Matrices

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Épisode 1

1. Notion et opérations

Épisode 2

2. Matrice identité, inverse d'une matrice carré et écriture matricielle d'un système

Introduction :

Dans cette leçon, nous allons introduire la notion de matrice, puis nous verrons la façon d’y réaliser les différentes opérations. Nous aborderons ensuite les notions de matrice identité et de matrice inverse pour finir par l’écriture matricielle d’un système d’équations linéaires.

Notion de matrice

Définition

Matrice :

Un tableau de nombres ayant $n$ lignes et $p$ colonnes est une matrice de dimension notée « $n\times p$ ».

Le coefficient situé à la $i^{\text e}$ ligne et $j^{\text e}$ colonne est désigné par $a_{ij}$ La notation générale d’une matrice est :

$M= \begin{pmatrix} a_{11}&…&a_{1p}\\ …&…&…\\ a_{n1}&…&a_{np} \end{pmatrix}$

$a_{11}$ est le coefficient de la première ligne et première colonne

$a_{n1}$ est le coefficient de la $n^{\text e}$ ligne et première colonne, etc.

Il existe des matrices particulières, par exemple :

La matrice ligne

$\;M= \begin{pmatrix} -1&5&2\\ \end{pmatrix}$

La matrice colonne

$\;N= \begin{pmatrix} 6\\ 8\\ 1 \end{pmatrix}$

La matrice carrée, qui possède autant de lignes que de colonnes.

$P= \begin{pmatrix} 2&4\\ -3&1\\ \end{pmatrix}\;$ est une matrice carrée d’ordre $2$ ( $2$ lignes et $2$ colonnes).

Définition

Égalité de deux matrices :

Dire que deux matrices sont égales signifie que :

elles ont le même format ;
les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.

Opérations sur les matrices

Addition et soustraction de deux matrices

Propriété

Si $M$ et $N$ sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices $M$ et $N$ notée $M+N$ (respectivement $M-N$ ) est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

Exemple

$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&1\\ 4&7 \end{pmatrix} \text{ et } N=\begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-4 \end{pmatrix}\\ M+N&=\begin{pmatrix}2+3&1+(-2)\\4+5&7+(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\9&3\end{pmatrix}\\ M-N&=\begin{pmatrix}2-3&1-(-2)\\4-5&7-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&3\\ -1&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Multiplication d’une matrice par un réel

Propriété

Le produit d’une matrice $M$ par un nombre réel $k$ est la matrice, notée $kM$ obtenue en multipliant chaque coefficient de $M$ par $k$ .

Exemple

$M=\begin{pmatrix}2&1\\4&7\end{pmatrix}\text{ avec }k=3$

Alors

$kM=\begin{pmatrix}2\times 3&1\times3\\4\times3&7\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6&3 \\ 12&21 \end{pmatrix}$

Multiplication de deux matrices

Propriété

Le produit d’une matrice carrée d’ordre $n$ par une matrice colonne à $n$ lignes est une matrice colonne à $n$ lignes.

Exemple

$\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2\\3\\6 \end{pmatrix} \\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times 2+(-3)\times3+1\times6 \\ 5\times 2+1\times3+(-2)\times6 \\ 1\times 2+7\times3+(-4)\times6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\end{aligned}$

Propriété

Le produit d’une matrice ligne à $n$ colonnes par une matrice carrée d’ordre $n$ est une matrice ligne à $n$ colonnes.

Exemple

matrices mathématiques terminale ES

$M=\begin{pmatrix} 2&3&6 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned} M\times N =\begin{pmatrix} &2\times 2+3\times 5+6\times 1 \\ &2\times(-3)+3\times1+6\times7 \\ &2\times1+3\times(-2)+6\times(-4) \end{pmatrix}\end{aligned}$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\begin{pmatrix} 25&39&-28 \end{pmatrix}$

Propriété

Le produit de deux matrices carrées d’ordre $n$ est une matrice carrée d’ordre $n$ .

Exemple

matrices mathématiques terminale ES

$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix} \: \text{ et }\:N=\begin{pmatrix} 2&1\\3&1 \end{pmatrix}\\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times2+5\times3&2\times1+5\times1\\3\times2+8\times3&3\times1+8\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19&7\\30&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Attention

Dans la plupart des cas, $M\times N≠N\times M$

De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication $M\times N$ le nombre de colonnes de $M$ doit être égal au nombre de lignes de $N$ .

Toutes les opérations sur les matrices peuvent également se faire directement à la calculatrice.

CALCULATRICE : saisir une matrice

Sur TI

Sur CASIO

matrice EDIT
Sélectionner une ligne avec entrer
Entrer successivement le nombre de lignes et de colonnes
Entrer successivement chacun des coefficients de la matrice
2^nde quitter

Dans le menu principal, sélectionner le menu MAT

Sélectionner une ligne

Entrer successivement le nombre de lignes et de colonnes puis EXE

Entrer successivement chacun des coefficients de la matrice

Retour au menu principal

CALCULATRICE : multiplier deux matrices

Sur TI

Sur CASIO

matrice
Sélectionner la ligne de la matrice avec entrer
Appuyer sur la touche multiplier
matrice
Sélectionner la ligne de la matrice B avec entrer
entrer

Dans le menu principal, sélectionner le menu RUN

OPTN F2

Sélectionner la matrice avec F1

Appuyer sur la touche multiplier

Sélectionner la matrice B

EXE

Matrice identité

Définition

Matrice identité :

$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$ .

La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

On l’appelle aussi matrice unité.

Exemple

$I_2=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\:\text{ et }\:I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\:$ sont des matrices unité.

Propriété

Pour toute matrice carrée $A$ d’ordre $n$ on a $A\times I_n=A$ et $I_n\times A=A$

Matrice inverse d’une matrice carrée

Définition

Matrice inverse d’une matrice carrée :

$A$ est une matrice carrée d’ordre $n$ .

Lorsqu’il existe une matrice carrée $A^{-1}$ d’ordre $n$ telle que $A^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n$ , on dit que $A^{-1}$ est la matrice inverse de $A$ .

Lorsqu’elle existe, la matrice $A^{-1}$ est unique.

La matrice inverse d’une matrice carrée, si elle existe, peut s’obtenir directement à l’aide de la calculatrice par la touche inverse.

CALCULATRICE : obtenir la matrice inverse

Sur TI

Sur CASIO

Saisir la matrice
quitter matrice
Sélectionner la ligne de la matrice A avec entrer
Appuyer sur la touche $x^{-1}$
entrer

Saisir la matrice

Dans le menu principal, sélectionner le menu RUN

OPTN F2

Sélectionner la matrice A avec F1

Appuyer sur la touche

x^{-1}

EXE

Astuce

Trouver la matrice inverse par le calcul

Soit $A=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}$ . Cherchons sa matrice inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$

D'après la définition de la matrice inverse : $\boxed{A^{-1}\times A=I}$

Donc $\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

Exemple

D'après les régles d'opération sur les matrices, on a :

$\:\boxed 1\:$

$\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \\ 5a+8b &=0 \end{aligned}\:$ et

$\:\boxed 2\:$

$\bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\$

Résolution du système $\:\boxed 1$ :

$\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a+8b=0\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a=-8b\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2a+3b=1\\a=-\dfrac85b\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&2\big(-\dfrac85b\big)+3b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac15b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&b=-5\\&a=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}$

$=8$

Résolution du système $\:\boxed 2$ :

$\bigg\lbrace \begin{array}{}2c+3d=0\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2c=-3d\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5(\frac {3}{2}d)+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d \\ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d\\ \frac{1}{2}d=1\Leftrightarrow d=2\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\\d=2\end{array}$

On obtient donc la matrice inverse suivante : $A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \\ -3&2 \end{pmatrix}$ .

Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires

Dans la résolution d’un système de $n$ équations à $n$ inconnues :

la matrice $A$ des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre $n$ ;
la matrice $X$ des inconnues est une matrice colonne à $n$ lignes ;
la matrice $B$ des seconds membres est une matrice colonne à $n$ lignes.

Par exemple, si l’on considère le système :

matrices mathématiques spécialité terminale ES

On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :

$A=\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}$ ; $\:X=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ; $\:B=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

Propriété

$A$ est une matrice carrée qui admet une matrice inverse $A^{-1}$ . Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est $A\times X=B$ admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant $X=A^{-1}\times B$ .

Astuce

Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices

Résoudre le système d’équations $\bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\\ 2x+4y=1\end{aligned}\$

Ce système correspond à l’écriture matricielle $\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$ .

On calcule la matrice inverse de $A$ . À la calculatrice on obtient $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}$ .

On peut donc écrire $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

En multipliant les deux matrices, on obtient $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\\4,5 \end{pmatrix}$

Le couple solution du système est donc $\bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\\y=4,5\end{aligned}\$

Cette fiche de cours fait appel aux contenus suivants

Ensemble des nombres réels

Définition

Mathématiques

Matrice carrée

Définition

Mathématiques