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Nombres entiers et décimaux : définition, repérage et comparaisons
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Introduction :
Les objectifs de ce cours sont de présenter des généralités sur les nombres décimaux, de repérer ces nombres sur une demi-droite graduée et de comparer, encadrer et intercaler avec ces nombres.
Dans un premier temps, nous donnerons les premières propriétés des nombres décimaux. Puis, nous montrerons comment lire l’abscisse d’un nombre décimal et comment placer un point d’abscisse décimale sur une demi-droite graduée.
Enfin, nous verrons comment comparer, encadrer et intercaler avec les nombres décimaux.
Généralités sur les nombres décimaux
Définition
Nombre entier :
Les nombres entiers sont les nombres qui ne possèdent pas de chiffre après la virgule.
Les nombres entiers permettent de compter.
; ; ; ; ; ; ; ; etc. sont des nombres entiers.
Nombre décimal :
Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec une virgule et qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
; ; et sont des nombres décimaux car ils ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
est un nombre entier mais c’est aussi un nombre décimal car on pourrait l’écrire .
De manière générale, un nombre entier est un nombre décimal particulier où la virgule n’est pas notée.
n’est pas un nombre décimal car il a un nombre infini de après la virgule.
Pour les nombres décimaux, on appelle « partie entière » la partie située à gauche de la virgule et « partie décimale » la partie située à droite de la virgule.
Un nombre décimal peut s’écrire sous forme fractionnaire.
Écriture décimale d’un nombre
En lisant le tableau de numération ci-dessus où sont placés les nombres et , on peut voir que :
Décomposition d’un nombre décimal
On peut décomposer un nombre décimal selon son chiffre des unités, des dizaines, des centaines, des unités de milliers, etc. pour sa partie entière et selon son chiffre des dixièmes, centièmes, millièmes, etc. pour sa partie décimale.
Repérage d’un nombre décimal sur une demi-droite graduée
Demi-droite graduée
Demi-droite graduée :
Une demi-droite graduée est définie par une origine à laquelle on associe le nombre et par une unité de longueur qui est associée à . Elle a également un sens positif.
À partir de l’unité de longueur d’une demi-droite graduée, on peut définir une graduation avec des nombres entiers, décimaux ou avec des fractions.
Abscisse :
Sur une demi-droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.
L’abscisse du point est . On le note ainsi : .
Repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
Sur cette demi-droite graduée, on peut voir que l’unité est sous-divisée en graduations.
Chaque graduation correspond donc à .
On souhaite placer les points et sur une demi-droite graduée.
Les abscisses des points à placer s’arrêtent aux dixièmes. Nous devons donc graduer la demi-droite de en , c'est-à-dire diviser chaque unité en graduations de même longueur.
Sur cette demi-droite graduée :
Nous obtenons la demi-droite graduée suivante :
Inégalités entre nombres décimaux
Comparer deux nombres décimaux
MÉTHODE
car a trois chiffres dans sa partie entière et en a seulement .
car la partie entière de est plus grande que celle de ().
car les deux nombres ont la même partie entière, mais si on regarde leur partie décimale, on voit que (on compare ici les chiffres des dixièmes).
Il faut faire attention à ne pas comparer les parties décimales comme nous comparons les parties entières.
Par exemple, car (on compare ici les chiffres des dixièmes), et ce même si .
Pour ne pas se tromper, on peut compléter les parties décimales avec des zéros supplémentaires qui n’auront pas d'effet sur la valeur :
car
Lorsqu’on sait comparer deux nombres décimaux, on peut ranger une liste de nombres décimaux par ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou par ordre décroissant (du plus grand au plus petit).
Encadrer un nombre décimal
Encadrer un nombre décimal, c’est écrire une double inégalité avec un nombre qui lui est inférieur et un nombre qui lui est supérieur.
est un encadrement du nombre décimal par deux nombres entiers consécutifs, c’est-à-dire deux nombres entiers qui se suivent.
Intercaler un nombre décimal
Intercaler un nombre décimal entre deux nombres, c’est trouver un nombre compris entre ces deux nombres.
Nous pouvons intercaler entre et :
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu qu’un nombre décimal est composé d’une partie entière et d’une partie décimale et qu’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (c'est-à-dire une fraction de dénominateur , , , etc.).
Nous avons ensuite vu qu’une demi-droite graduée était définie par la donnée d’une origine, d’une unité de longueur et d’un sens positif, et que nous pouvions la graduer à l’aide de nombres décimaux pour pouvoir repérer ces nombres.
Enfin, nous avons vu comment comparer deux nombres décimaux en comparant d’abord leur partie entière puis leur partie décimale.