facilement à l’aide de la calculatrice :

Avec une Ti

  • Entrer le nombre n choisi ;
  • MATH ;
  • PRB ;
  • Choix n°3 : « nCr » ou « Combinaison » selon la langue utilisée par la calculatrice ;
  • Entrer ;
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • ENTRER

Avec une casio

  • Entrer le nombre n choisi ;
  • OPTN ;
  • PROB ;
  • nCr
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • EXE

Propriétés et triangle de Pascal

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Propriété

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp.

kk est un entier tel que 0kn0 ≤ k ≤ n.

On a les résultats suivants :

(n0)=1\begin{pmatrix}n\0\end{pmatrix}=1 (nn)=1\begin{pmatrix}n\n\end{pmatrix}=1 (n1)=n\begin{pmatrix}n\1\end{pmatrix}=n (nnk)=(nk)\begin{pmatrix}n\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}

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Exemple

Soit le schéma de Bernoulli suivant où n=3;n=3 ; si on note en bleu les chemins correspondant à la combinaison (32)\begin{pmatrix}3\2\end{pmatrix} et en rouge les chemins correspondant à la combinaison (31)\begin{pmatrix}3\1\end{pmatrix}, on obtient l’arbre suivant avec 3 chemins rouges et 3 chemins bleus.

On a (31)=3\begin{pmatrix}3\1\end{pmatrix}=3 et (32)=3\begin{pmatrix}3\2\end{pmatrix}=3.

On peut aussi retrouver les résultats suivants :

  • (33)=1\begin{pmatrix}3\3\end{pmatrix}=1 en suivant le chemin SSSSSS
  • (30)=1\begin{pmatrix}3\0\end{pmatrix}=1 en suivant le chemin SˉSˉSˉ\bar S\bar S\bar S
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Propriété

Soient nn et kk deux entiers naturels tels que 0k<n0 ≤ k < n.

Alors on a (n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\begin{pmatrix}n+1\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\k+1\end{pmatrix}

  • Représentons cette propriété à l’aide du triangle de Pascal :

(nk)\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix} se trouve à l’intersection de la ligne nn et de la colonne kk.

Alt texte

0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
  • La propriété (n0)=1\begin{pmatrix}n\0\end{pmatrix}=1 permet de placer tous les 11 de la première colonne.
  • La propriété (nn)=1\begin{pmatrix}n\n\end{pmatrix}=1 permet de placer tous les 11 de la diagonale.
  • La propriété (n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\begin{pmatrix}n+1\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\k+1\end{pmatrix} permet de compléter le reste du tableau.
  • La propriété (nnk)=(nk)\begin{pmatrix}n\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix} permet de justifier la symétrie observée sur chaque ligne.

Loi binomiale

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Définition

Loi binomiale :

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp (avec nn entier naturel non nul et pp un réel compris entre 0 et 1) et XX la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.

On dit alors que XX suit la loi binomiale de paramètres nn et pp, que l’on note B(n ; p)B\big(n\ ;\ p\big).

La loi de la variable aléatoire XX est donnée, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, par :

p(X=k)=(nk) pk(1p)nkp(X=k)=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}\ p^k (1-p)^{n-k}

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Propriété

Soit une variable aléatoire XX qui suit une loi binomiale B(n ; p)B\big(n\ ;\ p\big). Alors :

E(X)=npE(X)=np

V(X)=np(1p)V(X)=np(1-p)

σ(X)=np(1p)\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}

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Exemple

« On lance 3 fois un dé équilibré à six faces et on considère comme un succès d’obtenir un 6. En nommant XX la variable aléatoire donnant le nombre de succès, XX suit une loi binomiale B(3 ;16)B(3\ ;\dfrac16). »

On peut calculer par exemple p(X=1)p(X=1).

p(X=1)=(31)×(16)1×(116)31=(31)×(16)1×(56)2=3×16×2536p(X=1)=2572\begin{aligned} p(X=1)&=\begin{pmatrix}3\1\end{pmatrix}×\Big(\dfrac16\Big)^1×\big(1-\dfrac16\big)^{3-1}\ &=\begin{pmatrix}3\1\end{pmatrix}×\Big(\dfrac16\Big)^1×\Big(\dfrac56\Big)^2\ &=3×\dfrac16×\dfrac{25}{36}\ p(X=1)&=\dfrac{25}{72} \end{aligned}

  • La probabilité d’obtenir exactement un 6 en trois lancers est de 2572\dfrac{25}{72}.
  • L’espérance de la variable aléatoire XX est E(X)=np=3×16=12E(X)=np=3×\dfrac16=\dfrac12
  • La variance de la variable aléatoire XX est V(X)=np(1p)=3×16×56=512V(X)=np(1-p)=3×\dfrac16×\dfrac56=\dfrac5{12}

On peut aussi créer une simulation de la loi binomiale sur une calculatrice (Casio ou TI) grâce à un algorithme.