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Introduction :
Les caractéristiques d'une série statistique dont le caractère étudié est quantitatif sont des indicateurs qui permettent d'avoir une vue d'ensemble de la série. En 5e, nous avons introduit la notion de moyenne. En 4e, nous allons introduire deux nouvelles caractéristiques : la médiane et l'étendue.
Nous commencerons ce cours par un rappel du vocabulaire statistique. Nous reverrons ensuite les outils d'organisation de données. En distinguant caractéristiques de positon et caractéristiques de dispersion, nous rappellerons d'abord la notion de moyenne puis introduirons les deux nouvelles notions que sont la médiane et l'étendue d'une série statistique.
Vocabulaire
Étudier une série statistique, c'est étudier un caractère dans une population :
Étude 1 On souhaite se donner une idée de la fréquentation du cinéma par les jeunes de 18 à 25 ans. On demande à jeunes (dont on vérifie l'âge), pris au hasard dans la rue, le nombre de films qu'ils ont vus durant les 6 derniers mois. Voici les réponses obtenues : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |
Par exemple :
Organisation des données
Les résultats d'une étude statistique sont le plus souvent rassemblés dans un tableau de données où apparaissent les valeurs, les effectifs, ainsi que les fréquences si nécessaire.
Étude 1 On souhaite se donner une idée de la fréquentation du cinéma par les jeunes de 18 à 25 ans. On demande à jeunes (dont on vérifie l'âge), pris au hasard dans la rue, le nombre de films qu'ils ont vus durant les 6 derniers mois. Voici les réponses obtenues : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |
En effectuant les mêmes calculs que précédemment pour toutes les valeurs de la série, on obtient le tableau de données suivant :
Nombre de films vus les 6 derniers mois |
Total | |||||||
Effectifs |
||||||||
Fréquences |
||||||||
Fréquences |
||||||||
Fréquences |
Ces différents rappels étant faits, nous pouvons maintenant introduire la notion de caractéristiques d'une série statistique.
Nous distinguerons les caractéristiques de position et les caractéristiques de dispersion.
Caractéristiques de position : moyenne et médiane
Caractéristiques de position
Caractéristique de position :
Une caractéristique de position est un nombre autour duquel se répartissent les valeurs collectées lors d'une enquête ou d'une série de mesures.
La moyenne et la médiane sont des caractéristiques de position de la série.
Moyenne
Moyenne d'une série statistique :
La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les données de cette série par l'effectif total.
Étude 1 On souhaite se donner une idée de la fréquentation du cinéma par les jeunes de 18 à 25 ans. On demande à jeunes (dont on vérifie l'âge), pris au hasard dans la rue, le nombre de films qu'ils ont vus durant les 6 derniers mois. Voici les réponses obtenues : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |
Pour cette étude, le calcul de la moyenne donne :
Ce qui peut être analysé ainsi : au total, les jeunes ont vu films, ce qui fait une moyenne de films par jeune.
On remarque que :
Lorsque des valeurs apparaissent plusieurs fois dans une série de données, on additionne les produits de chaque valeur par son effectif. On parle de valeurs pondérées et de moyenne pondérée.
Valeur pondérée :
Une valeur pondérée par son effectif est le produit de cette valeur par son effectif.
Moyenne pondérée :
La moyenne pondérée d'une série statistique est égale à la somme des valeurs pondérées par leurs effectifs respectifs divisée par l'effectif total.
Étude 1 On souhaite se donner une idée de la fréquentation du cinéma par les jeunes de 18 à 25 ans. On demande à jeunes (dont on vérifie l'âge), pris au hasard dans la rue, le nombre de films qu'ils ont vus durant les 6 derniers mois. Voici les réponses obtenues : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |
Par exemple, ici, la valeur est pondérée par son effectif égal à , la valeur est pondérée par son effectif égal à , etc.
Les valeurs pondérées correspondantes sont respectivement et .
Ainsi, le calcul de la moyenne pondérée donne :
Le calcul de la moyenne pondérée est également utilisé pour estimer la moyenne d'une série de données regroupées par classes. On prend alors pour valeurs le centre de chaque intervalle.
La moyenne calculée ainsi est appelée moyenne des classes centrées.
Médiane
Médiane d'une série statistique :
Les données d'une série étant rangées dans l'ordre croissant, on appelle médiane de cette série une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif.
MÉTHODOLOGIE
Pour déterminer la médiane d'une série de données :
Dans le cas d'un effectif total pair
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Cas de l'étude 1 (effectif total égal à )
Comme on le fera le plus souvent, on choisit pour valeur de la médiane la moyenne des deux valeurs centrales soit
Nous constatons que la médiane n'est pas une des valeurs de la série et qu'elle est différente de la moyenne égale à .
Dans le cas d'un effectif total impair
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Cas de l'étude 2
On étudie les notes obtenues à un TP de physique-chimie par les élèves d'un demi-groupe de 4e.
Voici les notes obtenues :
- - - - - - - - - - - -
Caractéristique de dispersion d'une série statistique : l'étendue
Caractéristiques de dispersion
Caractéristique de dispersion :
Une caractéristique de dispersion donne une idée de l'éparpillement des valeurs collectées lors d'une enquête ou d'une série de mesures.
L'étendue est une caractéristique de dispersion de la série.
Étendue
Étendue d'une série statistique :
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série :
Étude 1
La plus petite valeur de cette série est , la plus grande est .
Étude 2
La plus petite valeur de cette série est , la plus grande est .
Conclusion :
Le vocabulaire et l'organisation des données étant maintenant acquis, les points importants à retenir de ce cours sont les notions de moyenne (et de moyenne pondérée), de médiane et d'étendue. Il faut comprendre à quoi servent ces caractéristiques (en tant que caractéristiques de position et caractéristiques de dispersion) et savoir les calculer.