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Marianne

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Lois à densité

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Loi binomiale

Définitions :

On dit qu’une épreuve de Bernouilli est de paramètre pp si la probabilité de succès est pp.

  • Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter nn fois la même épreuve de Bernoulli (nn entier naturel non nul).

Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : nn le nombre de répétitions et pp la probabilité de succès de l’épreuve répétée.

Définitions :

  • Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp , on associe à l’expérience la variable aléatoire XX qui donne le nombre total de succès.
  • La loi de probabilité de XX est appelée loi binomiale de paramètres nn et pp . On la note B(n,p)B(n,p).
  • Si une variable aléatoire XX suit une loi binomiale B(n,p)B(n,p), alors pour tout entier kk compris entre 0 et nn, la probabilité que XX soit égale à kk est :

p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Loi à densité et loi uniforme

Définitions :

  • On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle II, toute fonction ff définie, continue et positive sur II telle que l’intégrale de ff sur II soit égale à 1.
  • Une variable aléatoire continue XX sur un intervalle II est définie par la donnée d’une fonction densité ff. La probabilité pour que XX appartienne à un intervalle [a ;b]\left[ a\ ; b \right] de II est égale à l’aire sous la courbe de ff sur [a ;b]\left[ a\ ; b \right], soit abf(t)dt\int_a^b f(t)dt.

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriétés :

Pour tous réels aa et bb appartenant à l’intervalle I:I :

  • p(X=a)=0p(X=a)=0 (puisque aaf(t)dt=0\int_a^a f(t)dt = 0) ;
  • p(X>a)=1p(Xa)p(X>a)=1-p(X \leq a) et p(a<X<b)=p(X<b)p(Xa)p(a < X < b)=p(X < b)-p(X \leq a) ;

Pour une loi continue, dans les calculs de probabilités, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes et réciproquement.

Définition : loi uniforme

aa et bb désignent deux nombres réels distincts avec a<ba < b.

Dire qu’une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur l’intervalle [a,b]\left[ a,b \right] signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur [a,b]\left[ a,b \right]. La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a ;b]\left[ a\ ; b \right] est la fonction ff définie sur [a ;b]\left[ a\ ; b \right] par :

f(x)=1baf(x) = \dfrac{1}{b-a}

Propriété :

XX est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ;b]\left[ a\ ; b \right]. pour tout intervalle [c ;d]\left[ c\ ; d \right] inclus dans [a ;b]:\left[ a\ ; b \right] :

p(cXd)=dcbap(c \leq X \leq d)= \dfrac{d-c}{b-a}

Définition : espérance d’une variable aléatoire

  • L’espérance d’une variable aléatoire XX de densité ff sur [a,b]\left[ a,b \right] est le nombre réel :

E(X)=abtf(t)dtE(X) = \int_a^b tf(t)dt

  • Dans le cas d’une loi uniforme, on a :

E(X)=a+b2E(X) = \dfrac{a+b}{2}

Loi exponentielle

Définition : loi exponentielle

λ\lambda désigne un nombre réel strictement positif.

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda sur [0 ;+[\left[ 0\ ; + \infty \right[ signifie que sa densité de probabilité est définie sur [0 ;+[\left[ 0\ ; + \infty \right[ par :

f(x)=λeλxf(x) = \lambda e^{- \lambda x }

lois à densité mathématiques terminale ES L

Propriétés :

XX est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.

Pour tout intervalle [a ;b][ a\ ; b ] inclus dans [0 ;+[[ 0\ ; + \infty [ :

  • p(AXB)=eλaeλbp(A \leq X \leq B)=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b};
  • p(Xc)=eλcp(X \geq c)= e^{- \lambda c}.

Définition : espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle

L’espérance d’une variable aléatoire XX qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda est : E(X)=1λE(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Lois normales

Définition : loi normale centrée réduite

  • Une variable aléatoire XX suit la loi normale centrée réduite, notée N(0 ;1)N(0\ ;1) si, pour tous réels aa et bb tels que a<ba < b :

p(aXb)=ab12πex22dxp(a \leq X \leq b) = \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}dx

  • ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=12πex22f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}} est la fonction densité de la loi N(0 ;1)N(0\ ;1).

Propriétés : Pour la loi normale centrée réduite N(0 ;1)N(0\ ;1) :

  • le maximum de ff est atteint en 00 ;
  • la courbe CfC_f de la densité de probabilité ff est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
  • l’aire sous la courbe est égale à 1.

Définition : loi normale N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2)

  • Une variable aléatoire XX suit la loi normale N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2) si la variable aléatoire Xμσ\dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite N(0,1).N(0,1).
  • Son espérance est E(X)=μE(X) = \mu.
  • Son écart-type σ\sigma et donc sa variance est σ2\sigma^2.

Propriété :

Si XX est une variable aléatoire suivant la loi normale N(μ,σ2)N( \mu, \sigma^2), on a les approximations suivantes :

  • p(μσXμ+σ)0,68p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68 ;
  • p(μ2σXμ+2σ)0,95p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95 ;
  • p(μ3σXμ+3σ)0.997p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997.