Médiane et étendue : Résumé et révision - Mathématiques

Médiane et étendue

Rappels

Étudier une série statistique, c'est étudier un caractère dans une population :
la population est l'ensemble des individus étudiés ;
le caractère est le type de mesure que l'on recueille. Il peut être qualitatif ou quantitatif ;
les valeurs sont toutes les valeurs possibles que peut prendre ce caractère ;
les données sont toutes les mesures que l'on a recueillies ;
l'effectif d'une valeur du caractère est le nombre de fois que cette valeur apparait dans la liste, c'est à dire le nombre d'individus qui possèdent cette valeur du caractère ;
l'effectif total de la série est le nombre total d'individus de la population étudiée, c'est-à-dire la somme des effectifs ;
la fréquence d'une valeur est le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total.
Les résultats d'une étude statistique sont le plus souvent rassemblés dans un tableau de données où apparaissent les valeurs, les effectifs, ainsi que les fréquences si nécessaire.

Une caractéristique de position est un nombre autour duquel se répartissent les valeurs collectées lors d'une enquête ou d'une série de mesures.
La moyenne et la médiane sont des caractéristiques de position de la série.

La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les données de cette série par l'effectif total.
La moyenne de la série de données n'est pas forcément une des valeurs de la série.
La moyenne est toujours comprise entre ces deux valeurs extrêmes.
Ce n'est généralement pas la moyenne des deux valeurs extrêmes de la série.
Une valeur pondérée par son effectif est le produit de cette valeur par son effectif.
La moyenne pondérée d'une série statistique est égale à la somme des valeurs pondérées par leur effectif respectif divisée par l'effectif total.
Le calcul de la moyenne pondérée peut être utilisé pour estimer la moyenne d'une série de données regroupées par classes. On prend alors pour valeurs le centre de chaque intervalle.
La moyenne calculée ainsi est appelée moyenne des classes centrées.

Les données d'une série étant rangées dans l'ordre croissant, on appelle médiane de cette série une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif.
La médiane est telle qu'il y a au moins la moitié des données inférieures ou égales à cette valeur et au moins la moitié des données supérieures ou égales à cette valeur.
Elle est généralement différente de la moyenne de la série.
La médiane n'est pas forcément une des valeurs de la série.
Pour déterminer la médiane d'une série de données :
dans le cas d'un effectif total pair :
on classe les données dans l'ordre croissant ;
on sépare les données en 2 groupes de même effectif ;
la valeur de la médiane est située entre les 2 valeurs centrales de la série ordonnée.
dans le cas d'un effectif total impair :
on classe les données dans l'ordre croissant ;
on sépare les données en 2 groupes de même effectif ;
la valeur de la médiane est la valeur centrale de la série ordonnée.
Il y a autant de données avant la médiane qu'après la médiane.
Lorsque l'effectif total est pair, la médiane est n'importe quel nombre compris entre les deux valeurs centrales. On prend généralement la moyenne des deux.
Lorsque l'effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale de la série.

Une caractéristique de dispersion donne une idée de l'éparpillement des valeurs collectées lors d'une enquête ou d'une série de mesures.
L'étendue est une caractéristique de dispersion de la série.
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de cette série : $$\text{Étendue} = \text{Valeur max} - \text{Valeur min}$$