Les matrices

Notion de matrice

Définition

Matrice :

Un tableau de nombres ayant $n$ lignes et $p$ colonnes est une matrice de dimension notée « $n\times p$ ».

Le coefficient situé à la $i^{\text e}$ ligne et $j^{\text e}$ colonne est désigné par $a_{ij}$ La notation générale d’une matrice est :

$M= \begin{pmatrix} a_{11}&…&a_{1p}\\ …&…&…\\ a_{n1}&…&a_{np} \end{pmatrix}$

$a_{11}$ est le coefficient de la première ligne et première colonne

$a_{n1}$ est le coefficient de la $n^{\text e}$ ligne et première colonne, etc.

Il existe des matrices particulières, par exemple :

• La matrice ligne

$\;M= \begin{pmatrix} -1&5&2\\ \end{pmatrix}$

• La matrice colonne

$\;N= \begin{pmatrix} 6\\ 8\\ 1 \end{pmatrix}$

• La matrice carrée, qui possède autant de lignes que de colonnes.

$P= \begin{pmatrix} 2&4\\ -3&1\\ \end{pmatrix}\;$ est une matrice carrée d’ordre $2$ ($2$ lignes et $2$ colonnes).

Définition

Égalité de deux matrices :

Dire que deux matrices sont égales signifie que :

• elles ont le même format ;
• les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.

Opérations sur les matrices

Addition et soustraction de deux matrices

Propriété

Si $M$ et $N$ sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices $M$ et $N$ notée $M+N$ (respectivement $M-N$) est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.

Exemple

$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&1\\ 4&7 \end{pmatrix} \text{ et } N=\begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-4 \end{pmatrix}\\ M+N&=\begin{pmatrix}2+3&1+(-2)\\4+5&7+(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\9&3\end{pmatrix}\\ M-N&=\begin{pmatrix}2-3&1-(-2)\\4-5&7-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&3\\ -1&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Multiplication d’une matrice par un réel

Propriété

Le produit d’une matrice $M$ par un nombre réel $k$ est la matrice, notée $kM$ obtenue en multipliant chaque coefficient de $M$ par $k$.

Exemple

$M=\begin{pmatrix}2&1\\4&7\end{pmatrix}\text{ avec }k=3$

Alors

$kM=\begin{pmatrix}2\times 3&1\times3\\4\times3&7\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6&3 \\ 12&21 \end{pmatrix}$

Multiplication de deux matrices

Propriété

Le produit d’une matrice carrée d’ordre $n$ par une matrice colonne à $n$ lignes est une matrice colonne à $n$ lignes.

Exemple

$\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2\\3\\6 \end{pmatrix} \\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times 2+(-3)\times3+1\times6 \\ 5\times 2+1\times3+(-2)\times6 \\ 1\times 2+7\times3+(-4)\times6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\end{aligned}$

Propriété

Le produit d’une matrice ligne à $n$ colonnes par une matrice carrée d’ordre $n$ est une matrice ligne à $n$ colonnes.

Exemple

$ M=\begin{pmatrix} 2&3&6 \end{pmatrix}\text{ et }N=\begin{pmatrix} 2&-3&1 \\ 5&1&-2 \\ 1&7&-4 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned} M\times N =\begin{pmatrix} &2\times 2+3\times 5+6\times 1 \\ &2\times(-3)+3\times1+6\times7 \\ &2\times1+3\times(-2)+6\times(-4) \end{pmatrix}\end{aligned}$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\begin{pmatrix} 25&39&-28 \end{pmatrix}$

Propriété

Le produit de deux matrices carrées d’ordre $n$ est une matrice carrée d’ordre $n$.

Exemple

$\begin{aligned} M&=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix} \: \text{ et }\:N=\begin{pmatrix} 2&1\\3&1 \end{pmatrix}\\ M\times N&=\begin{pmatrix} 2\times2+5\times3&2\times1+5\times1\\3\times2+8\times3&3\times1+8\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19&7\\30&11 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Attention

Dans la plupart des cas, $M\times N≠N\times M$

De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication $M\times N$ le nombre de colonnes de $M$ doit être égal au nombre de lignes de $N$.

Toutes les opérations sur les matrices peuvent également se faire directement à la calculatrice.

• CALCULATRICE : saisir une matrice

• CALCULATRICE : multiplier deux matrices

Matrice identité

Définition

Matrice identité :

$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

On l’appelle aussi matrice unité.

Exemple

$I_2=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\:\text{ et }\:I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\:$ sont des matrices unité.

Propriété

Pour toute matrice carrée $A$ d’ordre $n$ on a $A\times I_n=A$ et $I_n\times A=A$

Matrice inverse d’une matrice carrée

Définition

Matrice inverse d’une matrice carrée :

$A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.

Lorsqu’il existe une matrice carrée $A^{-1}$ d’ordre $n$ telle que $A^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n$, on dit que $A^{-1}$ est la matrice inverse de $A$.

Lorsqu’elle existe, la matrice $A^{-1}$ est unique.

La matrice inverse d’une matrice carrée, si elle existe, peut s’obtenir directement à l’aide de la calculatrice par la touche inverse.

• CALCULATRICE : obtenir la matrice inverse

Astuce

Trouver la matrice inverse par le calcul

Soit $A=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}$. Cherchons sa matrice inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$

D'après la définition de la matrice inverse : $\boxed{A^{-1}\times A=I}$

Donc $\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

Exemple

D'après les régles d'opération sur les matrices, on a :

$\:\boxed 1\:$

$\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \\ 5a+8b &=0 \end{aligned}\:$ et

$\:\boxed 2\:$

$\bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\ $

• Résolution du système $\:\boxed 1$ :

$\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a+8b=0\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a=-8b\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2a+3b=1\\a=-\dfrac85b\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&2\big(-\dfrac85b\big)+3b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac15b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&b=-5\\&a=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}$

$=8$

• Résolution du système $\:\boxed 2$ :

$\bigg\lbrace \begin{array}{}2c+3d=0\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2c=-3d\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5(\frac {3}{2}d)+8d=1\end{array}$

$ \Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d \\ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d\\ \frac{1}{2}d=1\Leftrightarrow d=2\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\\d=2\end{array}$

On obtient donc la matrice inverse suivante : $A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \\ -3&2 \end{pmatrix}$.

Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires

Dans la résolution d’un système de $n$ équations à $n$ inconnues :

• la matrice $A$ des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre $n$ ;
• la matrice $X$ des inconnues est une matrice colonne à $n$ lignes ;
• la matrice $B$ des seconds membres est une matrice colonne à $n$ lignes.

Par exemple, si l’on considère le système :

On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :

$A=\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}$ ; $\:X=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ; $\:B=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

Propriété

$A$ est une matrice carrée qui admet une matrice inverse $A^{-1}$. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est $A\times X=B$ admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant $X=A^{-1}\times B$.

Astuce

Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices

Résoudre le système d’équations $\bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\\ 2x+4y=1\end{aligned}\ $

Ce système correspond à l’écriture matricielle $\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$.

On calcule la matrice inverse de $A$. À la calculatrice on obtient $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}$.

On peut donc écrire $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

En multipliant les deux matrices, on obtient $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\\4,5 \end{pmatrix}$

Le couple solution du système est donc $\bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\\y=4,5\end{aligned}\ $