Nombres entiers et décimaux : définition, repérage et comparaisons : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Les objectifs de ce cours sont de présenter des généralités sur les nombres décimaux, de repérer ces nombres sur une demi-droite graduée et de comparer, encadrer et intercaler avec ces nombres.

Dans un premier temps, nous donnerons les premières propriétés des nombres décimaux. Puis, nous montrerons comment lire l’abscisse d’un nombre décimal et comment placer un point d’abscisse décimale sur une demi-droite graduée.
Enfin, nous verrons comment comparer, encadrer et intercaler avec les nombres décimaux.

Généralités sur les nombres décimaux

Définition

Nombre entier :

Les nombres entiers sont les nombres qui ne possèdent pas de chiffre après la virgule.

Astuce

Les nombres entiers permettent de compter.

Exemple

$0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ ; $7$ ; etc. sont des nombres entiers.

Définition

Nombre décimal :

Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec une virgule et qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule.

Exemple

$1,6$ ; $2,978$ ; $24,19$ et $102,4$ sont des nombres décimaux car ils ont un nombre fini de chiffres après la virgule.

$36$ est un nombre entier mais c’est aussi un nombre décimal car on pourrait l’écrire $36,0$ .

Astuce

De manière générale, un nombre entier est un nombre décimal particulier où la virgule n’est pas notée.

$1,6666…$ n’est pas un nombre décimal car il a un nombre infini de $6$ après la virgule.

À retenir

Pour les nombres décimaux, on appelle « partie entière » la partie située à gauche de la virgule et « partie décimale » la partie située à droite de la virgule.

$\underbrace{\blue {24}}$

Un nombre décimal peut s’écrire sous forme fractionnaire.

Exemple

$24,19 = \dfrac{2~419}{100}$

$0,978 =\dfrac{978}{1~000}$

Astuce

Le mot « mille » est invariable.
On écrit $2\ 000$ en toutes lettres « deux mille ».
Les mots « vingt » et « cent » ne prennent pas de « s » au pluriel s’ils sont suivis d’un autre nombre.
$307$ s’écrit en toutes lettres « trois-cent-sept ».
Les mots « vingt » et « cent » prennent un « s » au pluriel s’ils ne sont pas suivis d’un autre nombre.
$300$ s’écrit en toutes lettres « trois-cents ».

Écriture décimale d’un nombre

écriture décimale

En lisant le tableau de numération ci-dessus où sont placés les nombres $65\ 430,1$ et $2,978$ , on peut voir que :

le chiffre des dizaines de milliers de $65\ 430,1$ est $\pink 6$ ;
le chiffre des centaines de $65\ 430,1$ est $\red 4$ ;
le chiffre des unités de $2,978$ est $\orange 2$ ;
le chiffre des dixièmes de $2,978$ est $\blue 9$ ;
le chiffre des millièmes de $2,978$ est $\purple 8$ .

Décomposition d’un nombre décimal

À retenir

On peut décomposer un nombre décimal selon son chiffre des unités, des dizaines, des centaines, des unités de milliers, etc. pour sa partie entière et selon son chiffre des dixièmes, centièmes, millièmes, etc. pour sa partie décimale.

Exemple

$\small \pink{6}\green{5}\ \red{4}\blue{3}\orange{0},\purple{1} = (\pink{6}\times 10~000) + (\green{5}\times 1~000) + (\red{4}\times 100) + (\blue{3}\times 10) + (\orange{0}\times 1) + (\purple{1}\times 0,1)$

$\small \orange {2},\purple{9}\blue{7}\pink{8} = (\orange{2}\times 1) + (\purple{9}\times 0,1) + (\blue{7}\times 0,01) + (\pink{8}\times 0,001) = \orange{2} + \dfrac{\purple{9}}{10} + \dfrac{\blue{7}}{100} + \dfrac{\pink{8}}{1~000}$

Repérage d’un nombre décimal sur une demi-droite graduée

Demi-droite graduée

Définition

Demi-droite graduée :

Une demi-droite graduée est définie par une origine à laquelle on associe le nombre $0$ et par une unité de longueur qui est associée à $1$ . Elle a également un sens positif.

À partir de l’unité de longueur d’une demi-droite graduée, on peut définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.

$demi-droite graduée fractions$

Définition

Abscisse :

Sur une demi-droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.

$demi-droite graduée fractions$

L’abscisse du point $A$ est $3$ . On le note ainsi : $A(3)$ .

Repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée

Lire une abscisse décimale

$demi-droite graduée fractions$

Sur cette demi-droite graduée, on peut voir que l’unité est sous-divisée en $10$ graduations.
Chaque graduation correspond donc à $\dfrac{1}{10}$ .

L’abscisse du point $A$ est $\frac{1}{10}=0,1$ car le point $A$ est situé sur la première graduation à partir de $0$ (on ne compte pas la graduation $0$ ).
On note donc $A(0,1)$ .
L’abscisse du point $B$ est $\frac{13}{10}=1,3$ car le point $B$ est situé sur la treizième graduation à partir de $0$ (on ne compte pas la graduation $0$ ).
On note donc $B(1,3)$ .
L’abscisse du point $C$ est $\frac{19}{10} = 1,9$ car le point $C$ est situé sur la dix-neuvième graduation à partir de $0$ (on ne compte pas la graduation $0$ ).
On note donc $C(1,9)$ .

Placer une abscisse décimale

On souhaite placer les points $A(0,7)$ et $B(1,6)$ sur une demi-droite graduée.

Les abscisses des points à placer s’arrêtent aux dixièmes. Nous devons donc graduer la demi-droite de $\frac{1}{10} = 0,1$ en $\frac{1}{10} = 0,1$ , c'est-à-dire diviser chaque unité en $10$ graduations de même longueur.

$demi-droite graduée fractions$

Sur cette demi-droite graduée :

le point $A(0,7)$ sera situé sur la septième graduation en partant de $0$ car $0,7 = \frac{7}{10}$ ;
le point $B(1,6)$ sera situé sur la seizième graduation en partant de $0$ car $1,6 = \frac{16}{10}$ .

Nous obtenons la demi-droite graduée suivante :

$Alt texte$

Inégalités entre nombres décimaux

Comparer deux nombres décimaux

MÉTHODE

Pour comparer deux nombres décimaux, on commence par comparer leur partie entière.
Celui qui a le plus grand nombre de chiffres dans sa partie entière est le plus grand des deux.
S’ils ont le même nombre de chiffres dans leur partie entière, nous devons comparer le premier chiffre de chacun en partant de la gauche puis, si ce sont les mêmes, le deuxième, etc., jusqu’à la virgule.
Si les parties entières des deux nombres sont les mêmes, nous devons comparer leur partie décimale.
Pour cela, nous devons comparer successivement leur chiffre des dixièmes, puis celui des centièmes, etc., jusqu’à ce que nous trouvions celui qui est le plus grand.

Exemple

$\blue{309},\red{5} > \blue{67},\red{7}$ car $\blue{309}$ a trois chiffres dans sa partie entière et $\blue{67},\red{7}$ en a seulement $2$ .

$\blue{54},\red{3} > \blue{52},\red{6}$ car la partie entière de $\blue{54},\red{3}$ est plus grande que celle de $\blue{52},\red{6}$ ( $\blue{54} > \blue{52}$ ).

$\blue{73},\red{5} > \blue{73},\red{2}$ car les deux nombres ont la même partie entière, mais si on regarde leur partie décimale, on voit que $\red{5} > \red{2}$ (on compare ici les chiffres des dixièmes).

Attention

Il faut faire attention à ne pas comparer les parties décimales comme nous comparons les parties entières.

Par exemple, $24,6 > 24,35$ car $6 > 3$ (on compare ici les chiffres des dixièmes), et ce même si $35 > 6$ .

Astuce

Pour ne pas se tromper, on peut compléter les parties décimales avec des zéros supplémentaires qui n’auront pas d'effet sur la valeur :
$24,6 = 24,60$
$24,60 > 24,35$ car $60 > 35$

Lorsqu’on sait comparer deux nombres décimaux, on peut ranger une liste de nombres décimaux par ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou par ordre décroissant (du plus grand au plus petit).

Encadrer un nombre décimal

Encadrer un nombre décimal, c’est écrire une double inégalité avec un nombre qui lui est inférieur et un nombre qui lui est supérieur.

Exemple

$24 < 24,6 < 25$ est un encadrement du nombre décimal $24,6$ par deux nombres entiers consécutifs, c’est-à-dire deux nombres entiers qui se suivent.

Intercaler un nombre décimal

Intercaler un nombre décimal entre deux nombres, c’est trouver un nombre compris entre ces deux nombres.

Exemple

Nous pouvons intercaler $3,14$ entre $3,1$ et $3,2$ : $3,1 < 3,14 < 3,2$

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu qu’un nombre décimal est composé d’une partie entière et d’une partie décimale et qu’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (c'est-à-dire une fraction de dénominateur $10$ , $100$ , $1\ 000$ , etc.).

Nous avons ensuite vu qu’une demi-droite graduée était définie par la donnée d’une origine, d’une unité de longueur et d’un sens positif, et que nous pouvions la graduer à l’aide de nombres décimaux pour pouvoir repérer ces nombres.

Enfin, nous avons vu comment comparer deux nombres décimaux en comparant d’abord leur partie entière puis leur partie décimale.