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Nombres décimaux : addition, soustraction et multiplication

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Introduction :

L'objectif de ce cours est de revoir les trois premières opérations sur les nombres décimaux : addition, soustraction et multiplication.
Nous reverrons tout d'abord l'addition de deux nombres décimaux, puis la soustraction de deux nombres décimaux et enfin la multiplication de deux nombres décimaux.

Addition de deux nombres décimaux

Additionner deux nombres décimaux

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Définition

Somme :

Le résultat d'une addition est une somme.

12,6+7,2=19,812,6 + 7,2 = 19,8
La somme des termes 12,612,6 et 7,27,2 est 19,819,8.

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Exemple

addition somme

90,54+32,8=123,3490,54 + 32,8 = 123,34
La somme des termes 90,5490,54 et 32,832,8 est 123,34123,34.

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Rappel

Lorsqu'on pose une addition, les virgules doivent être alignées verticalement et il ne faut pas oublier les retenues.

Certains calculs peuvent être effectués mentalement ou à la calculatrice lorsque c'est demandé.

Calculer un ordre de grandeur

Pour avoir une idée du résultat d'une addition sans la poser, on peut utiliser les ordres de grandeurs.
Par exemple, dans le calcul de 1 224+390,81\ 224 + 390,8 :

  • un ordre de grandeur de 1 2241\ 224 est 1 2001\ 200 ;
  • un ordre de grandeur de 390,8390,8 est 400400.
  • Un ordre de grandeur de la somme de 1 224+390,81\ 224 + 390,8 est donc 1 200+400=1 6001\ 200 + 400 = 1\ 600

Et effectivement, le résultat de cette addition est proche de 1 6001\ 600 puisque 1 224+390,8=1 614,81\ 224 + 390,8= 1\ 614,8

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Attention

Les ordres de grandeur ne permettent pas de conclure qu'un résultat correct.
Ils permettent seulement de conclure qu'un résultat est faux quand le résultat calculé est très éloigné de l'ordre de grandeur obtenu.

Soustraction de deux nombres décimaux

Soustraire deux nombres décimaux

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Définition

Différence :

Le résultat d'une soustraction est une différence.

12,67,2=5,412,6 - 7,2 = 5,4
La différence des termes 12,612,6 et 7,27,2 est 5,45,4.

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Astuce

La différence entre 12,612,6 et 7,27,2 est le nombre qu'il faut ajouter à 7,27,2 pour obtenir 12,612,6.

  • Cela signifie que 12,67,2=5,412,6 - 7,2 = 5,4 équivaut à 5,4+7,2=12,65,4 + 7,2 = 12,6
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Exemple

soustraction différence

90,5432,8=57,7490,54 - 32,8 = 57,74
La différence des termes 90,5490,54 et 32,832,8 est 57,7457,74.

Calculer un ordre de grandeur

Pour avoir une idée du résultat d'une soustraction sans la poser, on peut utiliser les ordres de grandeur.
Par exemple, dans le calcul de 1 224390,81\ 224 - 390,8 :

  • un ordre de grandeur de 1 2241\ 224 est 1 2001\ 200 ;
  • un ordre de grandeur de 390,8390,8 est 400400.
  • Un ordre de grandeur de la différence de 1 224390,81\ 224 - 390,8 est donc 1 200400=8001\ 200-400=800

Et effectivement, le résultat de cette soustraction est proche de 800800 puisque 1 224390,8=833,21\ 224 - 390,8= 833,2

Produit de deux nombres décimaux

Multiplier deux nombres décimaux

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Définition

Produit :

Le résultat d'une multiplication est un produit.

4×7,2=28,84 \times 7,2 = 28,8
Le produit des facteurs 44 et 7,27,2 est 28,828,8.

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Rappel

Pour poser une multiplication, on effectue d'abord le calcul sans tenir compte des virgules. Ensuite, pour placer correctement la virgule dans le résultat, on additionne le nombre de chiffres après la virgule de chaque facteur et on obtient ainsi le nombre de chiffres après la virgule du résultat.

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Exemple

On souhaite poser et effectuer le produit 17,5×24,617,5\times 24,6.

On commence par effectuer la multiplication sans tenir compte des virgules.

  • Cela donne 43 05043\ 050.

Puis on compte le nombre de chiffres après la virgule pour chaque facteur.

  • Ici, il y a 11 chiffre après la virgule dans chacun des 22 facteurs : 1+1=21+1 = 2

On place donc la virgule après le deuxième chiffre du résultat en partant de la droite.

  • On obtient le résultat : 17,5×24,6=430,5017,5\times 24,6=430,50

multiplication produit

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Astuce

Pour effectuer une multiplication posée, il faut bien connaître les tables de multiplication.

Ordre de grandeur

Pour avoir une idée du résultat d'une multiplication sans la poser, on peut utiliser les ordres de grandeur. Par exemple, dans le calcul de 4×7,84 \times 7,8 :

  • on peut prendre 44 comme ordre de grandeur de lui-même ;
  • un ordre de grandeur de 7,87,8 est 88.
  • Un ordre de grandeur du produit de 4×7,84\times 7,8 est donc 4×8=324\times 8=32

Et effectivement, le résultat de cette multiplication est proche de 3232 puisque 4×7,8=31,24 \times 7,8= 31,2

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Attention

Dans le cas du produit, il ne faut pas prendre des ordres de grandeur trop éloignés. En effet, deux ordres de grandeur trop éloignés des facteurs peuvent donner un produit très éloigné du résultat. Cette méthode de vérification ne serait donc plus utile.

Multiplications particulières

Multiplier un nombre décimal par 1010, 100100 ou 1 0001\ 000<

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À retenir

  • Multiplier un nombre décimal par 101\red{0} revient à décaler la virgule de ce nombre d’un rang vers la droite.
  • Multiplier un nombre décimal par 1001\red{00} revient à décaler la virgule de ce nombre de deux rangs vers la droite.
  • Multiplier un nombre décimal par 1 0001\ \red{000} revient à décaler la virgule de ce nombre de trois rangs vers la droite.
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Astuce

On peut avoir besoin de rajouter un ou plusieurs zéros au nombre décimal que l'on multiplie par 1010, 100100 ou 1 0001\ 000.

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Exemple

20,19×10=201,920,19\times 10 = 201,9
20,19×100=2 01920,19\times 100 = 2\ 019
20,19×1 000=20 19020,19\times 1\ 000 = 20\ 190

Multiplier un nombre décimal par 0,10,1 ou 0,010,01 ou 0,0010,001<

bannière à retenir

À retenir

  • Multiplier un nombre décimal par 0,1\red{0},1 revient à décaler la virgule de ce nombre d'un rang vers la gauche.
  • Multiplier un nombre décimal par 0,01\red{0},\red{0}1 revient à décaler la virgule de ce nombre de deux rangs vers la gauche.
  • Multiplier un nombre décimal par 0,001\red{0},\red{00}1 revient à décaler la virgule de ce nombre de trois rangs vers la gauche.
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Astuce

Multiplier un nombre décimal par 0,10,1 (ou respectivement par 0,010,01 ou 0,0010,001) revient au même que de le diviser par 1010 (ou respectivement par 100100 ou 1 0001\ 000).

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Exemple

19,7×0,1=1,9719,7\times 0,1 = 1,97
19,7×0,01=0,19719,7\times 0,01 = 0,197
19,7×0,001=0,019719,7\times 0,001 = 0,0197

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons revu les trois principales opérations : addition, soustraction et multiplication.

Nous avons vu comment poser et effectuer ces opérations et également appris que nous pouvions vérifier le résultat à l'aide des ordres de grandeur : si le résultat calculé est trop éloigné de l'ordre de grandeur obtenu, alors c'est que le résultat calculé est faux.

Enfin, nous avons vu que multiplier un nombre décimal par 0,10,1 (ou bien respectivement 0,010,01 et 0,0010,001) revient à décaler la virgule de ce nombre d'un rang (ou respectivement deux et trois rangs) vers la gauche car cela revient à diviser ce nombre décimal par 1010 (ou respectivement par 100100 et 1 0001\ 000).