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Lois à densité
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Introduction :
Ce cours permettra d’approfondir les connaissances relatives aux lois à densités. On abordera le langage des probabilités avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des méthodes et des exemples d’applications.
Rappels de première sur la loi binomiale
Épreuve de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées « succès » et « échec ». On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre si la probabilité de succès est .
Schéma de Bernoulli :
Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter fois la même épreuve de Bernoulli ( entier naturel non nul). Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : le nombre de répétitions et la probabilité de succès de l’épreuve répétée.
Voici un arbre de probabilité représentant un schéma de Bernoulli pour
L’issue correspondant au chemin rouge est souvent notée .
La probabilité d’un chemin, donc d’une issue, s’obtient en faisant le produit des probabilités de chaque branche composant ce chemin.
Loi binomiale :
Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres et , on associe à l’expérience la variable aléatoire qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de est appelée loi binomiale de paramètres et . On la note .
On lance 5 fois un dé équilibré. Le succès est d’obtenir 6. Calculons .
On lance le dé 5 fois : .
On a une chance sur six d’obtenir un 6 (le dé a 6 faces) : , et .
Lois à densité et loi uniforme
Loi de probabilité à densité
Fonction densité :
On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle , toute fonction définie, continue et positive sur telle que l’intégrale de sur soit égale à .
Variable aléatoire continue :
Une variable aléatoire continue sur un intervalle est définie par la donnée d’une fonction densité . La probabilité pour que appartienne à un intervalle de est égale à l’aire sous la courbe de sur , soit .
Pour tous réels et appartenant à l’intervalle :
Loi uniforme
Loi uniforme :
et désignent deux nombres réels distincts avec .
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi uniforme sur l’intervalle signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur .
La densité de probabilité de la loi uniforme sur est la fonction définie sur par :
est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur . pour tout intervalle inclus dans :
Espérance d’une variable aléatoire :
Dans le cas d’une loi uniforme, on a :
Dans un supermarché un jour de grande affluence, le temps d’attente à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle .
p(T < 15)= p(2 < T < 15)= \dfrac{15-2}{20-2}= \dfrac{13}{18}
Loi exponentielle
Loi exponentielle :
désigne un nombre réel strictement positif.
Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre sur signifie que sa densité de probabilité est définie sur par :
est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre .
Pour tout intervalle inclus dans :
Démonstration des propriétés :
Espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle :
L’espérance d’une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre est : .
Lois normales
Loi normale centrée réduite
Loi normale centrée réduite :
Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite, notée si, pour tous réels et tels que :
définie sur par est la fonction densité de la loi .
Pour la loi normale centrée réduite :
On déduit de ces propriétés :
Pour calculer si la loi est normale centrée réduite :
Pour calculer ou , utiliser le tableau suivant :
Loi normale
Loi normale :
Pour les calculs de probabilités pour une loi :
Si est une variable aléatoire suivant la loi normale , on a les approximations suivantes: