Cours : Médiane et étendue

Médiane et étendue

Introduction :

Les caractéristiques d’une série statistique dont le caractère étudié est quantitatif sont des indicateurs qui permettent d’avoir une vue d’ensemble de la série. En 5^e, nous avons introduit la notion de moyenne. En 4^e, nous allons introduire deux nouvelles caractéristiques : la médiane et l’étendue.

Nous commencerons ce cours par un rappel du vocabulaire statistique. Nous reverrons ensuite les outils d’organisation de données. En distinguant caractéristiques de position et caractéristiques de dispersion, nous rappellerons d’abord la notion de moyenne, puis introduirons les deux nouvelles notions que sont la médiane et l’étendue d’une série statistique.

Rappels

Vocabulaire

Étudier une série statistique, c’est étudier un caractère dans une population.

La population est l’ensemble des individus étudiés.
Le caractère est le type de mesure que l’on recueille. Il peut être qualitatif ou quantitatif.
Dans ce cours, nous travaillerons avec des séries statistiques dont le caractère sera quantitatif.
Les données sont toutes les mesures que l’on a recueillies.
Les valeurs sont toutes les valeurs possibles que peut prendre ce caractère.
L’effectif d’une valeur du caractère est le nombre de fois que cette valeur apparaît dans la liste, c’est-à-dire le nombre d’individus qui possèdent cette valeur du caractère.
L’effectif total de la série est le nombre total d’individus de la population étudiée, c’est-à-dire la somme des effectifs.
La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total.

Exemple

Étude 1
On souhaite se donner une idée de la fréquentation du cinéma par les jeunes de 18 à 25 ans. On demande à $20$ jeunes (dont on vérifie l’âge), pris au hasard dans la rue, le nombre de films qu’ils ont vus durant les six derniers mois. Voici les réponses obtenues :

$1$ - $0$ - $1$ - $4$ - $3$ - $1$ - $3$ - $0$ - $5$ - $1$ - $0$ - $6$ - $3$ - $1$ - $5$ - $12$ - $0$ - $3$ - $1$ - $4$

La population étudiée est l’ensemble des $20$ jeunes de 18 à 25 ans pris au hasard dans la rue.
Le caractère étudié est le nombre de films vus durant les six derniers mois (caractère quantitatif).
Les données sont tous les résultats obtenus (soit les $20$ données citées dans la série ci-dessus).
Les valeurs sont les $7$ valeurs prises par le caractère : $0$, $1$, $3$, $4$, $5$, $6$ et $12$.
L’effectif total est le nombre d’individus sur lesquels est faite l’enquête, soit $20$.

Par exemple :

l’effectif de la valeur $4$ est $2$ ($4$ apparaît $2$ fois dans la liste : $2$ jeunes interrogés ont vu $4$ films durant les six derniers mois) ;
la fréquence de la valeur $4$ est $\frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1 = 10\,\%$ ; parmi les jeunes interrogés : $10\,\%$ des jeunes interrogés ont vu $4$ films durant les six derniers mois.

Organisation des données

Les résultats d’une étude statistique sont le plus souvent rassemblés dans un tableau de données où apparaissent les valeurs, les effectifs, ainsi que les fréquences si nécessaire.

Exemple

$1$ - $0$ - $1$ - $4$ - $3$ - $1$ - $3$ - $0$ - $5$ - $1$ - $0$ - $6$ - $3$ - $1$ - $5$ - $12$ - $0$ - $3$ - $1$ - $4$

En effectuant les mêmes calculs que précédemment pour toutes les valeurs de la série, on obtient le tableau de données suivant :

Nombre de films vus les six derniers mois	$0$	$1$	$3$	$4$	$5$	$6$	$12$	Total
Effectifs	$4$	$6$	$4$	$2$	$2$	$1$	$1$	$20$
Fréquences (sous forme de quotient)	$\dfrac{4}{20}$	$\dfrac{6}{20}$	$\dfrac{4}{20}$	$\dfrac{2}{20}$	$\dfrac{2}{20}$	$\dfrac{1}{20}$	$\dfrac{1}{20}$	$\dfrac{20}{20}$
Fréquences (sous forme décimale)	$0,2$	$0,3$	$0,2$	$0,1$	$0,1$	$0,05$	$0,05$	$1$
Fréquences (sous forme de pourcentage)	$20\,\%$	$30\,\%$	$20\,\%$	$10\,\%$	$10\,\%$	$5\,\%$	$5\,\%$	$100\,\%$

Ces différents rappels étant faits, nous pouvons maintenant introduire la notion de caractéristiques d’une série statistique.
Nous distinguerons les caractéristiques de position et les caractéristiques de dispersion.

Caractéristiques de position : moyenne et médiane

Caractéristiques de position

Définition

Caractéristique de position :

Une caractéristique de position est un nombre autour duquel se répartissent les valeurs collectées lors d’une enquête ou d’une série de mesures.

À retenir

La moyenne et la médiane, que nous allons découvrir ou redécouvrir, sont des caractéristiques de position de la série.

Moyenne

Définition

Moyenne d’une série statistique :

Dans une série de données numériques, la moyenne est le quotient de la somme de toutes les données de cette série par l’effectif total.

À retenir

La moyenne de la série de données n’est pas forcément une des valeurs de la série.
La moyenne d’une série est toujours comprise entre ses deux valeurs extrêmes.
Ce n’est généralement pas la moyenne des deux valeurs extrêmes de la série.

Exemple

$1$ - $0$ - $1$ - $4$ - $3$ - $1$ - $3$ - $0$ - $5$ - $1$ - $0$ - $6$ - $3$ - $1$ - $5$ - $12$ - $0$ - $3$ - $1$ - $4$

Pour cette étude, le calcul de la moyenne donne :

$\frac{1+0+1+4+3+1+3+0+5+1+0+6+3+1+5+12+0+3+1+4}{20}= \frac{54}{20} = 2,7$

Ce qui peut être analysé ainsi : au total, les $20$ jeunes ont vu $54$ films, ce qui fait une moyenne de $2,7$ films.

Les jeunes de ce groupe ont vu en moyenne $2,7$ films durant les six derniers mois.

On remarque que :

$2,7$ n’est pas une valeur de la série de données.
$2,7$ est bien compris entre $0$ et $12$.
$2,7$ n’est pas égal à la valeur de la moyenne des deux valeurs extrêmes $0$ et $12$ :

$$\dfrac{0+12}{2} = 6 \neq 2,7$$

Moyenne pondérée

Lorsque des valeurs apparaissent plusieurs fois dans une série de données, on additionne les produits de chaque valeur par son effectif. On parle de valeurs pondérées et de moyenne pondérée.

Définition

Valeur pondérée :

Une valeur pondérée par son effectif est le produit de cette valeur par son effectif.

Définition

Moyenne pondérée :

Dans une série de données numériques, la moyenne pondérée est égale à la somme des valeurs pondérées par leurs effectifs respectifs divisée par l’effectif total.

Exemple

$1$ - $0$ - $1$ - $4$ - $3$ - $1$ - $3$ - $0$ - $5$ - $1$ - $0$ - $6$ - $3$ - $1$ - $5$ - $12$ - $0$ - $3$ - $1$ - $4$

Par exemple, ici, la valeur $1$ est pondérée par son effectif égal à $6$, la valeur $4$ est pondérée par son effectif égal à $2$, etc.

Les valeurs pondérées correspondantes sont respectivement $1 \times 6$ et $4 \times 2$.

Ainsi, le calcul de la moyenne pondérée donne :

$\frac{0\times4+1\times6+3\times4+4\times2+5\times2+ 6\times1+12\times1}{20}= \frac{6+12+8+10+6+12}{20} = \frac{54}{20} = 2,7$

Nous obtenons bien sûr la même valeur que celle obtenue pour la moyenne.

Médiane

Définition

Médiane d’une série statistique :

Les données d’une série numérique étant rangées dans l’ordre croissant, on appelle médiane de cette série une valeur qui la partage en deux groupes de même effectif.

À retenir

La médiane est telle que :
au moins la moitié des données lui sont inférieures ou égales ;
au moins la moitié des données lui sont supérieures ou égales.
Elle est généralement différente de la moyenne de la série.
La médiane n’est pas forcément une des valeurs de la série.

MÉTHODOLOGIE

Pour déterminer la médiane d’une série de données :

Dans le cas d’un effectif total pair

On classe les données dans l’ordre croissant.
On sépare les données en $2$ groupes de même effectif.
La valeur de la médiane est située entre les $2$ valeurs centrales de la série ordonnée.

Exemple

Cas de l’étude 1 (effectif total égal à $20$)

Classons nos données dans l’ordre croissant. On obtient la série ordonnée suivante :
$0$ - $0$ - $0$ - $0$ - $1$ - $1$ - $1$ - $1$ - $1$ - $1$ - $3$ - $3$ - $3$ - $3$ - $4$ - $4$ - $5$ - $5$ - $6$ - $12$
L’effectif total est égal à $20$. Ainsi, nous pouvons partager cette série en deux groupes de $10$ données chacun :

$$\small \underbrace{0 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - \red 1}_{\normalsize \text {dix données}} \red- \underbrace{\red 3 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 12}_{\normalsize \text {dix données}}$$ $$\red {\overbrace {\text{Valeurs centrales}}}$$

Les $2$ valeurs centrales sont la $10^{\text e}$ et la $11^{\text e}$ données, soit $1$ et $3$.
La médiane est donc comprise entre $1$ et $3$.

Comme on le fera le plus souvent, on choisit pour valeur de la médiane la moyenne des deux valeurs centrales, soit :

$$\dfrac{1+3}{2} = \dfrac 42 = 2$$

Une médiane de la série est donc $2$, ce qui signifie ici qu’il y a autant de jeunes qui ont vu moins de $2$ films que de jeunes qui ont vu plus de $2$ films.

Nous constatons que la médiane n’est pas une des valeurs de la série et qu’elle est différente de la moyenne égale à $2,7$.

Astuce

Remarquons que, contrairement à la moyenne, la médiane ne dépend pas des valeurs extrêmes. Ainsi, dans ce dernier exemple, si on remplace la valeur $12$ par $25$, ou par $6$, la médiane ne changera pas.

Dans certains cas, notamment ceux où les valeurs extrêmes sont très inférieures ou supérieures aux valeurs de la majorité des données, la médiane est un meilleur indicateur de position que la moyenne.

Dans le cas d’un effectif total impair

On classe les données dans l’ordre croissant.
On sépare les données en $2$ groupes de même effectif.
La valeur de la médiane est la valeur centrale de la série ordonnée.

Exemple

Cas de l’étude 2
On étudie les notes obtenues à un TP de physique-chimie par les $13$ élèves d’un demi-groupe de 4^e.
Voici les notes obtenues :
$12$ - $13,5$ - $19$ - $12,5$ - $18$ - $12$ - $18$ - $10$ - $12$ - $19$ - $14$ - $15$ - $9$

Classons nos données dans l’ordre croissant. On obtient la série ordonnée suivante :
$9$ - $10$ - $12$ - $12$ - $12$ - $12,5$ - $13,5$ - $14$ - $15$ - $18$ - $18$ - $19$ - $19$
L’effectif total est égal à $13$. Ainsi, nous pouvons partager cette série en deux groupes de $6$ données chacun :

$$\underbrace{9 - 10 - 12 - 12 - 12 - 12,5}_{\normalsize \text {six données}} - \red{13,5} - \underbrace{14 - 15 - 18 - 18 - 19 - 19}_{\normalsize \text {six données}}$$ $$\red{\overbrace{\text{Valeur centrale}}}$$

La valeur centrale est la $7^{\text e}$ donnée, soit $13,5$.

La médiane est donc égale à $13,5$, ce qui signifie ici qu’il y a autant d’élèves qui ont eu une note inférieure ou égale à $13,5$ que d’élèves qui ont eu une note supérieure ou égale à $13,5$.

À retenir

Il y a autant de données avant la médiane qu’après la médiane.
Lorsque l’effectif total est pair, la médiane est n’importe quel nombre compris entre les deux valeurs centrales. On prend généralement la moyenne des deux.
Lorsque l’effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale de la série.

Caractéristique de dispersion d’une série statistique : l’étendue

Caractéristiques de dispersion

Définition

Caractéristique de dispersion :

Une caractéristique de dispersion donne une idée de l’éparpillement des valeurs collectées lors d’une enquête ou d’une série de mesures.

À retenir

L’étendue, que nous allons définir, est une caractéristique de dispersion de la série.

Étendue

Définition

Étendue d’une série statistique :

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série :

$$\text{Étendue} = \text{Valeur max} - \text{Valeur min}$$

Exemple

Étude 1
La plus petite valeur de cette série est $0$, la plus grande est $12$.

L’étendue de la série est : $12 - 0 = 12$.
Les jeunes qui voient le plus de films ont vu $12$ films de plus que ceux qui en voient le moins.

Étude 2
La plus petite valeur de cette série est $9$, la plus grande est $19$.

L’étendue de la série est : $19 - 9 = 10$.
Il y a $10$ points d’écart entre la note la plus basse et la note la plus haute à ce TP de physique-chimie.

Conclusion :

Le vocabulaire et l’organisation des données étant maintenant acquis, les points importants à retenir de ce cours sont les notions de moyenne (et de moyenne pondérée), de médiane et d’étendue. Il faut comprendre à quoi servent ces caractéristiques (en tant que caractéristiques de position et caractéristiques de dispersion) et savoir les calculer.