Cours Lois à densité
Introduction :
Ce cours permettra d’approfondir les connaissances relatives aux lois à densités. On abordera le langage des probabilités avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des méthodes et des exemples d’applications.
Rappels de première sur la loi binomiale
Définition
Épreuve de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées « succès » et « échec ». On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre $p$ si la probabilité de succès est $p$.
Définition
Schéma de Bernoulli :
Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli ($n$ entier naturel non nul). Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : $n$ le nombre de répétitions et $p $ la probabilité de succès de l’épreuve répétée.
Exemple
Voici un arbre de probabilité représentant un schéma de Bernoulli pour $n = 3.$
L’issue correspondant au chemin rouge est souvent notée $(S,\overline{S},S)$.
Astuce
La probabilité d’un chemin, donc d’une issue, s’obtient en faisant le produit des probabilités de chaque branche composant ce chemin.
Définition
Loi binomiale :
Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p $, on associe à l’expérience la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p $. On la note $B(n,p)$.
Propriété
- Si une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$, alors pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$, la probabilité que $X$ soit égale à $k$ est : $p(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
Exemple
On lance 5 fois un dé équilibré. Le succès est d’obtenir 6. Calculons $p(X=2)$.
- Définition des paramètres :
On lance le dé 5 fois : $n=5$.
On a une chance sur six d’obtenir un 6 (le dé a 6 faces) : $p= \dfrac{1}{6}$, et $k=2$.
- Calcul de $p(X=2) :$
$\begin{aligned}p(X=2)&=\dbinom{5}{2}\times \left( \dfrac{1}{6} \right)^2 \times \left(1- \dfrac{1}{6} \right)^3 \\&=10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} \\& \approx 0,161\end{aligned}$
Lois à densité et loi uniforme
Loi de probabilité à densité
Définition
Fonction densité :
On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle $I$, toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l’intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à $1$.
Définition
Variable aléatoire continue :
Une variable aléatoire continue $X$ sur un intervalle $I$ est définie par la donnée d’une fonction densité $f$. La probabilité pour que $X$ appartienne à un intervalle $\left[ a,b \right]$ de $I$ est égale à l’aire sous la courbe de $f$ sur $\left[ a,b \right]$, soit $\int_a^b f(t)dt$.
Propriété
Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $I$ :
- $p(X=a)=0$ (puisque $\int_a^a f(t)dt = 0$)
- $p(X>a)=1-p(X \leq a)$ et $p(a < X < b)=p(X < b)-p(X \leq a)$
- Pour une loi continue, dans les calculs de probabilités, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes et réciproquement.
Loi uniforme
Définition
Loi uniforme :
$a$ et $b$ désignent deux nombres réels distincts avec $a < b$.
Dire qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ a,b \right]$ signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur $\left[ a,b \right]$.
La densité de probabilité de la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$ est la fonction $f$ définie sur $\left[ a,b \right]$ par :
$f(x) = \dfrac{1}{b-a}$
Propriété
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\left[ a,b \right]$. pour tout intervalle $\left[ c,d \right]$ inclus dans $\left[ a,b \right]$ :
$p(c \leq X \leq d)= \dfrac{d-c}{b-a}$
Définition
Espérance d’une variable aléatoire :
- L’espérance d’une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur $\left[ a,b \right]$ est le nombre réel :
$E(X) = \int_a^b tf(t)dt$
Dans le cas d’une loi uniforme, on a :
$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$
Exemple
Dans un supermarché un jour de grande affluence, le temps d’attente $T$ à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ 2,20 \right]$.
- Loi de $T :$ $f(t) = \dfrac{1}{b-a} = \dfrac{1}{20-2} = \dfrac{1}{18}$
- Calcul de la probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure :
$p(T < 15)= p(2 < T < 15)= \dfrac{15-2}{20-2}= \dfrac{13}{18}$
- Calcul du temps d’attente moyen à la caisse, c’est l’espérance mathématique :
$E(T)=\dfrac{20+2}{2}=11$
- Le temps d’attente moyen est de 11 minutes.
Loi exponentielle
Définition
Loi exponentielle :
$\lambda$ désigne un nombre réel strictement positif.
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ signifie que sa densité de probabilité est définie sur $\left[ 0,+ \infty \right[$ par :
$f(x) = \lambda e^{- \lambda x }$
Propriété
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
Pour tout intervalle $\left[ a,b \right]$ inclus dans $\left[ 0,+ \infty \right[$ :
- $p(A \leq X \leq B)=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b} $
- $p(X \geq c)= e^{- \lambda c}$
Démonstration
Démonstration des propriétés :
$\begin{aligned}p(A \leq X \leq B)&=\int_a^b \lambda e^{- \lambda t}dt\\&=\left[-e^{- \lambda t} \right]_a^b\\&=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}\end{aligned}$
$\begin{aligned}p(X \geq c)&= 1-p(0 \leq X \leq c)\\&=1-\left(e^{-0 \lambda}-e^{- \lambda c} \right)\\&=1-\left(1-e^{- \lambda c} \right)\\&=e^{- \lambda c}\end{aligned}$
Définition
Espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle :
L’espérance d’une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
Lois normales
Loi normale centrée réduite
Définition
Loi normale centrée réduite :
Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, notée $N(0;1)$ si, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ :
$p(a \leq X \leq b) = \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}dx$
$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$est la fonction densité de la loi $N(0;1)$.
Propriété
Pour la loi normale centrée réduite $N(0;1)$ :
- le maximum de $f$ est atteint en $0$ ;
- la courbe $C_f$ de la densité de probabilité $f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
- l’aire sous la courbe est égale à $1$.
On déduit de ces propriétés :
- $p(X \leq 0)=p(X\geq0) = \dfrac{1}{2}$ ;
- pour tout réel $u \geq 0$, $p(X \leq - u) = p(X \geq u) = 1 - p(X \leq u)$ et $p(-u \leq X \leq u)=1 - 2p(X\geq u)= 2p(X\leq u)-1$
Astuce
Pour calculer $p(a \leq X \leq b)$ si la loi est normale centrée réduite :
- CASIO, utiliser « NormCD(a,b) »,
- TI, utiliser « normalFRép(a,b) ».
Pour calculer $p(X < a)$ ou $p(X > a)$, utiliser le tableau suivant :
Loi normale $N( \mu, \sigma^2)$
Définition
Loi normale :
- Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$ si la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $N(0;1)$.
- Son espérance est $E(X) = \mu$.
- Son écart-type $\sigma$ et donc sa variance est $\sigma^2$.
Astuce
Pour les calculs de probabilités pour une loi $N( \mu, \sigma^2)$ :
- CASIO, utiliser « NormCD($a,b,\sigma, \mu$) »,
- TI, utiliser « normalFRép($a,b,\mu,\sigma$) ».
Propriété
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$, on a les approximations suivantes:
- $p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$
- $p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
- $p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$
