Un tableau de nombres ayant n lignes et p colonnes est une matrice de dimension notée « n×p ». Le coefficient situé à la ie ligne et je colonne est désigné par aij.
Ainsi, la notation générale d’une matrice est la suivante :
M=⎝⎛a11…an1………a1p…anp⎠⎞
Dire que deux matrices sont égales signifie que :
elles ont le même format ;
les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.
Opérations sur les matrices
Si M et N sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices M et N, notée M+N (respectivement M−N), est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
Le produit d’une matrice M par un nombre réelk est la matrice, notée kM, obtenue en multipliant chaque coefficient de M par k.
Le produit d’une matrice carrée d’ordre n par une matrice colonne à n lignes est une matrice colonne à n lignes.
Le produit d’une matrice ligne à n colonnes par une matrice carrée d’ordre n est une matrice ligne à n colonnes.
Le produit de deux matrices carrées d’ordre n est une matrice carrée d’ordre n.
Dans la plupart des cas, M×N=N×M.
De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication M×N, le nombre de colonnes de M doit être égal au nombre de lignes de N.
Résolution d’un système d’équation linéaire par le calcul matriciel :
A est une matrice carrée qui admet une matrice inverse A−1. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est A×X=B admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant X=A−1×B.
Matrices particulières
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
La matrice identité In est la matrice carrée d’ordre n qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. On l’appelle aussi matrice unité.
Matrice identité : pour toute matrice carrée A d’ordre n, on a A×ln=A et ln×A=A.
Matrice inverse :
A est une matrice carrée d’ordre n.
Lorsqu’il existe une matrice carrée A−1 d’ordre n telle que A−1×A=A×A−1=In on dit que A−1 est la matrice inverse de A.
Lorsqu’elle existe, la matrice A−1 est unique.
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