Nombres premiers et fractions irréductibles

Nombres premiers

• Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$…
• $1$ n’est pas un nombre premier puisqu’il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
• Deux nombres sont premiers entre eux s’ils admettent comme seul diviseur commun le nombre $1$.

Décomposition en produits de facteurs premiers

• Tout nombre entier positif non premier peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. On parle de décomposition en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.
• Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, il faut successivement chercher à le diviser par le plus petit nombre premier possible jusqu’à obtenir un quotient égal à $1$.
  Il est donc nécessaire de connaître le début de la liste des nombres premiers.

Fractions irréductibles

• Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c'est-à-dire que le nombre $1$ est leur seul diviseur commun.
• Pour rendre une fraction irréductible, il faut :
• décomposer son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers,
• puis simplifier au maximum l’expression de la fraction en supprimant les facteurs identiques.