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Introduction :
Dans cette leçon, nous allons introduire la notion de matrice, puis nous verrons la façon d’y réaliser les différentes opérations. Nous aborderons ensuite les notions de matrice identité et de matrice inverse pour finir par l’écriture matricielle d’un système d’équations linéaires.
Notion de matrice
Matrice :
Un tableau de nombres ayant lignes et colonnes est une matrice de dimension notée « ».
Le coefficient situé à la ligne et colonne est désigné par La notation générale d’une matrice est :
est le coefficient de la première ligne et première colonne
est le coefficient de la ligne et première colonne, etc.
Il existe des matrices particulières, par exemple :
est une matrice carrée d’ordre ( lignes et colonnes).
Égalité de deux matrices :
Dire que deux matrices sont égales signifie que :
Opérations sur les matrices
Addition et soustraction de deux matrices
Si et sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices et notée (respectivement ) est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
Multiplication d’une matrice par un réel
Le produit d’une matrice par un nombre réel est la matrice, notée obtenue en multipliant chaque coefficient de par .
Alors
Multiplication de deux matrices
Le produit d’une matrice carrée d’ordre par une matrice colonne à lignes est une matrice colonne à lignes.
Le produit d’une matrice ligne à colonnes par une matrice carrée d’ordre est une matrice ligne à colonnes.
Le produit de deux matrices carrées d’ordre est une matrice carrée d’ordre .
Dans la plupart des cas,
De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication le nombre de colonnes de doit être égal au nombre de lignes de .
Toutes les opérations sur les matrices peuvent également se faire directement à la calculatrice.
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Matrice identité
Matrice identité :
désigne un entier naturel supérieur ou égal à .
La matrice identité est la matrice carrée d’ordre qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
On l’appelle aussi matrice unité.
sont des matrices unité.
Pour toute matrice carrée d’ordre on a et
Matrice inverse d’une matrice carrée
Matrice inverse d’une matrice carrée :
est une matrice carrée d’ordre .
Lorsqu’il existe une matrice carrée d’ordre telle que , on dit que est la matrice inverse de .
Lorsqu’elle existe, la matrice est unique.
La matrice inverse d’une matrice carrée, si elle existe, peut s’obtenir directement à l’aide de la calculatrice par la touche inverse.
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Trouver la matrice inverse par le calcul
Soit . Cherchons sa matrice inverse
D'après la définition de la matrice inverse :
Donc
D'après les régles d'opération sur les matrices, on a :
et
On obtient donc la matrice inverse suivante :
Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires
Dans la résolution d’un système de équations à inconnues :
Par exemple, si l’on considère le système :
On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :
; ;
est une matrice carrée qui admet une matrice inverse . Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant .
Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices
Résoudre le système d’équations
Ce système correspond à l’écriture matricielle .
On calcule la matrice inverse de . À la calculatrice on obtient .
On peut donc écrire
En multipliant les deux matrices, on obtient
Le couple solution du système est donc