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Les matrices

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​Introduction :

Dans cette leçon, nous allons introduire la notion de matrice, puis nous verrons la façon d’y réaliser les différentes opérations. Nous aborderons ensuite les notions de matrice identité et de matrice inverse pour finir par l’écriture matricielle d’un système d’équations linéaires.

Notion de matrice

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Définition

Matrice :

Un tableau de nombres ayant $n$ lignes et $p$ colonnes est une matrice de dimension notée « $n\times p$ ».

Le coefficient situé à la $i^{\text e}$ ligne et $j^{\text e}$ colonne est désigné par $a_{ij}$ La notation générale d’une matrice est :

$M= \begin{pmatrix} a_{11}&…&a_{1p}\\ …&…&…\\ a_{n1}&…&a_{np} \end{pmatrix}$

$a_{11}$ est le coefficient de la première ligne et première colonne

$a_{n1}$ est le coefficient de la $n^{\text e}$ ligne et première colonne, etc.

Il existe des matrices particulières, par exemple :

  • La matrice ligne

$\;M= \begin{pmatrix} -1&5&2\\ \end{pmatrix}$

  • La matrice colonne

$\;N= \begin{pmatrix} 6\\ 8\\ 1 \end{pmatrix}$

$P= \begin{pmatrix} 2&4\\ -3&1\\ \end{pmatrix}\;$ est une matrice carrée d’ordre $2$ ($2$ lignes et $2$ colonnes).

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Définition

Égalité de deux matrices :

Dire que deux matrices sont égales signifie que :

  • elles ont le même format ;
  • les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.

Opérations sur les matrices

Addition et soustraction de deux matrices

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Propriété

Si $M$ et $N$ sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices $M$ et $N$ notée $M+N$ (respectivement $M-N$) est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

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Exemple

$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&1\\ 4&7 \end{pmatrix} \text{ et } N=\begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-4 \end{pmatrix}\\ M+N&=\begin{pmatrix}2+3&1+(-2)\\4+5&7+(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\9&3\end{pmatrix}\\ M-N&=\begin{pmatrix}2-3&1-(-2)\\4-5&7-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&3\\ -1&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Multiplication d’une matrice par un réel

bannière propriete

Propriété

Le produit d’une matrice $M$ par un nombre réel $k$ est la matrice, notée $kM$ obtenue en multipliant chaque coefficient de $M$ par $k$.

bannière exemple

Exemple

$M=\begin{pmatrix}2&1\\4&7\end{pmatrix}\text{ avec }k=3$

Alors

$kM=\begin{pmatrix}2\times 3&1\times3\\4\times3&7\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6&3 \\ 12&21 \end{pmatrix}$

Multiplication de deux matrices

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Propriété

Le produit d’une matrice carrée d’ordre $n$ par une matrice colonne à $n$ lignes est une matrice colonne à $n$ lignes.

bannière exemple

Exemple

$\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2\\3\\6 \end{pmatrix} \\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times 2+(-3)\times3+1\times6 \\ 5\times 2+1\times3+(-2)\times6 \\ 1\times 2+7\times3+(-4)\times6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\end{aligned}$

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Propriété

Le produit d’une matrice ligne à $n$ colonnes par une matrice carrée d’ordre $n$ est une matrice ligne à $n$ colonnes.

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Exemple

matrices mathématiques terminale ES

$ M=\begin{pmatrix} 2&3&6 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned} M\times N =\begin{pmatrix} &2\times 2+3\times 5+6\times 1 \\ &2\times(-3)+3\times1+6\times7 \\ &2\times1+3\times(-2)+6\times(-4) \end{pmatrix}\end{aligned}$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\begin{pmatrix} 25&39&-28 \end{pmatrix}$

bannière propriete

Propriété

Le produit de deux matrices carrées d’ordre $n$ est une matrice carrée d’ordre $n$.

bannière exemple

Exemple

matrices mathématiques terminale ES

$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix} \: \text{ et }\:N=\begin{pmatrix} 2&1\\3&1 \end{pmatrix}\\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times2+5\times3&2\times1+5\times1\\3\times2+8\times3&3\times1+8\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19&7\\30&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$

bannière attention

Attention

Dans la plupart des cas, $M\times N≠N\times M$

De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication $M\times N$ le nombre de colonnes de $M$ doit être égal au nombre de lignes de $N$.

Toutes les opérations sur les matrices peuvent également se faire directement à la calculatrice.

  • CALCULATRICE : saisir une matrice

Sur TI

Sur CASIO

  • matrice EDIT
  • Sélectionner une ligne avec entrer
  • Entrer successivement le nombre de lignes et de colonnes
  • Entrer successivement chacun des coefficients de la matrice
  • 2nde quitter
  • Dans le menu principal, sélectionner le menu MAT
  • Sélectionner une ligne
  • Entrer successivement le nombre de lignes et de colonnes puis EXE
  • Entrer successivement chacun des coefficients de la matrice
  • Retour au menu principal
    • CALCULATRICE : multiplier deux matrices

    Sur TI

    Sur CASIO

    • matrice
    • Sélectionner la ligne de la matrice avec entrer
    • Appuyer sur la touche multiplier
    • matrice
    • Sélectionner la ligne de la matrice B avec entrer
    • entrer
  • Dans le menu principal, sélectionner le menu RUN
  • OPTN F2
  • Sélectionner la matrice avec F1
  • Appuyer sur la touche multiplier
  • Sélectionner la matrice B
  • EXE
  • Matrice identité

    bannière definition

    Définition

    Matrice identité :

    $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

    La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

    On l’appelle aussi matrice unité.

    bannière exemple

    Exemple

    $I_2=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\:\text{ et }\:I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\:$ sont des matrices unité.

    bannière propriete

    Propriété

    Pour toute matrice carrée $A$ d’ordre $n$ on a $A\times I_n=A$ et $I_n\times A=A$

    Matrice inverse d’une matrice carrée

    bannière definition

    Définition

    Matrice inverse d’une matrice carrée :

    $A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.

    Lorsqu’il existe une matrice carrée $A^{-1}$ d’ordre $n$ telle que $A^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n$, on dit que $A^{-1}$ est la matrice inverse de $A$.

    Lorsqu’elle existe, la matrice $A^{-1}$ est unique.

    La matrice inverse d’une matrice carrée, si elle existe, peut s’obtenir directement à l’aide de la calculatrice par la touche inverse.

    • CALCULATRICE : obtenir la matrice inverse

    Sur TI

    Sur CASIO

    • Saisir la matrice
    • quitter matrice
    • Sélectionner la ligne de la matrice A avec entrer
    • Appuyer sur la touche $x^{-1}$
    • entrer
  • Saisir la matrice
  • Dans le menu principal, sélectionner le menu RUN
  • OPTN F2
  • Sélectionner la matrice A avec F1
  • Appuyer sur la touche $x^{-1}$
  • EXE
  • bannière astuce

    Astuce

    Trouver la matrice inverse par le calcul

    Soit $A=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}$. Cherchons sa matrice inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$

    D'après la définition de la matrice inverse : $\boxed{A^{-1}\times A=I}$

    Donc $\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

    bannière exemple

    Exemple

    D'après les régles d'opération sur les matrices, on a :

    $\:\boxed 1\:$

    $\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \\ 5a+8b &=0 \end{aligned}\:$ et

    $\:\boxed 2\:$

    $\bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\ $

    • Résolution du système $\:\boxed 1$ :

    $\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a+8b=0\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a=-8b\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2a+3b=1\\a=-\dfrac85b\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&2\big(-\dfrac85b\big)+3b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac15b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&b=-5\\&a=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}$

    $=8$

    • Résolution du système $\:\boxed 2$ :

    $\bigg\lbrace \begin{array}{}2c+3d=0\\5c+8d=1\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2c=-3d\\5c+8d=1\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5c+8d=1\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5(\frac {3}{2}d)+8d=1\end{array}$

    $ \Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d \\ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d=1\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d\\ \frac{1}{2}d=1\Leftrightarrow d=2\end{array}$

    $\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\\d=2\end{array}$

    On obtient donc la matrice inverse suivante : $A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \\ -3&2 \end{pmatrix}$.

    Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires

    Dans la résolution d’un système de $n$ équations à $n$ inconnues :

    • la matrice $A$ des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre $n$ ;
    • la matrice $X$ des inconnues est une matrice colonne à $n$ lignes ;
    • la matrice $B$ des seconds membres est une matrice colonne à $n$ lignes.

    Par exemple, si l’on considère le système :

    matrices mathématiques spécialité terminale ES

    On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :

    $A=\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}$ ; $\:X=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ; $\:B=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

    bannière propriete

    Propriété

    $A$ est une matrice carrée qui admet une matrice inverse $A^{-1}$. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est $A\times X=B$ admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant $X=A^{-1}\times B$.

    bannière astuce

    Astuce

    Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices

    Résoudre le système d’équations $\bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\\ 2x+4y=1\end{aligned}\ $

    Ce système correspond à l’écriture matricielle $\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$.

    On calcule la matrice inverse de $A$. À la calculatrice on obtient $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}$.

    On peut donc écrire $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

    En multipliant les deux matrices, on obtient $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\\4,5 \end{pmatrix}$

    Le couple solution du système est donc $\bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\\y=4,5\end{aligned}\ $