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Nombres premiers et fractions irréductibles

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Introduction :

L’objectif premier de ce cours est d’apprendre à rendre une fraction irréductible c'est-à-dire à la réduire à sa plus simple expression. Pour cela, nous avons besoin d’introduire la notion de nombres premiers.

Nous commencerons par des rappels d’arithmétique (division euclidienne, diviseurs, multiples, critères de divisibilité). Nous introduirons alors la notion de nombre premier, puis apprendrons à décomposer un nombre en produit de facteurs premiers et enfin à simplifier une fraction pour la rendre irréductible.

Rappels : division euclidienne, diviseurs et multiples, critères de divisibilité

Division euclidienne

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Définition

Division euclidienne :

Soient DD et dd deux nombres entiers positifs avec dd non nul.

Effectuer la division euclidienne de DD par dd, c’est trouver deux nombres entiers positifs qq et rr tels que D=d×q+rD = d \times q + r avec r<dr < d

DD est alors le dividende, dd est le diviseur, qq est le quotient et rr s’appelle le reste.

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

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Exemple

La division euclidienne de 4747 par 33 est :

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

Dans une division euclidienne, le reste est strictement inférieur au diviseur.
Par exemple, 27=4×5+727 = 4 \times 5 + 7 n’est pas la division euclidienne de 2727 par 44 car 7>47 > 4.
27=4×6+327 = 4 \times 6 + 3 est la division euclidienne de 2727 par 44 car 3<43 < 4.

Nous allons maintenant parler du cas particulier où le reste de la division euclidienne rr est nul.

Diviseurs et multiples

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Définition

Multiple :

Lorsque le reste de la division euclidienne est nul (r=0r = 0), celle-ci s’écrit D=d×qD = d \times q
On dit alors que DD est un multiple de dd (ou que dd a pour multiple DD).

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Définition

Diviseur :

Lorsque le reste de la division euclidienne est nul (r=0r = 0), celle-ci s’écrit D=d×qD = d \times q
On dit alors que dd est un diviseur de DD (ou que DD est divisible par dd).

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Exemple

16=2×816= 2 \times 8

  • 1616 est un multiple de 22 et 22 est un diviseur de 1616.

Quel que soit le nombre entier positif nn, on a toujours n=n×1n=n\times 1 et 1×n=n1 \times n=n

Ainsi, tout entier positif est multiple de 11 et de lui-même. Autrement dit, tout entier positif est divisible par lui-même et 11 est diviseur de tout nombre entier.

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À retenir

11 admet un et un seul diviseur : lui-même.

Critères de divisibilité

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Propriété

Un nombre entier :

  • n’est jamais divisible par 00 ;
  • est toujours divisible par 11 et par lui-même ;
  • est divisible par 22 si son chiffre des unités est pair ;
  • est divisible par 55 si son chiffre des unités est 00 ou 55 ;
  • est divisible par 1010 si son chiffre des unités est 00 ;
  • est divisible par 33 si la somme de ses chiffres est divisible par 33 ;
  • est divisible par 99 si la somme de ses chiffres est divisible par 99 ;
  • est divisible par 44 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 44.
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Exemple

288288 :

  • est divisible par 11 et par lui-même ;
  • est divisible par 22 car il est pair ;
  • est divisible par 33 car la somme de ses chiffres (2+8+8=182+8+8=18) est divisible par 33 ;
  • est divisible par 99 car la somme de ses chiffres (2+8+8=182+8+8=18) est divisible par 99 ;
  • est divisible par 44 car ses deux derniers chiffres forment un nombre, 8888, qui est divisible par 44 ;
  • n’est pas divisible par 55 car il ne se termine pas par 00 ou 55 ;
  • n’est pas divisible par 1010 car il ne se termine pas par 00.
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À retenir

Pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier positif, il faut l’écrire de toutes les façons possibles sous forme d’un produit de deux entiers positifs.

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Exemple

On recherche tous les diviseurs de 3636.

On sait que 3636 peut s’écrire :

  • 36=1×3636=1 \times 36
  • 36=2×1836=2 \times 18
  • 36=3×1236= 3\times 12
  • 36=4×936=4 \times 9
  • 36=6×636= 6 \times 6

Les autres formes possibles font intervenir les mêmes entiers. Seul l’ordre des termes change.

  • 3636 admet donc 99 diviseurs qui sont : 11, 22, 33, 44, 66, 99, 1212, 1818 et 3636.

Nombres premiers

Nous venons de voir que les nombres entiers positifs ont tous un ou plusieurs diviseur(s). Ceux qui en ont exactement deux sont appelés des nombres premiers.

Reconnaître un nombre premier

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Définition

Nombre premier :

Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : 11 et lui-même.

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Exemple

66 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1,2,31, 2, 3 et 66.

1313 est un nombre premier car il est divisible uniquement par 11 et 1313.

Les premiers nombres premiers sont : 22, 33, 55, 77, 1111, 1313, 1717, 1919, 2323, 2929

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Attention

11 n’est pas un nombre premier puisqu’il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.

Notion de nombres premiers entre eux

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Définition

Nombres premiers entre eux :

Deux nombres sont premiers entre eux s’ils admettent comme seul diviseur commun le nombre 11.

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Exemple

66 et 1313

Les diviseurs de 66 sont 11, 22, 33 et 66.
Les diviseurs de 1313 sont 11 et 1313.
Leur seul diviseur commun est 11.

  • Les nombres 66 et 1313 sont premiers entre eux.

1212 et 1515

Les diviseurs de 1212 sont 11, 22, 33, 44, 66 et 1212.
Les diviseurs de 1515 sont 11, 33, 55 et 1515.
Leurs diviseurs communs sont 11 et 33.

  • Les nombres 1212 et 1515 ne sont pas premiers entre eux.

Découvrons maintenant la méthode de décomposition en produit de facteurs premiers.

Décomposition en produits de facteurs premiers

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Propriété

Tout nombre entier positif non premier peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. On parle de décomposition en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.

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Exemple

3636

On a identifié les diviseurs de 3636 comme étant : 11, 22, 33, 44, 66, 99, 1212, 1818 et 3636.
Parmi ces diviseurs, seuls 22 et 33 sont des nombres premiers. Si on y regarde de plus près, les autres sont tous divisibles par 22 et/ou 33.

Divisons d’abord 3636 par 22 : 36=2×1836=2 \times 18

1818 est aussi divisible par 22. On peut écrire : 36=2×2×936=2 \times 2 \times 9

99 est divisible par 33. On obtient : 36=2×2×3×336=2 \times 2 \times 3 \times 3

  • Cette dernière écriture est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 3636.

Il n’est pas nécessaire de connaître tous les diviseurs d’un nombre pour le décomposer en produit de facteurs premiers.

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À retenir

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, il faut successivement chercher à le diviser par le plus petit nombre premier possible jusqu’à obtenir un quotient égal à 11.
Il est donc nécessaire de connaître le début de la liste des nombres premiers, à savoir : 22, 33, 55, 77, 1111, 1313, 1717, 1919

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Exemple

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

La décomposition en produit de facteurs premiers de 46204620 est donc la suivante : 4620=2×2×3×5×7×11=22×3×5×7×114620= 2\times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11=2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11

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Astuce

Le résultat est facilement vérifiable à la calculatrice !

Une application de cet outil de décomposition en produit de facteurs premiers est la recherche de la réduction d’une fraction à sa plus simple expression.

Fractions irréductibles

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Définition

Fraction irréductible :

Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c'est-à-dire que le nombre 11 est leur seul diviseur commun.

Pour rendre une fraction irréductible, il faut :

  • décomposer son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers,
  • puis simplifier au maximum l’expression de la fraction en supprimant les facteurs identiques.
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Exemple

Cherchons à simplifier la fraction 6934620\dfrac{693}{4620}

  • On décompose le numérateur et son dénominateur.

On a déjà établi la décomposition de 46204620 : 4620=22×3×5×7×114620=2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11

Utilisons la même méthode pour décomposer 693693.

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

Ainsi : 6934620=32×7×1122×3×5×7×11\dfrac{693}{4620}=\dfrac{3^2 \times 7 \times 11}{2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11}

  • On simplifie le numérateur et le dénominateur.

Ici, on peut simplifier par 3×7×113\times 7\times 11

6934620=32×7×1122×3×5×7×11=322×5=320\begin{aligned}\dfrac{693}{4620}&=\dfrac{3^2 \times 7 \times 11}{2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11}\ &=\dfrac{3}{2^2\times 5}\ &=\dfrac{3}{20}\end{aligned}

  • 33 et 2020 sont premiers entre eux.
  • 320\dfrac{3}{20} est bien une fraction irrréductible.
  • 320\dfrac{3}{20} est la fraction réduite de la fraction 6934620\dfrac{693}{4620}

Conclusion :

Il est important de retenir la méthodologie pour rendre une fraction irréductible. Pour cela, il faut savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, donc maîtriser la notion de nombre premier ainsi que les critères de divisibilité.