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Les matrices

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Notion de matrice

  • Un tableau de nombres ayant $n$ lignes et $p$ colonnes est une matrice de dimension notée « $n\times p$ ». Le coefficient situé à la $i^{\text e}$ ligne et $j^{\text e}$ colonne est désigné par $a_{ij}$.
  • Ainsi, la notation générale d’une matrice est la suivante :

$M= \begin{pmatrix} a_{11}&…&a_{1p}\\ …&…&…\\ a_{n1}&…&a_{np} \end{pmatrix}$

  • Dire que deux matrices sont égales signifie que :
  • elles ont le même format ;
  • les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.

Opérations sur les matrices

  • Si $M$ et $N$ sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices $M$ et $N$, notée $M+N$ (respectivement $M-N$), est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
  • Le produit d’une matrice $M$ par un nombre réel $k$ est la matrice, notée $kM$, obtenue en multipliant chaque coefficient de $M$ par $k$.
  • Le produit d’une matrice carrée d’ordre $n$ par une matrice colonne à $n$ lignes est une matrice colonne à $n$ lignes.
  • Le produit d’une matrice ligne à $n$ colonnes par une matrice carrée d’ordre $n$ est une matrice ligne à $n$ colonnes.
  • Le produit de deux matrices carrées d’ordre $n$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
  • Dans la plupart des cas, $M\times N\neq N\times M.$
  • De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication $M\times N$, le nombre de colonnes de $M$ doit être égal au nombre de lignes de $N$.

Résolution d’un système d’équation linéaire par le calcul matriciel :

  • $A$ est une matrice carrée qui admet une matrice inverse $A^{-1}$. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est $A\times X=B$ admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant $X=A^{-1}\times B$.

Matrices particulières

  • $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ qui contient des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs. On l’appelle aussi matrice unité.
  • Matrice identité : pour toute matrice carrée $A$ d’ordre $n$, on a $A \times l_n=A$ et $l_n \times A=A$.
  • Matrice inverse :
  • $A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
  • Lorsqu’il existe une matrice carrée $A^{-1}$ d’ordre $n$ telle que $A^{-1}\times A=A\times A^{-1}=I_n$ on dit que $A^{-1}$ est la matrice inverse de $A$.
  • Lorsqu’elle existe, la matrice $A^{-1}$ est unique.