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Nombres premiers et fractions irréductibles

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Introduction :

L’objectif premier de ce cours est d’apprendre à rendre une fraction irréductible c'est-à-dire à la réduire à sa plus simple expression. Pour cela, nous avons besoin d’introduire la notion de nombres premiers.

Nous commencerons par des rappels d’arithmétique (division euclidienne, diviseurs, multiples, critères de divisibilité). Nous introduirons alors la notion de nombre premier, puis apprendrons à décomposer un nombre en produit de facteurs premiers et enfin à simplifier une fraction pour la rendre irréductible.

Rappels : division euclidienne, diviseurs et multiples, critères de divisibilité

Division euclidienne

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Définition

Division euclidienne :

Soient $D$ et $d$ deux nombres entiers positifs avec $d$ non nul.

Effectuer la division euclidienne de $D$ par $d$, c’est trouver deux nombres entiers positifs $q$ et $r$ tels que $D = d \times q + r$ avec $r < d$

$D$ est alors le dividende, $d$ est le diviseur, $q$ est le quotient et $r$ s’appelle le reste.

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

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Exemple

La division euclidienne de $47$ par $3$ est :

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

Dans une division euclidienne, le reste est strictement inférieur au diviseur.
Par exemple, $27 = 4 \times 5 + 7$ n’est pas la division euclidienne de $27$ par $4$ car $7 > 4$.
$27 = 4 \times 6 + 3$ est la division euclidienne de $27$ par $4$ car $3 < 4$.

Nous allons maintenant parler du cas particulier où le reste de la division euclidienne $r$ est nul.

Diviseurs et multiples

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Définition

Multiple :

Lorsque le reste de la division euclidienne est nul ($r = 0$), celle-ci s’écrit $D = d \times q$
On dit alors que $D$ est un multiple de $d$ (ou que $d$ a pour multiple $D$).

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Définition

Diviseur :

Lorsque le reste de la division euclidienne est nul ($r = 0$), celle-ci s’écrit $D = d \times q$
On dit alors que $d$ est un diviseur de $D$ (ou que $D$ est divisible par $d$).

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Exemple

$$16= 2 \times 8$$

  • $16$ est un multiple de $2$ et $2$ est un diviseur de $16$.

Quel que soit le nombre entier positif $n$, on a toujours $n=n\times 1$ et $1 \times n=n$

Ainsi, tout entier positif est multiple de $1$ et de lui-même. Autrement dit, tout entier positif est divisible par lui-même et $1$ est diviseur de tout nombre entier.

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À retenir

$1$ admet un et un seul diviseur : lui-même.

Critères de divisibilité

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Propriété

Un nombre entier :

  • n’est jamais divisible par $0$ ;
  • est toujours divisible par $1$ et par lui-même ;
  • est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair ;
  • est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
  • est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$ ;
  • est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
  • est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ ;
  • est divisible par $4$ si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$.
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Exemple

$288$ :

  • est divisible par $1$ et par lui-même ;
  • est divisible par $2$ car il est pair ;
  • est divisible par $3$ car la somme de ses chiffres ($2+8+8=18$) est divisible par $3$ ;
  • est divisible par $9$ car la somme de ses chiffres ($2+8+8=18$) est divisible par $9$ ;
  • est divisible par $4$ car ses deux derniers chiffres forment un nombre, $88$, qui est divisible par $4$ ;
  • n’est pas divisible par $5$ car il ne se termine pas par $0$ ou $5$ ;
  • n’est pas divisible par $10$ car il ne se termine pas par $0$.
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À retenir

Pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier positif, il faut l’écrire de toutes les façons possibles sous forme d’un produit de deux entiers positifs.

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Exemple

On recherche tous les diviseurs de $36$.

On sait que $36$ peut s’écrire :

  • $36=1 \times 36$
  • $36=2 \times 18$
  • $36= 3\times 12$
  • $36=4 \times 9$
  • $36= 6 \times 6$

Les autres formes possibles font intervenir les mêmes entiers. Seul l’ordre des termes change.

  • $36$ admet donc $9$ diviseurs qui sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$ et $36$.

Nombres premiers

Nous venons de voir que les nombres entiers positifs ont tous un ou plusieurs diviseur(s). Ceux qui en ont exactement deux sont appelés des nombres premiers.

Reconnaître un nombre premier

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Définition

Nombre premier :

Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

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Exemple

$6$ n’est pas un nombre premier car il est divisible par $1, 2, 3$ et $6$.

$13$ est un nombre premier car il est divisible uniquement par $1$ et $13$.

Les premiers nombres premiers sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$…

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Attention

$1$ n’est pas un nombre premier puisqu’il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.

Notion de nombres premiers entre eux

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Définition

Nombres premiers entre eux :

Deux nombres sont premiers entre eux s’ils admettent comme seul diviseur commun le nombre $1$.

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Exemple

$6$ et $13$

Les diviseurs de $6$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$.
Les diviseurs de $13$ sont $1$ et $13$.
Leur seul diviseur commun est $1$.

  • Les nombres $6$ et $13$ sont premiers entre eux.

$12$ et $15$

Les diviseurs de $12$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$.
Les diviseurs de $15$ sont $1$, $3$, $5$ et $15$.
Leurs diviseurs communs sont $1$ et $3$.

  • Les nombres $12$ et $15$ ne sont pas premiers entre eux.

Découvrons maintenant la méthode de décomposition en produit de facteurs premiers.

Décomposition en produits de facteurs premiers

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Propriété

Tout nombre entier positif non premier peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. On parle de décomposition en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.

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Exemple

$$36$$

On a identifié les diviseurs de $36$ comme étant : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$ et $36$.
Parmi ces diviseurs, seuls $2$ et $3$ sont des nombres premiers. Si on y regarde de plus près, les autres sont tous divisibles par $2$ et/ou $3$.

Divisons d’abord $36$ par $2$ : $$36=2 \times 18$$

$18$ est aussi divisible par $2$. On peut écrire : $$36=2 \times 2 \times 9$$

$9$ est divisible par $3$. On obtient : $$36=2 \times 2 \times 3 \times 3$$

  • Cette dernière écriture est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $36$.

Il n’est pas nécessaire de connaître tous les diviseurs d’un nombre pour le décomposer en produit de facteurs premiers.

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À retenir

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, il faut successivement chercher à le diviser par le plus petit nombre premier possible jusqu’à obtenir un quotient égal à $1$.
Il est donc nécessaire de connaître le début de la liste des nombres premiers, à savoir : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$…

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Exemple

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

La décomposition en produit de facteurs premiers de $4620$ est donc la suivante : $$4620= 2\times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11=2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$$

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Astuce

Le résultat est facilement vérifiable à la calculatrice !

Une application de cet outil de décomposition en produit de facteurs premiers est la recherche de la réduction d’une fraction à sa plus simple expression.

Fractions irréductibles

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Définition

Fraction irréductible :

Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c'est-à-dire que le nombre $1$ est leur seul diviseur commun.

Pour rendre une fraction irréductible, il faut :

  • décomposer son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers,
  • puis simplifier au maximum l’expression de la fraction en supprimant les facteurs identiques.
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Exemple

Cherchons à simplifier la fraction $\dfrac{693}{4620}$

  • On décompose le numérateur et son dénominateur.

On a déjà établi la décomposition de $4620$ : $$4620=2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$$

Utilisons la même méthode pour décomposer $693$.

Nombres premiers et fractions irréductibles mathématiques troisième

Ainsi : $$\dfrac{693}{4620}=\dfrac{3^2 \times 7 \times 11}{2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11}$$

  • On simplifie le numérateur et le dénominateur.

Ici, on peut simplifier par $3\times 7\times 11$

$$\begin{aligned}\dfrac{693}{4620}&=\dfrac{3^2 \times 7 \times 11}{2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11}\\ &=\dfrac{3}{2^2\times 5}\\ &=\dfrac{3}{20}\end{aligned}$$

  • $3$ et $20$ sont premiers entre eux.
  • $\dfrac{3}{20}$ est bien une fraction irrréductible.
  • $\dfrac{3}{20}$ est la fraction réduite de la fraction $\dfrac{693}{4620}$

Conclusion :

Il est important de retenir la méthodologie pour rendre une fraction irréductible. Pour cela, il faut savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, donc maîtriser la notion de nombre premier ainsi que les critères de divisibilité.