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Marianne

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Les matrices

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​Introduction :

Dans cette leçon, nous allons introduire la notion de matrice, puis nous verrons la façon d’y réaliser les différentes opérations. Nous aborderons ensuite les notions de matrice identité et de matrice inverse pour finir par l’écriture matricielle d’un système d’équations linéaires.

Notion de matrice

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Définition

Matrice :

Un tableau de nombres ayant nn lignes et pp colonnes est une matrice de dimension notée « n×pn\times p ».

Le coefficient situé à la iei^{\text e} ligne et jej^{\text e} colonne est désigné par aija_{ij} La notation générale d’une matrice est :

M=(a11a1pan1anp)M= \begin{pmatrix} a{11}&…&a{1p}\ …&…&…\ a{n1}&…&a{np} \end{pmatrix}

a11a_{11} est le coefficient de la première ligne et première colonne

an1a_{n1} est le coefficient de la nen^{\text e} ligne et première colonne, etc.

Il existe des matrices particulières, par exemple :

  • La matrice ligne

  M=(152)\;M= \begin{pmatrix} -1&5&2\ \end{pmatrix}

  • La matrice colonne

  N=(681)\;N= \begin{pmatrix} 6\ 8\ 1 \end{pmatrix}

P=(2431)  P= \begin{pmatrix} 2&4\ -3&1\ \end{pmatrix}\; est une matrice carrée d’ordre 22 (22 lignes et 22 colonnes).

bannière definition

Définition

Égalité de deux matrices :

Dire que deux matrices sont égales signifie que :

  • elles ont le même format ;
  • les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.

Opérations sur les matrices

Addition et soustraction de deux matrices

bannière propriete

Propriété

Si MM et NN sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices MM et NN notée M+NM+N (respectivement MNM-N) est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

bannière exemple

Exemple

M=(2147) et N=(3254)M+N=(2+31+(2)4+57+(4))=(5193)MN=(231(2)457(4))=(13111)\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&1\ 4&7 \end{pmatrix} \text{ et } N=\begin{pmatrix} 3&-2\ 5&-4 \end{pmatrix}\ M+N&=\begin{pmatrix}2+3&1+(-2)\4+5&7+(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\9&3\end{pmatrix}\ M-N&=\begin{pmatrix}2-3&1-(-2)\4-5&7-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&3\ -1&11 \end{pmatrix} \end{aligned}

Multiplication d’une matrice par un réel

bannière propriete

Propriété

Le produit d’une matrice MM par un nombre réel kk est la matrice, notée kMkM obtenue en multipliant chaque coefficient de MM par kk.

bannière exemple

Exemple

M=(2147) avec k=3M=\begin{pmatrix}2&1\4&7\end{pmatrix}\text{ avec }k=3

Alors

kM=(2×31×34×37×3)=(631221)kM=\begin{pmatrix}2\times 3&1\times3\4\times3&7\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6&3 \ 12&21 \end{pmatrix}

Multiplication de deux matrices

bannière propriete

Propriété

Le produit d’une matrice carrée d’ordre nn par une matrice colonne à nn lignes est une matrice colonne à nn lignes.

bannière exemple

Exemple

M=(231512174) et N=(236)M×N=(2×2+(3)×3+1×65×2+1×3+(2)×61×2+7×3+(4)×6)=(111)\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \ 5&1&-2 \ 1&7&-4 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2\3\6 \end{pmatrix} \ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times 2+(-3)\times3+1\times6 \ 5\times 2+1\times3+(-2)\times6 \ 1\times 2+7\times3+(-4)\times6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}\end{aligned}

bannière propriete

Propriété

Le produit d’une matrice ligne à nn colonnes par une matrice carrée d’ordre nn est une matrice ligne à nn colonnes.

bannière exemple

Exemple

matrices mathématiques terminale ES

M=(236) et N=(231512174) M=\begin{pmatrix} 2&3&6 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \ 5&1&-2 \ 1&7&-4 \end{pmatrix}

M×N=(2×2+3×5+6×12×(3)+3×1+6×72×1+3×(2)+6×(4))\begin{aligned} M\times N =\begin{pmatrix} &2\times 2+3\times 5+6\times 1 \ &2\times(-3)+3\times1+6\times7 \ &2\times1+3\times(-2)+6\times(-4) \end{pmatrix}\end{aligned}

=(253928)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\begin{pmatrix} 25&39&-28 \end{pmatrix}

bannière propriete

Propriété

Le produit de deux matrices carrées d’ordre nn est une matrice carrée d’ordre nn.

bannière exemple

Exemple

matrices mathématiques terminale ES

M=(2538) et N=(2131)M×N=(2×2+5×32×1+5×13×2+8×33×1+8×1)=(1973011)\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&5\3&8 \end{pmatrix} \: \text{ et }\:N=\begin{pmatrix} 2&1\3&1 \end{pmatrix}\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times2+5\times3&2\times1+5\times1\3\times2+8\times3&3\times1+8\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19&7\30&11 \end{pmatrix} \end{aligned}

bannière attention

Attention

Dans la plupart des cas, M×NN×MM\times N≠N\times M

De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication M×NM\times N le nombre de colonnes de MM doit être égal au nombre de lignes de NN.

Toutes les opérations sur les matrices peuvent également se faire directement à la calculatrice.

  • CALCULATRICE : saisir une matrice

Sur TI

Sur CASIO

  • matrice EDIT
  • Sélectionner une ligne avec entrer
  • Entrer successivement le nombre de lignes et de colonnes
  • Entrer successivement chacun des coefficients de la matrice
  • 2nde quitter
  • Dans le menu principal, sélectionner le menu MAT
  • Sélectionner une ligne
  • Entrer successivement le nombre de lignes et de colonnes puis EXE
  • Entrer successivement chacun des coefficients de la matrice
  • Retour au menu principal
    • CALCULATRICE : multiplier deux matrices

    Sur TI

    Sur CASIO

    • matrice
    • Sélectionner la ligne de la matrice avec entrer
    • Appuyer sur la touche multiplier
    • matrice
    • Sélectionner la ligne de la matrice B avec entrer
    • entrer
  • Dans le menu principal, sélectionner le menu RUN
  • OPTN F2
  • Sélectionner la matrice avec F1
  • Appuyer sur la touche multiplier
  • Sélectionner la matrice B
  • EXE
  • Matrice identité

    bannière definition

    Définition

    Matrice identité :

    nn désigne un entier naturel supérieur ou égal à 22.

    La matrice identité InI_n est la matrice carrée d’ordre nn qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

    On l’appelle aussi matrice unité.

    bannière exemple

    Exemple

    I2=(1001) et I3=(100010001)I2=\begin{pmatrix} 1&0 \ 0&1 \end{pmatrix}\:\text{ et }\:I3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \ 0&1&0 \ 0&0&1 \end{pmatrix}\: sont des matrices unité.

    bannière propriete

    Propriété

    Pour toute matrice carrée AA d’ordre nn on a A×In=AA\times In=A et In×A=AIn\times A=A

    Matrice inverse d’une matrice carrée

    bannière definition

    Définition

    Matrice inverse d’une matrice carrée :

    AA est une matrice carrée d’ordre nn.

    Lorsqu’il existe une matrice carrée A1A^{-1} d’ordre nn telle que A1×1A=A×A1=InA^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n, on dit que A1A^{-1} est la matrice inverse de AA.

    Lorsqu’elle existe, la matrice A1A^{-1} est unique.

    La matrice inverse d’une matrice carrée, si elle existe, peut s’obtenir directement à l’aide de la calculatrice par la touche inverse.

    • CALCULATRICE : obtenir la matrice inverse

    Sur TI

    Sur CASIO

    • Saisir la matrice
    • quitter matrice
    • Sélectionner la ligne de la matrice A avec entrer
    • Appuyer sur la touche x1x^{-1}
    • entrer
  • Saisir la matrice
  • Dans le menu principal, sélectionner le menu RUN
  • OPTN F2
  • Sélectionner la matrice A avec F1
  • Appuyer sur la touche x1x^{-1}
  • EXE
  • bannière astuce

    Astuce

    Trouver la matrice inverse par le calcul

    Soit A=(2538)A=\begin{pmatrix} 2&5\3&8 \end{pmatrix}. Cherchons sa matrice inverse A1=(abcd)A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\c&d \end{pmatrix}

    D'après la définition de la matrice inverse : A1×A=I\boxed{A^{-1}\times A=I}

    Donc (2538)×(abcd)=(1001)\begin{pmatrix} 2&5\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\0&1 \end{pmatrix}

    bannière exemple

    Exemple

    D'après les régles d'opération sur les matrices, on a :

    1\:\boxed 1\:

    {2a+3b=15a+8b=0\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \ 5a+8b &=0 \end{aligned}\: et

    2\:\boxed 2\:

    {2c+3d=05c+8d=1 \bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\5c+8d&=1\end{aligned}\

    • Résolution du système 1\:\boxed 1 :

    {2a+3b=15a+8b=0\left\lbrace \begin{aligned}{}2a+3b&=1\5a+8b&=0\end{aligned}\right.

    {2a+3b=15a=8b\Leftrightarrow\left\lbrace \begin{aligned}2a+3b&=1\5a&=-8b\end{aligned}\right.

    {2a+3b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}{}2a+3b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

    {2(85b)+3b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2\big(-\dfrac85b\big)+3b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

    {165b+155b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

    {15b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac15b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

    {b=5a=85×(5)\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\a&=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}\right.

    {b=5a=8\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\a&=8\end{aligned}\right.

    • Résolution du système 2\:\boxed 2 :

    {2c+3d=05c+8d=1\left\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\5c+8d&=1\end{aligned}\right.

    {2c=3d5c+8d=1\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2c&=-3d\5c+8d&=1\end{aligned}\right.

    {c=32d5c+8d=1\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\5c+8d&=1\end{aligned}\right.

    {c=32d5(32d)+8d=1\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\5(\frac {3}{2}d)+8d&=1\end{aligned}\right.

    {c=32d152d+162d=1 \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d \ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d&=1\end{aligned}\right.

    {c=32d12d=1d=2\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d\ \frac{1}{2}d&=1\Leftrightarrow d=2\end{aligned}\right.

    {c=32×2c=3d=2\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\d&=2\end{aligned}\right.

    On obtient donc la matrice inverse suivante : A1=(8532)A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \ -3&2 \end{pmatrix}

    Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires

    Dans la résolution d’un système de nn équations à nn inconnues :

    • la matrice AA des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre nn ;
    • la matrice XX des inconnues est une matrice colonne à nn lignes ;
    • la matrice BB des seconds membres est une matrice colonne à nn lignes.

    Par exemple, si l’on considère le système :

    matrices mathématiques spécialité terminale ES

    On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :

    A=(1324)A=\begin{pmatrix} 1&3\2&4 \end{pmatrix} ; X=(xy)\:X=\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix} ; B=(51)\:B=\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}

    bannière propriete

    Propriété

    AA est une matrice carrée qui admet une matrice inverse A1A^{-1}. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est A×X=BA\times X=B admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant X=A1×BX=A^{-1}\times B.

    bannière astuce

    Astuce

    Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices

    Résoudre le système d’équations {1x+3y=52x+4y=1 \bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\ 2x+4y=1\end{aligned}\

    Ce système correspond à l’écriture matricielle (1324)×(xy)=(51)\begin{pmatrix} 1&3\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}.

    On calcule la matrice inverse de AA. À la calculatrice on obtient A1=(21,510,5)A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\1&-0,5 \end{pmatrix}.

    On peut donc écrire (xy)=(21,510,5)×(51)\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}

    En multipliant les deux matrices, on obtient (xy)=(2×5+1,5×11×5+(0,5)×1)=(8,54,5)\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\4,5 \end{pmatrix}

    Le couple solution du système est donc {x=8,5y=4,5 \bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\y=4,5\end{aligned}\