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Marianne

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Lois à densité

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Introduction :

Ce cours permettra d’approfondir les connaissances relatives aux lois à densités. On abordera le langage des probabilités avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des méthodes et des exemples d’applications.

Rappels de première sur la loi binomiale

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Définition

Épreuve de Bernoulli :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées « succès » et « échec ». On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre pp si la probabilité de succès est pp.

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Définition

Schéma de Bernoulli :

Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter nn fois la même épreuve de Bernoulli (nn entier naturel non nul). Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : nn le nombre de répétitions et pp la probabilité de succès de l’épreuve répétée.

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Exemple

Voici un arbre de probabilité représentant un schéma de Bernoulli pour n=3.n = 3.

L’issue correspondant au chemin rouge est souvent notée (S,S,S)(S,\overline{S},S).

arbre de probabilité mathématiques terminale ES L

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Astuce

La probabilité d’un chemin, donc d’une issue, s’obtient en faisant le produit des probabilités de chaque branche composant ce chemin.

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Définition

Loi binomiale :

Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp , on associe à l’expérience la variable aléatoire XX qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de XX est appelée loi binomiale de paramètres nn et pp . On la note B(n,p)B(n,p).

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Propriété

  • Si une variable aléatoire XX suit une loi binomiale B(n,p)B(n,p), alors pour tout entier kk compris entre 0 et nn, la probabilité que XX soit égale à kk est : p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
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Exemple

On lance 5 fois un dé équilibré. Le succès est d’obtenir 6. Calculons p(X=2)p(X=2).

  • Définition des paramètres :

On lance le dé 5 fois : n=5n=5.

On a une chance sur six d’obtenir un 6 (le dé a 6 faces) : p=16p= \dfrac{1}{6}, et k=2k=2.

  • Calcul de p(X=2):p(X=2) :

p(X=2)=(52)×(16)2×(116)3=10×136×1252160,161\begin{aligned}p(X=2)&=\dbinom{5}{2}\times \left( \dfrac{1}{6} \right)^2 \times \left(1- \dfrac{1}{6} \right)^3 \&=10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} \& \approx 0,161\end{aligned}

Lois à densité et loi uniforme

Loi de probabilité à densité

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Définition

Fonction densité :

On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle II, toute fonction ff définie, continue et positive sur II telle que l’intégrale de ff sur II soit égale à 11.

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Définition

Variable aléatoire continue :

Une variable aléatoire continue XX sur un intervalle II est définie par la donnée d’une fonction densité ff. La probabilité pour que XX appartienne à un intervalle [a,b]\left[ a,b \right] de II est égale à l’aire sous la courbe de ff sur [a,b]\left[ a,b \right], soit abf(t)dt\int_a^b f(t)dt.

lois à densité mathématiques terminale ES L

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Propriété

Pour tous réels aa et bb appartenant à l’intervalle II :

  • p(X=a)=0p(X=a)=0 (puisque aaf(t)dt=0\int_a^a f(t)dt = 0)
  • p(X>a)=1p(Xa)p(X>a)=1-p(X \leq a) et p(a<X<b)=p(X<b)p(Xa)p(a < X < b)=p(X < b)-p(X \leq a)
  • Pour une loi continue, dans les calculs de probabilités, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes et réciproquement.

Loi uniforme

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Définition

Loi uniforme :

aa et bb désignent deux nombres réels distincts avec a<ba < b.

Dire qu’une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur l’intervalle [a,b]\left[ a,b \right] signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur [a,b]\left[ a,b \right].

La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a,b]\left[ a,b \right] est la fonction ff définie sur [a,b]\left[ a,b \right] par :

f(x)=1baf(x) = \dfrac{1}{b-a}

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Propriété

XX est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a,b]\left[ a,b \right]. pour tout intervalle [c,d]\left[ c,d \right] inclus dans [a,b]\left[ a,b \right] :

p(cXd)=dcbap(c \leq X \leq d)= \dfrac{d-c}{b-a}

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Définition

Espérance d’une variable aléatoire :

  • L’espérance d’une variable aléatoire XX de densité ff sur [a,b]\left[ a,b \right] est le nombre réel :

E(X)=abtf(t)dtE(X) = \int_a^b tf(t)dt

  • Dans le cas d’une loi uniforme, on a :

    E(X)=a+b2E(X) = \dfrac{a+b}{2}

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Exemple

Dans un supermarché un jour de grande affluence, le temps d’attente TT à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle [2,20]\left[ 2,20 \right].

  • Loi de T:T : f(t)=1ba=1202=118f(t) = \dfrac{1}{b-a} = \dfrac{1}{20-2} = \dfrac{1}{18}
  • Calcul de la probabilité pour que le temps d’attente soit inférieur à un quart d’heure :

p(T < 15)= p(2 < T < 15)= \dfrac{15-2}{20-2}= \dfrac{13}{18}

  • Calcul du temps d’attente moyen à la caisse, c’est l’espérance mathématique :

E(T)=20+22=11E(T)=\dfrac{20+2}{2}=11

  • Le temps d’attente moyen est de 11 minutes.

Loi exponentielle

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Définition

Loi exponentielle :

λ\lambda désigne un nombre réel strictement positif.

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda sur [0,+[\left[ 0,+ \infty \right[ signifie que sa densité de probabilité est définie sur [0,+[\left[ 0,+ \infty \right[ par :

f(x)=λeλxf(x) = \lambda e^{- \lambda x }

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Propriété

XX est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.

Pour tout intervalle [a,b]\left[ a,b \right] inclus dans [0,+[\left[ 0,+ \infty \right[ :

  • p(AXB)=eλaeλbp(A \leq X \leq B)=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}
  • p(Xc)=eλcp(X \geq c)= e^{- \lambda c}
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Démonstration

Démonstration des propriétés :

p(AXB)=abλeλtdt=[eλt]ab=eλaeλb\begin{aligned}p(A \leq X \leq B)&=\inta^b \lambda e^{- \lambda t}dt\&=\left[-e^{- \lambda t} \right]a^b\&=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}\end{aligned}

p(Xc)=1p(0Xc)=1(e0λeλc)=1(1eλc)=eλc\begin{aligned}p(X \geq c)&= 1-p(0 \leq X \leq c)\&=1-\left(e^{-0 \lambda}-e^{- \lambda c} \right)\&=1-\left(1-e^{- \lambda c} \right)\&=e^{- \lambda c}\end{aligned}

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Définition

Espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle :

L’espérance d’une variable aléatoire XX qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda est : E(X)=1λE(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Lois normales

Loi normale centrée réduite

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Définition

Loi normale centrée réduite :

Une variable aléatoire XX suit la loi normale centrée réduite, notée N(0;1)N(0;1) si, pour tous réels aa et bb tels que a<ba < b :

p(aXb)=ab12πex22dxp(a \leq X \leq b) = \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}dx

ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=12πex22f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}est la fonction densité de la loi N(0;1)N(0;1).

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Propriété

Pour la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1) :

  • le maximum de ff est atteint en 00 ;
  • la courbe CfC_f de la densité de probabilité ff est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
  • l’aire sous la courbe est égale à 11.

On déduit de ces propriétés :

  • p(X0)=p(X0)=12p(X \leq 0)=p(X\geq0) = \dfrac{1}{2} ;
  • pour tout réel u0u \geq 0, p(Xu)=p(Xu)=1p(Xu)p(X \leq - u) = p(X \geq u) = 1 - p(X \leq u) et p(uXu)=12p(Xu)=2p(Xu)1p(-u \leq X \leq u)=1 - 2p(X\geq u)= 2p(X\leq u)-1
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Astuce

Pour calculer p(aXb)p(a \leq X \leq b) si la loi est normale centrée réduite :

  • CASIO, utiliser « NormCD(a,b) »,
  • TI, utiliser « normalFRép(a,b) ».

Pour calculer p(X<a)p(X < a) ou p(X>a)p(X > a), utiliser le tableau suivant :

tableau probabilités lois à densité mathématiques terminale ES L

Loi normale N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2)

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Définition

Loi normale :

  • Une variable aléatoire XX suit la loi normale N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2) si la variable aléatoire Xμσ\dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1).
  • Son espérance est E(X)=μE(X) = \mu.
  • Son écart-type σ\sigma et donc sa variance est σ2\sigma^2.
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Astuce

Pour les calculs de probabilités pour une loi N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2) :

  • CASIO, utiliser « NormCD(a,b,σ,μa,b,\sigma, \mu) »,
  • TI, utiliser « normalFRép(a,b,μ,σa,b,\mu,\sigma) ».
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Propriété

Si XX est une variable aléatoire suivant la loi normale N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2), on a les approximations suivantes:

  • p(μσXμ+σ)0,68p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68
  • p(μ2σXμ+2σ)0,95p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95
  • p(μ3σXμ+3σ)0.997p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997

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