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Mesure du temps et oscillateurs

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Introduction :

Ce cours traite des oscillateurs et de la mesure du temps. La première partie étudiera les oscillateurs mécaniques, tandis que la seconde s’intéressera à la mesure du temps.

Oscillateurs mécaniques

Définition

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Définition

Oscillateur mécanique :

Un oscillateur mécanique est un système qui évolue de façon périodique autour d’une position d'équilibre.

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Exemple

  • un pendule simple 

Pendule simple, un exemple d’oscillateur mécanique

  • ou bien un ressort :

Un ressort, exemple d’oscillateur mécanique

  • Lorsqu’on laisse le système abandonné à lui-même, on parle d’oscillations libres.

Période propre

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Définition

Période propre :

La période propre $T_0$ est la durée d’une oscillation, c’est-à-dire un aller-retour entre les deux positions extrêmes.

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Exemple

Dans cet exemple, on étudie l’angle entre la position d’équilibre, c’est-à-dire $\theta = 0\degree$ et la position du pendule à l’instant $t$.

Alt texte Étude de l’angle entre la position d’équilibre et la position du pendule à l’instant t

Pour un pendule simple si l’amplitude $\theta_{max}$ est faible $(\theta_{max} < 20\degree)$ la période propre $T_0=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}}$.

  • $l$ est la longueur du pendule.
  • $g$ est la constante de gravitation.
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À retenir

Pour un ressort élastique la période propre $T_0=2π\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.

  • $k$ est la constante élastique du ressort.
  • $m$ est la masse en $\text{kg}$.

Oscillateurs non amortis

Lors des oscillations, si on néglige les frottements, il y a succession d’échanges énergétiques entre énergie cinétique et énergie potentielle.

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Exemple

Si on reprend l’exemple du pendule simple, lorsque celui-ci est dans la position maximale il n’a plus de vitesse. Donc d’énergie cinétique et son énergie potentielle est maximale, puis l’énergie potentielle est transférée sous forme d’énergie cinétique et ainsi de suite.

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À retenir

L’énergie mécanique d’un oscillateur non amortie est constante car les forces de frottements sont négligeables. Sa valeur ne dépend que des conditions initiales (vitesse initiale ou amplitude).

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Exemple

Énergie mécanique d’un oscillateur non amortie

Sur cet exemple d’oscillateur simple $E_m$ en rouge est constant, $E_p$ en bleu a trois maximums par période et $E_c$ en bleu foncé deux.

Oscillateurs amortis

  • Si au contraire les frottements sont non négligeables (dus à l’air ou au support du ressort), il y aura amortissement des oscillations.
  • Si les frottements sont faibles, l’amplitude des oscillations va diminuer et il n’y en aura qu’un petit nombre. On appelle cela un régime pseudo-périodique, et la période $T$ est appelée pseudo-période.
  • Elle est d’autant plus proche de $T_0$ que l’amortissement est faible.
  • Par ailleurs $T_0>T$ (ce qui est logique : l’amortissement ne peut pas être négatif ! Soit il n’y a pas d’amortissement et $T_0 = T$, soit il y a un amortissement et $T_0 > T$. Plus l’amortissement est fort, plus $T$ baisse rapidement dans le temps).

Régime pseudo-périodique

  • Si les frottements sont trop importants, il n’y pas d’oscillation, c’est un régime apériodique.

Régime apériodique

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À retenir

Les frottements entraînent une dissipation de l’énergie mécanique au cours du temps. La variation de l’énergie mécanique entre deux positions $A$ et $B$ d’un système est égale au travail de la force de frottements : ​$\Delta E=W_{AB} (\vec f)$.

  • L’énergie est dissipée sous forme de chaleur.

Mesure du temps

L’Homme a toujours cherché à mesurer le temps par l’observation des saisons, des jours, des nuits puis par l’apparition des sabliers et enfin des horloges dont nous allons étudier deux types.

Horloge mécanique

Les horloges et les montres sont des systèmes mécaniques oscillants.

Cependant, comme les systèmes oscillants sont toujours pseudo-amortis (il y a toujours des frottements), il faut donc les remonter de temps en temps.

De nos jours, les montres les plus utilisées par le grand public sont les montres à quartz.
Le quartz est un minéral qui vibre à une fréquence quasi constante de $32\ 768\ \text{Hz}$ lorsqu’il est traversé par un courant électrique.

Donc, pour le cas de la montre, le quartz vibre 32 768 fois en une seconde et l’horloge comptabilise les vibrations de l’oscillateur à quartz.

Horloge atomique

Le temps atomique est mesuré par les horloges atomiques.

On a remarqué qu’un atome soumis à une certaine quantité d’énergie émet des radiations à une fréquence très précise. En excitant un atome avec une quantité d’énergie constante, on peut donc se servir du rayonnement qui en résulte pour calculer le temps avec précision.

L’horloge atomique de référence est une horloge au césium. La fréquence étalon est la fréquence du rayonnement émis lors de la transition entre deux « niveaux d’énergie » : tous les atomes de césium on les mêmes niveaux, c’est-à-dire qu’il faut les soumettre à une quantité d’énergie très précise et constante pour passer de l’état normal à l’état excité.