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Marianne

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Les matrices

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Notion de matrice

  • Un tableau de nombres ayant nn lignes et pp colonnes est une matrice de dimension notée « n×pn\times p ». Le coefficient situé à la iei^{\text e} ligne et jej^{\text e} colonne est désigné par aija_{ij}.
  • Ainsi, la notation générale d’une matrice est la suivante :

M=(a11a1pan1anp)M= \begin{pmatrix} a{11}&…&a{1p}\ …&…&…\ a{n1}&…&a{np} \end{pmatrix}

  • Dire que deux matrices sont égales signifie que :
  • elles ont le même format ;
  • les nombres qui occupent la même position sont égaux deux à deux.

Opérations sur les matrices

  • Si MM et NN sont deux matrices de même format, la somme (ou respectivement la différence) des matrices MM et NN, notée M+NM+N (respectivement MNM-N), est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position.
  • Le produit d’une matrice MM par un nombre réel kk est la matrice, notée kMkM, obtenue en multipliant chaque coefficient de MM par kk.
  • Le produit d’une matrice carrée d’ordre nn par une matrice colonne à nn lignes est une matrice colonne à nn lignes.
  • Le produit d’une matrice ligne à nn colonnes par une matrice carrée d’ordre nn est une matrice ligne à nn colonnes.
  • Le produit de deux matrices carrées d’ordre nn est une matrice carrée d’ordre nn.
  • Dans la plupart des cas, M×NN×M.M\times N\neq N\times M.
  • De plus, dans tous les cas, pour pouvoir effectuer la multiplication M×NM\times N, le nombre de colonnes de MM doit être égal au nombre de lignes de NN.

Résolution d’un système d’équation linéaire par le calcul matriciel :

  • AA est une matrice carrée qui admet une matrice inverse A1A^{-1}. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est A×X=BA\times X=B admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant X=A1×BX=A^{-1}\times B.

Matrices particulières

  • nn désigne un entier naturel supérieur ou égal à 22.
    La matrice identité InI_n est la matrice carrée d’ordre nn qui contient des 11 sur la diagonale et des 00 ailleurs. On l’appelle aussi matrice unité.
  • Matrice identité : pour toute matrice carrée AA d’ordre nn, on a A×ln=AA \times ln=A et ln×A=Aln \times A=A.
  • Matrice inverse :
  • AA est une matrice carrée d’ordre nn.
  • Lorsqu’il existe une matrice carrée A1A^{-1} d’ordre nn telle que A1×A=A×A1=InA^{-1}\times A=A\times A^{-1}=I_n on dit que A1A^{-1} est la matrice inverse de AA.
  • Lorsqu’elle existe, la matrice A1A^{-1} est unique.