Lois à densité

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Épisode 1

1. La loi binomiale : rappels

Épisode 2

2. Loi à densité, loi uniforme et loi exponentielle

Épisode 3

3. Lois normales

Introduction :

Ce cours permettra d’approfondir les connaissances relatives aux lois à densités. On abordera le langage des probabilités avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des méthodes et des exemples d’applications.

Rappels de première sur la loi binomiale

Définition

Épreuve de Bernoulli :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées « succès » et « échec ». On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre $p$ si la probabilité de succès est $p$ .

Définition

Schéma de Bernoulli :

Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli ( $n$ entier naturel non nul). Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : $n$ le nombre de répétitions et $p$ la probabilité de succès de l’épreuve répétée.

Exemple

Voici un arbre de probabilité représentant un schéma de Bernoulli pour $n = 3.$

L’issue correspondant au chemin rouge est souvent notée $(S,\overline{S},S)$ .

arbre de probabilité mathématiques terminale ES L

Astuce

La probabilité d’un chemin, donc d’une issue, s’obtient en faisant le produit des probabilités de chaque branche composant ce chemin.

Définition

Loi binomiale :

Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , on associe à l’expérience la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . On la note $B(n,p)$ .

Propriété

Si une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$ , la probabilité que $X$ soit égale à $k$ est : $p(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Exemple

On lance 5 fois un dé équilibré. Le succès est d’obtenir 6. Calculons $p(X=2)$ .

Définition des paramètres :

On lance le dé 5 fois : $n=5$ .

On a une chance sur six d’obtenir un 6 (le dé a 6 faces) : $p= \dfrac{1}{6}$ , et $k=2$ .

Calcul de $p(X=2) :$

$\begin{aligned}p(X=2)&=\dbinom{5}{2}\times \left( \dfrac{1}{6} \right)^2 \times \left(1- \dfrac{1}{6} \right)^3 \\&=10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} \\& \approx 0,161\end{aligned}$

Lois à densité et loi uniforme

Loi de probabilité à densité

Définition

Fonction densité :

On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle $I$ , toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l’intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à $1$ .

Définition

Variable aléatoire continue :

Une variable aléatoire continue $X$ sur un intervalle $I$ est définie par la donnée d’une fonction densité $f$ . La probabilité pour que $X$ appartienne à un intervalle $\left[ a,b \right]$ de $I$ est égale à l’aire sous la courbe de $f$ sur $\left[ a,b \right]$ , soit $\int_a^b f(t)dt$ .

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $I$ :

$p(X=a)=0$ (puisque $\int_a^a f(t)dt = 0$ )
$p(X>a)=1-p(X \leq a)$ et $p(a < X < b)=p(X < b)-p(X \leq a)$
Pour une loi continue, dans les calculs de probabilités, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes et réciproquement.

Loi uniforme

Définition

Loi uniforme :

$a$ et $b$ désignent deux nombres réels distincts avec $a < b$ .

Dire qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ a,b \right]$ signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur $\left[ a,b \right]$ .

La densité de probabilité de la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$ est la fonction $f$ définie sur $\left[ a,b \right]$ par :

$f(x) = \dfrac{1}{b-a}$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$ . pour tout intervalle $\left[ c,d \right]$ inclus dans $\left[ a,b \right]$ :

$p(c \leq X \leq d)= \dfrac{d-c}{b-a}$

Définition

Espérance d’une variable aléatoire :

L’espérance d’une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur $\left[ a,b \right]$ est le nombre réel :

$E(X) = \int_a^b tf(t)dt$

Dans le cas d’une loi uniforme, on a :

$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$

Exemple

Dans un supermarché un jour de grande affluence, le temps d’attente $T$ à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ 2,20 \right]$ .

Loi de $T :$ $f(t) = \dfrac{1}{b-a} = \dfrac{1}{20-2} = \dfrac{1}{18}$
Calcul de la probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure :

$p(T < 15)= p(2 < T < 15)= \dfrac{15-2}{20-2}= \dfrac{13}{18}$

Calcul du temps d’attente moyen à la caisse, c’est l’espérance mathématique :

$E(T)=\dfrac{20+2}{2}=11$

Le temps d’attente moyen est de 11 minutes.

Loi exponentielle

Définition

Loi exponentielle :

$\lambda$ désigne un nombre réel strictement positif.

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ signifie que sa densité de probabilité est définie sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ par :

$f(x) = \lambda e^{- \lambda x }$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .

Pour tout intervalle $\left[ a,b \right]$ inclus dans $\left[ 0,+ \infty \right[$ :

$p(A \leq X \leq B)=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}$
$p(X \geq c)= e^{- \lambda c}$

Démonstration

Démonstration des propriétés :

$\begin{aligned}p(A \leq X \leq B)&=\int_a^b \lambda e^{- \lambda t}dt\\&=\left[-e^{- \lambda t} \right]_a^b\\&=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}\end{aligned}$

$\begin{aligned}p(X \geq c)&= 1-p(0 \leq X \leq c)\\&=1-\left(e^{-0 \lambda}-e^{- \lambda c} \right)\\&=1-\left(1-e^{- \lambda c} \right)\\&=e^{- \lambda c}\end{aligned}$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Définition

Espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle :

L’espérance d’une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ .

Lois normales

Loi normale centrée réduite

Définition

Loi normale centrée réduite :

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, notée $N(0;1)$ si, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ :

$p(a \leq X \leq b) = \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}dx$

$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$ est la fonction densité de la loi $N(0;1)$ .

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

Pour la loi normale centrée réduite $N(0;1)$ :

le maximum de $f$ est atteint en $0$ ;
la courbe $C_f$ de la densité de probabilité $f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
l’aire sous la courbe est égale à $1$ .

On déduit de ces propriétés :

$p(X \leq 0)=p(X\geq0) = \dfrac{1}{2}$ ;
pour tout réel $u \geq 0$ , $p(X \leq - u) = p(X \geq u) = 1 - p(X \leq u)$ et $p(-u \leq X \leq u)=1 - 2p(X\geq u)= 2p(X\leq u)-1$

Astuce

Pour calculer $p(a \leq X \leq b)$ si la loi est normale centrée réduite :

CASIO, utiliser « NormCD(a,b) »,
TI, utiliser « normalFRép(a,b) ».

Pour calculer $p(X < a)$ ou $p(X > a)$ , utiliser le tableau suivant :

tableau probabilités lois à densité mathématiques terminale ES L

Loi normale $N( \mu, \sigma^2)$

Définition

Loi normale :

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$ si la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $N(0;1)$ .
Son espérance est $E(X) = \mu$ .
Son écart-type $\sigma$ et donc sa variance est $\sigma^2$ .

Astuce

Pour les calculs de probabilités pour une loi $N( \mu, \sigma^2)$ :

CASIO, utiliser « NormCD( $a,b,\sigma, \mu$ ) »,
TI, utiliser « normalFRép( $a,b,\mu,\sigma$ ) ».

Propriété

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$ , on a les approximations suivantes:

$p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$
$p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
$p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Cette fiche de cours fait appel aux contenus suivants

Expérience aléatoire

Définition

Mathématiques

Arbre de probabilités pondéré

Définition

Mathématiques

Chemin

Définition

Mathématiques

Bernoulli

Scientifique

Mathématiques

Loi binomiale

Définition

Mathématiques

Variable aléatoire

Définition

Mathématiques

Lois à densité

Rappels de première sur la loi binomiale

Lois à densité et loi uniforme

Loi de probabilité à densité

Loi uniforme

Loi exponentielle

Lois normales

Loi normale centrée réduite

Loi normale N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2)N(μ,σ2)

Loi normale $N( \mu, \sigma^2)$