Lois à densité : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Ce cours permettra d’approfondir les connaissances relatives aux lois à densités. On abordera le langage des probabilités avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des méthodes et des exemples d’applications.

Rappels de première sur la loi binomiale

Définition

Épreuve de Bernoulli :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées « succès » et « échec ». On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre $p$ si la probabilité de succès est $p$ .

Définition

Schéma de Bernoulli :

Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli ( $n$ entier naturel non nul). Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : $n$ le nombre de répétitions et $p$ la probabilité de succès de l’épreuve répétée.

Exemple

Voici un arbre de probabilité représentant un schéma de Bernoulli pour $n = 3.$

L’issue correspondant au chemin rouge est souvent notée $(S,\overline{S},S)$ .

arbre de probabilité mathématiques terminale ES L

Astuce

La probabilité d’un chemin, donc d’une issue, s’obtient en faisant le produit des probabilités de chaque branche composant ce chemin.

Définition

Loi binomiale :

Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , on associe à l’expérience la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . On la note $B(n,p)$ .

Propriété

Si une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$ , la probabilité que $X$ soit égale à $k$ est : $p(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Exemple

On lance 5 fois un dé équilibré. Le succès est d’obtenir 6. Calculons $p(X=2)$ .

Définition des paramètres :

On lance le dé 5 fois : $n=5$ .

On a une chance sur six d’obtenir un 6 (le dé a 6 faces) : $p= \dfrac{1}{6}$ , et $k=2$ .

Calcul de $p(X=2) :$

$\begin{aligned}p(X=2)&=\dbinom{5}{2}\times \left( \dfrac{1}{6} \right)^2 \times \left(1- \dfrac{1}{6} \right)^3 \&=10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} \& \approx 0,161\end{aligned}$

Lois à densité et loi uniforme

Loi de probabilité à densité

Définition

Fonction densité :

On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle $I$ , toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l’intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à $1$ .

Définition

Variable aléatoire continue :

Une variable aléatoire continue $X$ sur un intervalle $I$ est définie par la donnée d’une fonction densité $f$ . La probabilité pour que $X$ appartienne à un intervalle $\left[ a,b \right]$ de $I$ est égale à l’aire sous la courbe de $f$ sur $\left[ a,b \right]$ , soit $\int_a^b f(t)dt$ .

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $I$ :

$p(X=a)=0$ (puisque $\int_a^a f(t)dt = 0$ )
$p(X>a)=1-p(X \leq a)$ et $p(a < X < b)=p(X < b)-p(X \leq a)$
Pour une loi continue, dans les calculs de probabilités, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes et réciproquement.

Loi uniforme

Définition

Loi uniforme :

$a$ et $b$ désignent deux nombres réels distincts avec $a < b$ .

Dire qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ a,b \right]$ signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur $\left[ a,b \right]$ .

La densité de probabilité de la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$ est la fonction $f$ définie sur $\left[ a,b \right]$ par :

$f(x) = \dfrac{1}{b-a}$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$ . pour tout intervalle $\left[ c,d \right]$ inclus dans $\left[ a,b \right]$ :

$p(c \leq X \leq d)= \dfrac{d-c}{b-a}$

Définition

Espérance d’une variable aléatoire :

L’espérance d’une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur $\left[ a,b \right]$ est le nombre réel :

$E(X) = \int_a^b tf(t)dt$

Dans le cas d’une loi uniforme, on a :

$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$

Exemple

Dans un supermarché un jour de grande affluence, le temps d’attente $T$ à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ 2,20 \right]$ .

Loi de $T :$ $f(t) = \dfrac{1}{b-a} = \dfrac{1}{20-2} = \dfrac{1}{18}$
Calcul de la probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure :

$p(T < 15)= p(2 < T < 15)= \dfrac{15-2}{20-2}= \dfrac{13}{18}$

Calcul du temps d’attente moyen à la caisse, c’est l’espérance mathématique :

$E(T)=\dfrac{20+2}{2}=11$

Le temps d’attente moyen est de 11 minutes.

Loi exponentielle

Définition

Loi exponentielle :

$\lambda$ désigne un nombre réel strictement positif.

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ signifie que sa densité de probabilité est définie sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ par :

$f(x) = \lambda e^{- \lambda x }$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .

Pour tout intervalle $\left[ a,b \right]$ inclus dans $\left[ 0,+ \infty \right[$ :

$p(A \leq X \leq B)=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}$
$p(X \geq c)= e^{- \lambda c}$

Démonstration

Démonstration des propriétés :

$\begin{aligned}p(A \leq X \leq B)&=\int$

$\begin{aligned}p(X \geq c)&= 1-p(0 \leq X \leq c)\&=1-\left(e^{-0 \lambda}-e^{- \lambda c} \right)\&=1-\left(1-e^{- \lambda c} \right)\&=e^{- \lambda c}\end{aligned}$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Définition

Espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle :

L’espérance d’une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ .

Lois normales

Loi normale centrée réduite

Définition

Loi normale centrée réduite :

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, notée $N(0;1)$ si, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ :

$p(a \leq X \leq b) = \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}dx$

$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$ est la fonction densité de la loi $N(0;1)$ .

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriété

Pour la loi normale centrée réduite $N(0;1)$ :

le maximum de $f$ est atteint en $0$ ;
la courbe $C_f$ de la densité de probabilité $f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
l’aire sous la courbe est égale à $1$ .

On déduit de ces propriétés :

$p(X \leq 0)=p(X\geq0) = \dfrac{1}{2}$ ;
pour tout réel $u \geq 0$ , $p(X \leq - u) = p(X \geq u) = 1 - p(X \leq u)$ et $p(-u \leq X \leq u)=1 - 2p(X\geq u)= 2p(X\leq u)-1$

Astuce

Pour calculer $p(a \leq X \leq b)$ si la loi est normale centrée réduite :

CASIO, utiliser « NormCD(a,b) »,
TI, utiliser « normalFRép(a,b) ».

Pour calculer $p(X < a)$ ou $p(X > a)$ , utiliser le tableau suivant :

tableau probabilités lois à densité mathématiques terminale ES L

Loi normale $N( \mu, \sigma^2)$

Définition

Loi normale :

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$ si la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $N(0;1)$ .
Son espérance est $E(X) = \mu$ .
Son écart-type $\sigma$ et donc sa variance est $\sigma^2$ .

Astuce

Pour les calculs de probabilités pour une loi $N( \mu, \sigma^2)$ :

CASIO, utiliser « NormCD( $a,b,\sigma, \mu$ ) »,
TI, utiliser « normalFRép( $a,b,\mu,\sigma$ ) ».

Propriété

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$ , on a les approximations suivantes:

$p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$
$p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
$p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$

lois à densité mathématiques terminale ES L

Avant de commencer, regarde les vidéos

Rappels de première sur la loi binomiale